Ein Semiprimideal ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er stellt eine Erweiterung des Begriffs des Primideals dar.
Definition Bearbeiten
Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins. Dann ist ein Ideal Q von R ein Semiprimideal, wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
- Ist ein Ideal von R mit , dann ist .
- Q ist ein Durchschnitt von Primidealen.
Eigenschaften Bearbeiten
- Ein Ring R heißt semiprim, wenn ein Semiprimideal ist. Dann ist die Abbildung , wobei das Produkt über alle Primideale gebildet wird, injektiv. Daher ist ein semiprimer Ring subdirektes Produkt primer Ringe, das heißt solcher, in denen das Nullideal prim ist.
- Ein Durchschnitt von Semiprimidealen ist wieder ein Semiprimideal.
- Das Primradikal ist das kleinste Semiprimideal.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.6.17 angewandt auf R/Q.
- Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), § 2.2.