Der Satz von de Finetti auch Darstellungssatz von de Finetti oder de Finetti s representation theorem ist ein Satz aus der Stochastik uber austauschbare Familien von Zufallsvariablen benannt nach seinem Entdecker Bruno de Finetti Der Satz sagt dass die Verteilung einer austauschbaren Folge von Bernoulli verteilten Zufallsvariablen als ein Integral uber bedingt unabhangige Bernoulli verteilte Zufallsvariablen betrachtet werden kann Formulierung des Satzes BearbeitenSei X i displaystyle X i nbsp eine unendliche Folge von austauschbaren Bernoulli verteilten Zufallsvariablen mit Parameter p displaystyle p nbsp und Dichte p p x i p x i 1 p 1 x i displaystyle pi p x i p x i 1 p 1 x i nbsp fur x i 0 1 displaystyle x i in 0 1 nbsp Dann existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Verteilungsfunktion F displaystyle F nbsp so dass fur jedes N displaystyle N nbsp und jede Realisierung x 1 x N 0 1 N displaystyle x 1 dots x N in 0 1 N nbsp gilt P X 1 x 1 X N x N i 1 N p p x i d F p 0 1 p m 1 p N m d F p displaystyle P X 1 x 1 dots X N x N int prod limits i 1 N pi p x i mathrm d F p int 0 1 p m 1 p N m mathrm d F p nbsp wobei m i 1 N x i displaystyle m sum i 1 N x i nbsp die Anzahl erfolgreicher Bernoulli Versuche bei N displaystyle N nbsp Versuchen ist Betrachtung als Gewichtung Bearbeiten Anders formuliert konnen wir auch sagen es existiert eine Zufallsvariable Y displaystyle Y nbsp auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp mit Verteilungsfunktion F displaystyle F nbsp so dass die X 1 X N displaystyle X 1 dots X N nbsp gegeben Y displaystyle Y nbsp bedingt unabhangig sind das heisst P X 1 x 1 X N x N Y p i 1 N P X i x i Y p displaystyle P X 1 x 1 dots X N x N mid Y p prod limits i 1 N P X i x i mid Y p nbsp wobei P X i 1 Y p p displaystyle P X i 1 mid Y p p nbsp fur i 1 N displaystyle i 1 dots N nbsp gilt Weiter gilt nach de Finettis Gesetz der grossen Zahlen 1 n i 1 n X i Y fast sicher fur n displaystyle frac 1 n sum limits i 1 n X i to Y quad text fast sicher fur n to infty nbsp Weblinks BearbeitenExchangeability and de Finetti s Theorem Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von de Finetti amp oldid 244167807
