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Sendowsche Vermutung Die oft auch als Ilieff Vermutung oder Ilieff Sendow Vermutung bezeichnet ist eine bislang unbewies

Sendowsche Vermutung

Die Sendowsche Vermutung, oft auch als Ilieff-Vermutung oder Ilieff-Sendow-Vermutung bezeichnet, ist eine bislang unbewiesene Vermutung der Funktionentheorie, die im Jahr 1958 durch den bulgarischen Mathematiker Blagowest Sendow (1932–2020) erstmals aufgestellt wurde.

Inhalt der Sendowschen Vermutung Bearbeiten

Es wird ein Polynom P -ten Grades

mit Nullstellen aus dem Einheitskreis der komplexen Zahlenebene betrachtet. Diese Nullstellen müssen nicht verschieden sein.

Nun wird die erste Ableitung des Polynoms gebildet. ist ein Polynom vom Grad . Nach dem Satz von Gauß-Lucas liegen die Nullstellen dieses neuen Polynoms alle in der konvexen Hülle der Nullstellen des Polynoms , also auch innerhalb des Einheitskreises.

Die Sendowsche Vermutung besagt, dass es für jede Nullstelle von eine Nullstelle von gibt (also einen kritischen Punkt), deren Abstand zueinander kleiner oder gleich 1 ist: .

Obwohl diese Vermutung wie eine Selbstverständlichkeit anmutet, ist sie bis heute (2020) nicht vollständig bewiesen. Beweise wurden erbracht für Polynome bis zum Grad 10. Außerdem wurde für Polynome beliebigen Grades bewiesen, dass sich jeweils mindestens eine Nullstelle der ersten Ableitung des Polynoms innerhalb eines Radiusses von 1,08331641 um eine Nullstelle des Polynoms befindet, also mit den obigen Bezeichnungen . Ein Beweis für Polynome des Grades > 10 mit Radius = 1 um die Nullstellen konnte bisher noch nicht gefunden werden.

Geschichte Bearbeiten

Blagowest Sendow äußerte die nach ihm benannte Vermutung im Jahr 1958 gegenüber Nikola Obreschkow, bei dem er wissenschaftlicher Assistent war. 1967 bezeichnete Walter Hayman in seiner Veröffentlichung die Sendow-Vermutung irrtümlich als Ilieff-Vermutung, seitdem gibt es diese Namensvielfalt.

Viele Mathematiker auf der ganzen Welt haben versucht diese Vermutung zu beweisen, bisher nur mit Teilerfolgen.

1969 bewiesen A. Meir und A. Sharma die Vermutung für Polynome mit einem Grad kleiner als 6. 1985 bewiesen B. Bojanov, Q. Rahman, und J. Szynal die Vermutung für Polynome beliebigen Grades für einen Radius von 1,08331641. 1991 bewies J. Brown die Vermutung für Polynome mit einem Grad kleiner als 7. 1996 bewies I. Borcea die Vermutung für Polynome mit einem Grad kleiner als 8. 1999 bewiesen J. Brown und G. Xiang die Vermutung für Polynome mit einem Grad kleiner als 9. Der Beweis der Vermutung für Polynome 9. Grades gelang Zaizhao Meng im Jahr 2018. Den Beweis für Polynome 10. Grades erbrachte Dinesh Sharma Bhattarai im Jahr 2019.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ The Ilieff-Sendov Conjecture bei faculty.etsu.edu. Abgerufen am 28. Februar 2020.
  2. ↑ Die Vermutung von Sendov - ein aktuelles mathematisches Problem bei presse.uni-oldenburg.de. Abgerufen am 28. Februar 2020.
  3. A Conjecture in the Geometry of Polynomials bei kurims.kyoto-u.ac.jp. Abgerufen am 28. Februar 2020.
  4. ↑ Zaizhao Meng: Proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree nine, 2018 online
  5. ↑ Dinesh Sharma Bhattarai: A Proof of Sendov's conjecture for Polynomials of degree Ten, International Journal of Scientific and Research Publications, Volume 9, Issue 8, August 2019, ISSN 2250-3153 online
  6. Благовест Сендов bei mmib.math.bas.bg (bulgarisch). Abgerufen am 28. Februar 2020.
  7. Почина Академик Благовест Сендов – Световно Известен Математик bei bulgarica.com. Abgerufen am 28. Februar 2020.
  8. Walter Hayman: Research Problems in Function Theory, London: Athlone, 1967
  9. Meir, A. and A. Sharma: On Ilyeff’s Conjecture,, Pacific Journal of Mathematics, 31, 459–467, 1969.
  10. Bojanov, B., Rahman, Q., and J. Szynal: On a Conjecture of Sendov about the Critical Points of a Polynomial, Mathematische Zeitschrift, 190, 281–285, 1985.
  11. Brown, J.: On the Sendov Conjecture for Sixth Degree Polynomials, Proceedings of the American mathematical Society, 113(4), 939–946, 1991.
  12. Borcea, I.: On the Sendov Conjecture for Polynomials with at Most Six Distinct Roots, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 200, 182–206, 1996.
  13. Brown, J. and G. Xiang: Proof of the Sendov Conjecture for Polynomials of Degree at Most Eight, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 232, 272–292, 1999.

