Sinus versus auch Sinusversus Quersinus Versinus oder Versus in Formeln abgekurzt vers displaystyle operatorname vers und der Kosinus versus auch Koversinus oder Querkosinus in Formeln abgekurzt covers displaystyle operatorname covers sind in der Trigonometrie heute selten verwendete trigonometrische Funktionen Semiversus englisch haversine in Formeln abgekurzt sem displaystyle operatorname sem ist der halbe Sinus versus Inhaltsverzeichnis 1 Sinus versus 2 Semiversus 3 Kosinus versus 4 Verwandte Funktionen 5 Geschichte und Verwendung 6 Literatur 7 EinzelnachweiseSinus versus Bearbeiten nbsp Veranschaulichung am Einheitskreis Der Sinus versus C D displaystyle CD nbsp bildet zusammen mit dem Kosinus einen Radius 1 O D displaystyle OD nbsp der Kosinus versus G F displaystyle GF nbsp zusammen mit dem Sinus einen Radius 1 O F displaystyle OF nbsp Der Sinus versus wird mit Hilfe der Kosinus oder Sinusfunktion definiert als 1 vers 8 1 cos 8 2 sin 2 8 2 displaystyle operatorname vers theta 1 cos theta 2 sin 2 frac theta 2 nbsp Er ist die Differenz des Kosinus zu 1 in nebenstehender Abbildung in der Farbe Grun eingezeichnet Der Sinus versus kann auf die ganze komplexe Zahlenebene ausgeweitet werden Semiversus BearbeitenDer Semiversus ist die Halfte des Sinus versus 2 sem 8 vers 8 2 sin 2 8 2 displaystyle operatorname sem theta frac operatorname vers theta 2 sin 2 frac theta 2 nbsp Kosinus versus BearbeitenDer Kosinus versus ist in nebenstehender Abbildung in der Farbe Cyan und als cvs eingezeichnet covers 8 1 sin 8 vers p 2 8 displaystyle operatorname covers theta 1 sin theta operatorname vers left frac pi 2 theta right nbsp Er ist die Differenz des Sinus zu 1 und auch der Sinus versus des Gegenarguments p 2 8 3 Verwandte Funktionen BearbeitenManchmal wird analog zu versin 8 2 sin 2 8 2 displaystyle operatorname versin theta 2 sin 2 theta 2 nbsp und coversin 8 versin p 2 8 displaystyle operatorname coversin theta operatorname versin pi 2 theta nbsp unter vercos etwas anderes verstanden als unter coversin und unter covercos etwas anderes als unter versin In folgender Tabelle sind die Funktionen zusammen mit einigen verwandten trigonometrischen Funktionen und dem grafischen Funktionsverlauf zusammengefasst versin 8 1 cos 8 2 sin 2 8 2 displaystyle operatorname versin theta 1 cos theta 2 sin 2 frac theta 2 nbsp nbsp haversin 8 versin 8 2 1 cos 8 2 displaystyle operatorname haversin theta frac operatorname versin theta 2 frac 1 cos theta 2 nbsp nbsp vercos 8 1 cos 8 2 cos 2 8 2 displaystyle operatorname vercos theta 1 cos theta 2 cos 2 frac theta 2 nbsp nbsp havercos 8 vercos 8 2 1 cos 8 2 displaystyle operatorname havercos theta frac operatorname vercos theta 2 frac 1 cos theta 2 nbsp nbsp coversin 8 1 sin 8 versin p 2 8 displaystyle operatorname coversin theta 1 sin theta operatorname versin left frac pi 2 theta right nbsp nbsp hacoversin 8 coversin 8 2 1 sin 8 2 displaystyle operatorname hacoversin theta frac operatorname coversin theta 2 frac 1 sin theta 2 nbsp nbsp covercos 8 1 sin 8 vercos p 2 8 displaystyle operatorname covercos theta 1 sin theta operatorname vercos left frac pi 2 theta right nbsp nbsp hacovercos 8 covercos 8 2 1 sin 8 2 displaystyle operatorname hacovercos theta frac operatorname covercos theta 2 frac 1 sin theta 2 nbsp nbsp Die Ableitungen und die Stammfunktionen sind d d x versin x sin x displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname versin x sin x nbsp v e r s i n x d x x sin x C displaystyle int mathrm versin x mathrm d x x sin x C nbsp d d x vercos x sin x displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname vercos x sin x nbsp v e r c o s x d x x sin x C displaystyle int mathrm vercos x mathrm d x x sin x C nbsp d d x coversin x cos x displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname coversin x cos x nbsp c o v e r s i n x d x x cos x C displaystyle int mathrm coversin x mathrm d x x cos x C nbsp d d x covercos x cos x displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname covercos x cos x nbsp c o v e r c o s x d x x cos x C displaystyle int mathrm covercos x mathrm d x x cos x C nbsp d d x haversin x sin x 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname haversin x frac sin x 2 nbsp h a v e r s i n x d x x sin x 2 C displaystyle int mathrm haversin x mathrm d x frac x sin x 2 C nbsp d d x havercos x sin x 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname havercos x frac sin x 2 nbsp h a v e r c o s x d x x sin x 2 C displaystyle int mathrm havercos x mathrm d x frac x sin x 2 C nbsp d d x hacoversin x cos x 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname hacoversin x frac cos x 2 nbsp h a c o v e r s i n x d x x cos x 2 C displaystyle int mathrm hacoversin x mathrm d x frac x cos x 2 C nbsp d d x hacovercos x cos x 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname hacovercos x frac cos x 2 nbsp h a c o v e r c o s x d x x cos x 2 C displaystyle int mathrm hacovercos x mathrm d x frac x cos x 2 C nbsp Geschichte und Verwendung BearbeitenDer Seiten Kosinussatz der spharischen Trigonometrie spielte fur die nautische Navigation nach den Sternen in fruherer Zeit eine wichtige Rolle 4 Um die dabei erforderlichen Multiplikationen trigonometrischer Funktionen durch das Nachschlagen von Tabellenwerten 5 zu vereinfachen wurde der Semiversus eingefuhrt Es ergibt sich daraus unter anderem damit der Seiten Kosinussatz zu s e m a s e m b c sin b sin c s e m a displaystyle rm sem a rm sem b c sin b cdot sin c cdot rm sem alpha nbsp Literatur BearbeitenM Abramowitz I A Stegun Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables New York Dover 1972 S 78 Online Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Versine In MathWorld englisch Eric W Weisstein Haversine In MathWorld englisch Eric W Weisstein Coversine In MathWorld englisch Bobby Schenk Astronavigation ohne Formeln praxisnah 2 Auflage Delius Klasing amp Co Bielefeld 1978 Otto Fulst Nautische Tafeln Hrsg Johannes Lutjen Walter Stein Gerhard Zwiebler 24 Auflage Arthur Geist Verlag Bremen 1972 17 18 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sinus versus und Kosinus versus amp oldid 231138791
