In der Algebraischen Topologie einem Teilgebiet der Mathematik bezeichnet S Dualitat eine Dualitat zwischen topologischen Spektren und damit zwischen verallgemeinerten Homologie und Kohomologietheorien Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 S dualer Morphismus 3 Beispiele 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenEs seien A displaystyle A nbsp und A displaystyle A nbsp zwei Spektra Wir bezeichnen mit A A displaystyle A wedge A nbsp ihr Smash Produkt und mit S displaystyle mathbf S nbsp das Spharenspektrum Ein Dualitatsmorphismus oder eine Dualitat zwischen A displaystyle A nbsp und A displaystyle A nbsp ist ein Morphismus von Spektren u S A A displaystyle u colon mathbf S to A wedge A nbsp so dass fur jedes Spektrum E displaystyle E nbsp die durch u E ϕ ϕ i d A u displaystyle u E phi phi wedge id A u nbsp u E ϕ i d A ϕ u displaystyle u E phi id A wedge phi u nbsp definierten Abbildungen u E A E S E A displaystyle u E colon left A E right to left mathbf S E wedge A right nbsp u E A E S A E displaystyle u E colon left A E right to left mathbf S A wedge E right nbsp Bijektionen sind Die Spektren A displaystyle A nbsp und A displaystyle A nbsp heissen S dual wenn es einen Dualitatsmorphismus u S A A displaystyle u colon mathbf S to A wedge A nbsp gibt S Dualitat ist eine symmetrische Relation Zwei Spektren A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp heissen n displaystyle n nbsp dual fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp wenn A displaystyle A nbsp und S n B displaystyle Sigma n B nbsp S dual sind Dabei bezeichnet S n B displaystyle Sigma n B nbsp das durch S n B k B k n displaystyle Sigma n B k B k n nbsp definierte Spektrum S dualer Morphismus BearbeitenSeien u S A A displaystyle u colon mathbf S to A wedge A nbsp und v S B B displaystyle v colon mathbf S to B wedge B nbsp zwei Dualitatsmorphismen dann ist zu jedem Morphismus f A B displaystyle f colon A to B nbsp sein S dualer Morphismus f B A displaystyle f colon B to A nbsp definiert als das Bild von f displaystyle f nbsp unter dem Isomorphismus v A 1 u B A B S B A B A displaystyle v A 1 u B colon left A B right to left mathbf S B wedge A right to left B A right nbsp f displaystyle f nbsp ist also wohldefiniert bis auf Homotopie Insbesondere ist f A B displaystyle f in left A B right nbsp genau dann S dual zu g B A displaystyle g in left B A right nbsp wenn u B f v A g displaystyle u B f v A g nbsp Beispiele BearbeitenDie kanonische Aquivalenz u S S n S S n S displaystyle u colon mathbf S to Sigma n mathbf S wedge Sigma n mathbf S nbsp ist eine S Dualitat Fur eine geschlossene n displaystyle n nbsp Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp mit Einhangungsspektrum S M displaystyle Sigma infty M nbsp wird die Milnor Spanier S Dualitatu S T h n M S n S M displaystyle u colon mathbf S to Th nu M wedge Sigma n Sigma infty M nbsp dd definiert wie folgt Wahle eine Einbettung M S N displaystyle M subset S N nbsp fur ein N n displaystyle N gg n nbsp und eine Tubenumgebung M U S N displaystyle M subset U subset S N nbsp mit Projektion p U M displaystyle p colon overline U to M nbsp Dann ist T h n M U U displaystyle Th nu M simeq overline U partial overline U nbsp und wir betrachten die Kompositionf S N U U U U M displaystyle f colon S N to overline U partial overline U to overline U partial overline U wedge M nbsp dd wobei die erste Abbildung S N U displaystyle S N U nbsp auf einen Punkt kollabiert und die zweite Abbildung von i d p displaystyle id p nbsp induziert wird Dann istu S N S f S T h n M S n S M displaystyle u Sigma N Sigma infty f colon mathbf S to Th nu M wedge Sigma n Sigma infty M nbsp dd eine S Dualitat Falls M displaystyle M nbsp bzgl eines Ringspektrums E displaystyle E nbsp orientierbar ist dann entsprechen die kohomologischen E displaystyle E nbsp Orientierungen Thom Klassen unteru E T h n M E S E S n S M displaystyle u E colon left Th nu M E right to left mathbf S E wedge Sigma n Sigma infty M right nbsp dd den homologischen E displaystyle E nbsp Orientierungen Fundamentalklassen Literatur BearbeitenY B Rudyak On Thom spectra orientability and cobordism Springer Verlag 1998 Corrected reprint 2008Weblinks BearbeitenSpanier Whitehead Duality in homotopy theory Milnor Spanier Two remarks on fiber homotopy type Abgerufen von https de wikipedia org w index php title S Dualitat Homotopietheorie amp oldid 149113437
