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Selbergs zentraler Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus der stochastischen Zahlentheorie welcher die Verteilung

Selbergs zentraler Grenzwertsatz

Selbergs zentraler Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus der stochastischen Zahlentheorie, welcher die Verteilung der riemannschen Zeta-Funktion auf der kritischen Gerade charakterisiert. Der Satz sagt im Wesentlichen, dass sich die Verteilung der Absolutwerte

unter korrekter Normierung der Log-Normalverteilung annähert. Die stochastische Komponente kommt dabei von , welches man aus einem beliebigen aber großen Interval unter der Gleichverteilung zieht. Verzichtet man auf die Betragsstriche, so nähert sich die Verteilung der komplexen Log-Normalverteilung.

Das Theorem wurde 1946 in etwas anderer Form von Atle Selberg bewiesen. Er bewies eine leicht stärkere Aussage für das -te Moment von , welche das Theorem für das Argument impliziert. Die heutige Fassung stammt von Selberg und Tsang.

Die Aussage benötigt die riemannsche Vermutung nicht.

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Notation:

Komplexe Variante des Theorems Bearbeiten

Sei eine genügend große Zahl und . Definiere , dann konvergiert die Zufallsvariable in Verteilung zu einer komplexen Normalverteilung.

In Formeln:

Reelle Variante des Theorems Bearbeiten

Aus der Beziehung

folgt insbesondere für den reellen Teil

und für den imaginären Teil

Erläuterungen Bearbeiten

Die Zufallsvariable nähert sich einer zentrierten Log-Normalverteilung mit ungefährer Log-Varianz

Entfernen von Log(0) Bearbeiten

Der Satz gilt auch für die Zufallsvariable

Selbergs Variante für den k-ten Moment Bearbeiten

Selberg bewies für positive ganzzahlige

Der Fall wurde von Selberg auch untersucht und er lieferte eine Beweismöglichkeit, aber vollständig bewiesen wurde die Aussage für den Absolutwert erst 1984 durch Tsang.

Selberg erkannte, dass dies die Momente einer zentrierten gaußschen Zufallsvariable sind, und folgerte daraus

