Sherrington Kirkpatrick Modell Das ist in der statistischen Physik ein lösbares Spin Glas Modell welches 1975 von David

Sherrington-Kirkpatrick-Modell

Das Sherrington-Kirkpatrick-Modell ist in der statistischen Physik ein lösbares Spin-Glas-Modell, welches 1975 von David Sherrington und Scott Kirkpatrick eingeführt wurde. Es ist ein Mean-Field-Modell für das Spin-Glas.

Definition Bearbeiten

Das Sherrington-Kirkpatrick-Modell besteht aus einer Konfiguration bestehend aus binären Spins und einem Hamiltonoperator gegeben durch

wobei für die unabhängige Zufallsvariablen sind sowie .

Üblicherweise ist man nun an

(für eine Realisation der ) interessiert.

Eigenschaften Bearbeiten

ist zentriert und gaußsch. Es gilt

Grenzwertverhalten Bearbeiten

Die Partitionsfunktion ist

wobei der inverse Temperatur-Parameter ist. Die freie Energie ist

Dann gilt

wobei

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Eine natürliche Verallgemeinerung ist das gemischte p-Spin-Modell, dessen Hamiltonian aus linearen Kombinationen von Spins (statt nur ) besteht.

Literatur Bearbeiten

Dmitry Panchenko: The Sherrington-Kirkpatrick Model: An Overview. In: Springer Science and Business Media (Hrsg.): Journal of Statistical Physics. Band 149, Nr. 2, 2012, S. 362–383, doi:10.1007/s10955-012-0586-7.
Dmitry Panchenko: The Sherrington-Kirkpatrick Model. Hrsg.: Springer. New York 2013, doi:10.1007/978-1-4614-6289-7.
Michael Talagrand: Mean Field Models for Spin Glasses. Hrsg.: Springer. Band 1, ISBN 978-3-642-26598-3, doi:10.1007/978-3-642-15202-3.
Mezard, M., Parisi, G., Virasoro, M.A.: Spin glass theory and Beyond. W.S. Lect. Notes in Physics 9, Singapore: World Scientific 1987

Einzelnachweise Bearbeiten

D. Sherrington und S. Kirkpatrick: Solvable model of a spin glass. In: Phys. Rev. Lett. Band 35, 1975, S. 1792–1796.
Dmitry Panchenko: The Sherrington-Kirkpatrick Model: An Overview. In: Springer Science and Business Media (Hrsg.): Journal of Statistical Physics. Band 149, Nr. 2, 2012, S. 362–383, doi:10.1007/s10955-012-0586-7.
Michael Talagrand: Mean Field Models for Spin Glasses. Hrsg.: Springer. Band 1, ISBN 978-3-642-26598-3, doi:10.1007/978-3-642-15202-3.
Dmitry Panchenko: The Sherrington-Kirkpatrick Model. Hrsg.: Springer. New York 2013, S. 3–4, doi:10.1007/978-1-4614-6289-7.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 04, 2023, 20:39 pm