Weblinks Bearbeiten

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Die Sendowsche Vermutung oft auch als Ilieff Vermutung oder Ilieff Sendow Vermutung bezeichnet ist eine bislang unbewiesene Vermutung der Funktionentheorie die im Jahr 1958 durch den bulgarischen Mathematiker Blagowest Sendow 1932 2020 erstmals aufgestellt wurde 1 2 3 Inhaltsverzeichnis 1 Inhalt der Sendowschen Vermutung 2 Geschichte 3 Einzelnachweise 4 WeblinksInhalt der Sendowschen Vermutung BearbeitenEs wird ein Polynom P n displaystyle n nbsp ten Grades P z z r 1 z r n n 2 displaystyle P z z r 1 cdots z r n qquad n geq 2 nbsp mit Nullstellen r 1 r n displaystyle r 1 ldots r n nbsp aus dem Einheitskreis der komplexen Zahlenebene betrachtet Diese Nullstellen mussen nicht verschieden sein Nun wird die erste Ableitung P displaystyle P nbsp des Polynoms P displaystyle P nbsp gebildet P displaystyle P nbsp ist ein Polynom vom Grad n 1 displaystyle n 1 nbsp Nach dem Satz von Gauss Lucas liegen die Nullstellen dieses neuen Polynoms P displaystyle P nbsp alle in der konvexen Hulle der Nullstellen des Polynoms P displaystyle P nbsp also auch innerhalb des Einheitskreises Die Sendowsche Vermutung besagt dass es fur jede Nullstelle r displaystyle r nbsp von P displaystyle P nbsp eine Nullstelle z displaystyle z nbsp von P displaystyle P nbsp gibt also einen kritischen Punkt deren Abstand zueinander kleiner oder gleich 1 ist z r 1 displaystyle z r leq 1 nbsp 1 2 Obwohl diese Vermutung wie eine Selbstverstandlichkeit anmutet ist sie bis heute 2020 nicht vollstandig bewiesen Beweise wurden erbracht fur Polynome bis zum Grad 10 1 4 5 Ausserdem wurde fur Polynome beliebigen Grades bewiesen dass sich jeweils mindestens eine Nullstelle der ersten Ableitung des Polynoms innerhalb eines Radiusses von 1 08331641 um eine Nullstelle des Polynoms befindet also mit den obigen Bezeichnungen z r 1 08331641 displaystyle z r leq 1 08331641 nbsp 1 Ein Beweis fur Polynome des Grades gt 10 mit Radius 1 um die Nullstellen konnte bisher noch nicht gefunden werden Geschichte BearbeitenBlagowest Sendow ausserte die nach ihm benannte Vermutung im Jahr 1958 gegenuber Nikola Obreschkow bei dem er wissenschaftlicher Assistent war 6 7 1 2 1967 bezeichnete Walter Hayman in seiner Veroffentlichung 8 die Sendow Vermutung irrtumlich als Ilieff Vermutung seitdem gibt es diese Namensvielfalt 1 Viele Mathematiker auf der ganzen Welt haben versucht diese Vermutung zu beweisen bisher nur mit Teilerfolgen 1 2 1969 bewiesen A Meir und A Sharma die Vermutung fur Polynome mit einem Grad kleiner als 6 9 1985 bewiesen B Bojanov Q Rahman und J Szynal die Vermutung fur Polynome beliebigen Grades fur einen Radius von 1 08331641 10 1991 bewies J Brown die Vermutung fur Polynome mit einem Grad kleiner als 7 11 1996 bewies I Borcea die Vermutung fur Polynome mit einem Grad kleiner als 8 12 1999 bewiesen J Brown und G Xiang die Vermutung fur Polynome mit einem Grad kleiner als 9 13 Der Beweis der Vermutung fur Polynome 9 Grades gelang Zaizhao Meng im Jahr 2018 4 Den Beweis fur Polynome 10 Grades erbrachte Dinesh Sharma Bhattarai im Jahr 2019 5 Einzelnachweise Bearbeiten a b c d e f g The Ilieff Sendov Conjecture bei faculty etsu edu Abgerufen am 28 Februar 2020 a b c d Die Vermutung von Sendov ein aktuelles mathematisches Problem bei presse uni oldenburg de Abgerufen am 28 Februar 2020 A Conjecture in the Geometry of Polynomials bei kurims kyoto u ac jp Abgerufen am 28 Februar 2020 a b Zaizhao Meng Proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree nine 2018 online a b Dinesh Sharma Bhattarai A Proof of Sendov s conjecture for Polynomials of degree Ten International Journal of Scientific and Research Publications Volume 9 Issue 8 August 2019 ISSN 2250 3153 online Blagovest Sendov bei mmib math bas bg bulgarisch Abgerufen am 28 Februar 2020 Pochina Akademik Blagovest Sendov Svetovno Izvesten Matematik bei bulgarica com Abgerufen am 28 Februar 2020 Walter Hayman Research Problems in Function Theory London Athlone 1967 Meir A and A Sharma On Ilyeff s Conjecture Pacific Journal of Mathematics 31 459 467 1969 Bojanov B Rahman Q and J Szynal On a Conjecture of Sendov about the Critical Points of a Polynomial Mathematische Zeitschrift 190 281 285 1985 Brown J On the Sendov Conjecture for Sixth Degree Polynomials Proceedings of the American mathematical Society 113 4 939 946 1991 Borcea I On the Sendov Conjecture for Polynomials with at Most Six Distinct Roots Journal of Mathematical Analysis and Applications 200 182 206 1996 Brown J and G Xiang Proof of the Sendov Conjecture for Polynomials of Degree at Most Eight Journal of Mathematical Analysis and Applications 232 272 292 1999 Weblinks BearbeitenSimulation bis n 10 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sendowsche Vermutung amp oldid 229053494