wobei das Lebesgue-Maß bezeichnet.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Atle Selberg: Contributions to the theory of the Riemann zeta-function. In: Arch. Math. Naturvid. Band 48, Nr. 5, 1946, S. 89–155.
  2. Ciprian Tudor: Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus. Hrsg.: arXiv. 2016, doi:10.48550/ARXIV.1601.02515, arxiv:1601.02515 [abs].
  3. ↑ Kai Man Tsang: The distribution of the values of the Riemann zeta-function. Hrsg.: Princeton University. Oktober 1984 (Doktorarbeit).
  4. Patrick Kühn: On Selberg’s central limit theorem. Hrsg.: ETH Zürich. 2011, S. 7 (researchgate.net – Masterarbeit).
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Veröffentlichungsdatum:
Selbergs zentraler Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus der stochastischen Zahlentheorie welcher die Verteilung der riemannschen Zeta Funktion auf der kritischen Gerade charakterisiert Der Satz sagt im Wesentlichen dass sich die Verteilung der Absolutwerte z 1 2 i t displaystyle zeta tfrac 1 2 it unter korrekter Normierung der Log Normalverteilung annahert Die stochastische Komponente kommt dabei von t displaystyle t welches man aus einem beliebigen aber grossen Interval unter der Gleichverteilung zieht Verzichtet man auf die Betragsstriche so nahert sich die Verteilung der komplexen Log Normalverteilung Das Theorem wurde 1946 in etwas anderer Form von Atle Selberg bewiesen Er bewies eine leicht starkere Aussage fur das k displaystyle k te Moment von arg z 1 2 i t displaystyle operatorname arg zeta tfrac 1 2 it welche das Theorem fur das Argument impliziert 1 2 Die heutige Fassung stammt von Selberg und Tsang 3 Die Aussage benotigt die riemannsche Vermutung nicht Inhaltsverzeichnis 1 Selbergs zentraler Grenzwertsatz 1 1 Komplexe Variante des Theorems 1 2 Reelle Variante des Theorems 1 3 Erlauterungen 1 3 1 Entfernen von Log 0 2 Selbergs Variante fur den k ten Moment 3 Literatur 4 EinzelnachweiseSelbergs zentraler Grenzwertsatz BearbeitenNotation C N 0 1 displaystyle mathcal CN 0 1 nbsp ist die komplexe Standardnormalverteilung das heisst C N 0 1 N 0 1 i N 0 1 displaystyle mathcal CN 0 1 mathcal N 0 1 i mathcal N 0 1 nbsp Uni T 2 T displaystyle operatorname Uni T 2T nbsp ist die stetige Gleichverteilung auf T 2 T displaystyle T 2T nbsp Komplexe Variante des Theorems Bearbeiten Sei T gt 0 displaystyle T gt 0 nbsp eine genugend grosse Zahl und t Uni T 2 T displaystyle t sim operatorname Uni T 2T nbsp Definiere s 1 2 log log T displaystyle sigma left sqrt tfrac 1 2 log log T right nbsp dann konvergiert die Zufallsvariable 1 s log z 1 2 i t displaystyle tfrac 1 sigma log zeta tfrac 1 2 it nbsp in Verteilung zu einer komplexen Normalverteilung In Formeln 1 s log z 1 2 i t d C N 0 1 T displaystyle frac 1 sigma log zeta tfrac 1 2 it xrightarrow d mathcal CN 0 1 quad T to infty nbsp Reelle Variante des Theorems Bearbeiten Aus der Beziehung log s log s i arg s displaystyle log s log s i operatorname arg s nbsp folgt insbesondere fur den reellen Teil 1 s log z 1 2 i t d N 0 1 displaystyle frac 1 sigma log zeta tfrac 1 2 it xrightarrow d mathcal N 0 1 nbsp und fur den imaginaren Teil 1 s arg z 1 2 i t d N 0 1 displaystyle frac 1 sigma operatorname arg zeta tfrac 1 2 it xrightarrow d mathcal N 0 1 nbsp Erlauterungen Bearbeiten Die Zufallsvariable z 1 2 i t displaystyle zeta tfrac 1 2 it nbsp nahert sich einer zentrierten Log Normalverteilung mit ungefahrer Log Varianz s 2 1 2 log log T displaystyle sigma 2 approx left tfrac 1 2 log log T right nbsp Entfernen von Log 0 Bearbeiten Der Satz gilt auch fur die Zufallsvariable 1 s S 0 falls z 1 2 i t 0 1 s log z 1 2 i t sonst displaystyle frac 1 sigma S begin cases 0 amp text falls zeta tfrac 1 2 it 0 frac 1 sigma log zeta tfrac 1 2 it amp text sonst end cases nbsp Selbergs Variante fur den k ten Moment BearbeitenSelberg bewies fur positive ganzzahlige k displaystyle k nbsp 4 1 T T 2 T arg z 1 2 i t 2 k d t 2 2 k 2 k k k log log T k O log log T k 1 2 displaystyle frac 1 T int T 2T operatorname arg zeta tfrac 1 2 it 2k mathrm d t 2 2k binom 2k k k log log T k mathcal O left log log T k tfrac 1 2 right nbsp Der Fall log z 1 2 i t displaystyle log zeta tfrac 1 2 it nbsp wurde von Selberg auch untersucht und er lieferte eine Beweismoglichkeit aber vollstandig bewiesen wurde die Aussage fur den Absolutwert erst 1984 durch Tsang 3 Selberg erkannte dass dies die Momente einer zentrierten gaussschen Zufallsvariable sind und folgerte daraus 1 T l 0 t T 1 s log z 1 2 i t r 1 2 p r e u 2 2 d u displaystyle frac 1 T lambda big left 0 leq t leq T tfrac 1 sigma log zeta tfrac 1 2 it geq r right big sim frac 1 sqrt 2 pi int r infty e frac u 2 2 mathrm d u nbsp wobei l displaystyle lambda nbsp das Lebesgue Mass bezeichnet Literatur BearbeitenMaksym Radziwill und Kannan Soundararajan Selberg s central limit theorem for log z 1 2 i t displaystyle log zeta tfrac 1 2 it nbsp Hrsg arXiv 2015 doi 10 48550 ARXIV 1509 06827 arxiv 1509 06827 abs Ciprian Tudor Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus Hrsg arXiv 2016 doi 10 48550 ARXIV 1601 02515 arxiv 1601 02515 abs Patrick Kuhn On Selberg s central limit theorem Hrsg ETH Zurich 2011 researchgate net Masterarbeit Terence Tao Selberg s limit theorem for the Riemann zeta function on the critical line 2009 abgerufen am 7 August 2022 Blog Artkel Einzelnachweise Bearbeiten Atle Selberg Contributions to the theory of the Riemann zeta function In Arch Math Naturvid Band 48 Nr 5 1946 S 89 155 Ciprian Tudor Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus Hrsg arXiv 2016 doi 10 48550 ARXIV 1601 02515 arxiv 1601 02515 abs a b Kai Man Tsang The distribution of the values of the Riemann zeta function Hrsg Princeton University Oktober 1984 Doktorarbeit Patrick Kuhn On Selberg s central limit theorem Hrsg ETH Zurich 2011 S 7 researchgate net Masterarbeit Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Selbergs zentraler Grenzwertsatz amp oldid 236790551