Das Sherrington Kirkpatrick Modell ist in der statistischen Physik ein losbares Spin Glas Modell welches 1975 von David Sherrington und Scott Kirkpatrick eingefuhrt wurde 1 Es ist ein Mean Field Modell fur das Spin Glas Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Eigenschaften 1 2 Grenzwertverhalten 1 3 Verallgemeinerungen 2 Literatur 3 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDas Sherrington Kirkpatrick Modell besteht aus einer Konfiguration s s 1 s N S N 1 1 N displaystyle sigma sigma 1 dots sigma N in Sigma N 1 1 N nbsp bestehend aus N displaystyle N nbsp binaren Spins s i 1 1 displaystyle sigma i in 1 1 nbsp und einem Hamiltonoperator gegeben durch H N s 1 N 1 i lt j N g i j s i s j displaystyle H N sigma frac 1 sqrt N sum limits 1 leq i lt j leq N g ij sigma i sigma j nbsp wobei fur 1 i lt j N displaystyle 1 leq i lt j leq N nbsp die g i j displaystyle g ij nbsp unabhangige Zufallsvariablen sind sowie g i j N 0 1 displaystyle g ij sim mathcal N 0 1 nbsp 2 Ublicherweise ist man nun an max s S N H N s displaystyle max limits sigma in Sigma N H N sigma nbsp fur eine Realisation der g i j displaystyle g ij nbsp interessiert Eigenschaften Bearbeiten H N s displaystyle H N sigma nbsp ist zentriert und gausssch Es giltE H N s 1 H N s 2 1 N i lt j s i 1 s j 1 s i 2 s j 2 N 2 1 N i 1 N s i 1 s i 2 2 1 2 N 2 R 1 2 2 1 2 displaystyle mathbb E H N sigma 1 H N sigma 2 frac 1 N sum limits i lt j sigma i 1 sigma j 1 sigma i 2 sigma j 2 frac N 2 left frac 1 N sum limits i 1 N sigma i 1 sigma i 2 right 2 frac 1 2 frac N 2 left R 1 2 right 2 frac 1 2 nbsp wobei R 1 2 displaystyle R 1 2 nbsp ein normalisiertes euklidisches Skalarprodukt ist 3 Grenzwertverhalten Bearbeiten Die Partitionsfunktion ist Z N b s S N exp b H N s displaystyle Z N beta sum limits sigma in Sigma N exp beta H N sigma nbsp wobei b gt 0 displaystyle beta gt 0 nbsp der inverse Temperatur Parameter ist Die freie Energie ist F N b 1 N E log Z N b displaystyle F N beta frac 1 N mathbb E log Z N beta nbsp Dann gilt lim N 1 N E max s S N H N s lim b F b b displaystyle lim limits N to infty frac 1 N mathbb E left max limits sigma in Sigma N H N sigma right lim limits beta to infty frac F beta beta nbsp wobei F b lim N F N b displaystyle F beta lim limits N to infty F N beta nbsp 4 Verallgemeinerungen Bearbeiten Eine naturliche Verallgemeinerung ist das gemischte p Spin Modell dessen Hamiltonian aus linearen Kombinationen von p displaystyle p nbsp Spins statt nur 2 displaystyle 2 nbsp besteht Literatur BearbeitenDmitry Panchenko The Sherrington Kirkpatrick Model An Overview In Springer Science and Business Media Hrsg Journal of Statistical Physics Band 149 Nr 2 2012 S 362 383 doi 10 1007 s10955 012 0586 7 Dmitry Panchenko The Sherrington Kirkpatrick Model Hrsg Springer New York 2013 doi 10 1007 978 1 4614 6289 7 Michael Talagrand Mean Field Models for Spin Glasses Hrsg Springer Band 1 ISBN 978 3 642 26598 3 doi 10 1007 978 3 642 15202 3 Mezard M Parisi G Virasoro M A Spin glass theory and Beyond W S Lect Notes in Physics 9 Singapore World Scientific 1987Einzelnachweise Bearbeiten D Sherrington und S Kirkpatrick Solvable model of a spin glass In Phys Rev Lett Band 35 1975 S 1792 1796 Dmitry Panchenko The Sherrington Kirkpatrick Model An Overview In Springer Science and Business Media Hrsg Journal of Statistical Physics Band 149 Nr 2 2012 S 362 383 doi 10 1007 s10955 012 0586 7 Michael Talagrand Mean Field Models for Spin Glasses Hrsg Springer Band 1 ISBN 978 3 642 26598 3 doi 10 1007 978 3 642 15202 3 Dmitry Panchenko The Sherrington Kirkpatrick Model Hrsg Springer New York 2013 S 3 4 doi 10 1007 978 1 4614 6289 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sherrington Kirkpatrick Modell amp oldid 232161699