Der Satz von der offenen Abbildung in der mathematischen Theorie der lokalkompakten Gruppen besagt dass ein Gruppenhomomorphismus in einer bestimmten Situation automatisch offen ist Inhaltsverzeichnis 1 Begriffe 2 Formulierung des Satzes 3 Beispiele 4 EinzelnachweiseBegriffe BearbeitenEine lokalkompakte Gruppe ist eine topologische Gruppe die als topologischer Raum ein lokalkompakter Hausdorffraum ist Ein solcher Raum heisst s kompakt oder abzahlbar im Unendlichen wenn er die abzahlbare Vereinigung kompakter Teilmengen ist Gruppenhomomorphismen zwischen topologischen Gruppen heissen stetig bzw offen wenn sie als Abbildungen zwischen den topologischen Raumen stetig bzw offen sind Formulierung des Satzes BearbeitenEs seien G displaystyle G nbsp eine s kompakte lokalkompakte Gruppe und f G H displaystyle f colon G rightarrow H nbsp ein stetiger surjektiver Gruppenhomomorphismus auf eine lokalkompakte Gruppe H displaystyle H nbsp Dann ist f displaystyle f nbsp offen 1 2 3 Beispiele BearbeitenDie Abbildungf R T z C z 1 t e i t displaystyle f colon mathbb R rightarrow mathbb T z in mathbb C mid z 1 quad t mapsto e mathrm i t nbsp dd ist ein stetiger surjektiver Gruppenhomomorphismus wenn man R displaystyle mathbb R nbsp mit der Addition und T displaystyle mathbb T nbsp mit der Multiplikation als Gruppenstruktur versieht und sie die ublichen Topologien tragen Nach obigem Satz ist f displaystyle f nbsp offen Sei G L n R displaystyle mathrm GL n mathbb R nbsp die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit der Matrizenmultiplikation als Gruppenstruktur Dann ist die Determinantedet G L n R R R 0 A det A displaystyle det colon mathrm GL n mathbb R rightarrow mathbb R mathbb R setminus 0 quad A mapsto det A nbsp dd wegen des Determinantenmultiplikationssatzes ein Gruppenhomomorphismus wenn man auf R displaystyle mathbb R nbsp die Multiplikation betrachtet Die Determinante ist stetig denn sie ist nach der Leibniz Formel nur aus Summen von Produkten der Matrixkomponenten aufgebaut Die Determinante ist offenbar auch surjektiv denn ist t R displaystyle t in mathbb R nbsp so bildet die Determinante die Diagonalmatrix mit der Diagonalen t 1 1 displaystyle t 1 dotsc 1 nbsp auf t displaystyle t nbsp ab G L n R displaystyle mathrm GL n mathbb R nbsp und R displaystyle mathbb R nbsp sind als offene Teilmengen der lokalkompakten Raume M a t n R R n 2 displaystyle mathrm Mat n mathbb R cong mathbb R n 2 nbsp und R displaystyle mathbb R nbsp wieder lokalkompakt und leicht uberlegt man sich dass G L n R displaystyle mathrm GL n mathbb R nbsp sogar s kompakt ist Damit kann man obigen Satz anwenden und erhalt dass die angegebene Determinantenabbildung offen ist Sei R displaystyle mathbb R nbsp die additive Gruppe mit der ublichen Topologie und R d displaystyle mathbb R d nbsp die Gruppe der reellen Zahlen mit der diskreten Topologie Beides sind offenbar lokalkompakte Gruppen R displaystyle mathbb R nbsp ist s kompakt R d displaystyle mathbb R d nbsp hingegen nicht Daher kann man den Satz nicht auf den stetigen surjektiven Gruppenhomomorphismus i d R R d R displaystyle mathrm id mathbb R colon mathbb R d rightarrow mathbb R nbsp anwenden und tatsachlich ist diese Abbildung auch nicht offen Also kann man in obigem Satz nicht auf die Voraussetzung der s Kompaktheit verzichten 4 Einzelnachweise Bearbeiten J Hilgert K H Neeb Lie Gruppen und Lie Algebren Vieweg Verlag 1991 ISBN 978 3 528 06432 7 Markus Stroppel Locally Compact Groups European Mathematical Society 2006 ISBN 3 03719 016 7 Satz 6 19 Sidney A Morris Pontryagin Duality and the Structure of locally compact abelian groups Cambridge University Press ISBN 0 5212 1543 9 Kap 1 Theorem 3 Markus Stroppel Locally Compact Groups European Mathematical Society 2006 ISBN 3 03719 016 7 Beispiel 6 20 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von der offenen Abbildung Lokalkompakte Gruppen amp oldid 237158881
