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Satz von Pohlke Der auch Fundamentalsatz der Axonometrie oder Hauptsatz der Axonometrie genannt ist ein Lehrsatz des mat

Satz von Pohlke

Der Satz von Pohlke, auch Fundamentalsatz der Axonometrie oder Hauptsatz der Axonometrie genannt, ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Darstellenden Geometrie. Er geht auf den Karl Wilhelm Pohlke zurück und behandelt eine grundlegende Fragestellung der Axonometrie.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Satz von Pohlke

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:

so dass die verkettete Abbildung den Eckpunkt auf den anderen Eckpunkt und dabei auf abbildet.

Anmerkungen zur Historie des Satzes Bearbeiten

Pohlke hat den Fundamentalsatz etwa 1853 gefunden. Sein ursprünglicher Beweis war außergewöhnlich kompliziert und blieb unveröffentlicht. Hermann Amandus Schwarz, der ein Schüler Pohlkes war, publizierte den ersten vollständigen Beweis im Jahre 1864 und lieferte hierbei auch die oben vorgetragene allgemeinere Darstellung (PS). Den Fundamentalsatz – und ihm gleichwertige Darstellungen – bezeichnen daher manche Autoren auch Satz von Pohlke und Schwarz (englisch Pohlke-Schwarz theorem).

Korollar Bearbeiten

Aus dem Fundamentalsatz lässt sich das folgende Korollar gewinnen, welches hinsichtlich seiner Aussagekraft als diesem gleichwertig betrachtet werden kann:

Literatur Bearbeiten

  • P. S. Alexandroff, A. I. Markuschewitsch, A. J. Chintschin: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band IV. Geometrie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 10). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1969, S. 250–254.
  • Heinrich Brauner: Lehrbuch der konstruktiven Geometrie. Springer Verlag, Wien / New York 1969, ISBN 3-211-81833-2, S. 51, 85–86.
  • Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik. und angrenzender Gebiete. 5. Auflage. Band 3. L-R. Aulis Verlag Deubner, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2, S. 775.
  • Wolfgang Haack: Darstellende Geometrie. Band III: Axonometrie und Perspektive (= Sammlung Göschen. Band 2132). 5. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1980, ISBN 3-11-008271-3, S. 45 (MR0568703).
  • Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0, S. 50.
  • W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt/Main, ISBN 3-87144-323-9, S. 232.
  • Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds, Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 372–373 (MR1089881).
  • Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Volume 4: Monge-Ampere Equation - Rings and Algebras. An updated and annotated translation of the Soviet 'Mathematical Encyclopaedia'. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London 1995, ISBN 1-55608-010-7, S. 439.
  • K. Pohlke: Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlin 1876 (Google Books.)
  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. 8. Auflage. Band 1: Grundlagen Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1990, ISBN 3-423-03007-0, S. 177.
  • H. Schwarz: Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 63, 1864, S. 309–314 (MR1579271).
  • Roland Stärk: Darstellende Geometrie. Schöningh-Verlag, Paderborn 1978, ISBN 3-506-37443-5.
  • Eduard Stiefel: Lehrbuch der darstellenden Geometrie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Band 11). 3. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel (u. a.) 1971, ISBN 3-7643-0368-9, S. 137.

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Heinrich Brauner schreibt allerdings in seinem Lehrbuch der konstruktiven Geometrie in einer Fußnote (Seite 51), dass Pohlke den Fundamentalsatz im Jahre 1860 sehr wohl veröffentlicht habe, wenn auch ohne Beweis.
  2. ↑ N. M. Beskin: Abbildungsverfahren. In: P. S. Alexandroff et al.: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band IV. 1969, S. 252
  3. ↑ Michiel Hazewinkel: Encyclopaedia of Mathematics. vol. 4. 1995, S. 439
  4. Die Encyclopaedia of Mathematics (S. 439) formuliert (PS') mit "Any complete plane quadrilateral ...". Gemeint sind jedoch jedenfalls vollständige Vierecke in einer Ebene des Raums. Die Encyclopaedia of Mathematics nennt als Quelle auch ausdrücklich die Abhandlung im Band IV der Enzyklopädie der Elementarmathematik.
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Der Satz von Pohlke auch Fundamentalsatz der Axonometrie oder Hauptsatz der Axonometrie genannt ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Darstellenden Geometrie Er geht auf den Karl Wilhelm Pohlke zuruck und behandelt eine grundlegende Fragestellung der Axonometrie Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 1 1 Anmerkungen zur Historie des Satzes 2 Korollar 3 Literatur 4 Einzelnachweise und AnmerkungenFormulierung des Satzes Bearbeiten nbsp Satz von PohlkeDer Satz lasst sich zusammengefasst angeben wie folgt P Jedes beliebige ebene Dreibein des euklidischen Raums R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp dessen Strecken nicht alle auf einer Geraden liegen kann aufgefasst werden als das durch eine Parallelprojektion entstandene Abbild eines orthonormierten raumlichen Dreibeins Etwas allgemeiner ausgedruckt P Drei in einer Ebene des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp von einem gegebenen Punkt O displaystyle overline O nbsp ausgehende Strecken beliebiger Lange und beliebiger Richtung konnen aufgefasst werden als Parallelprojektion von drei in einem weiteren gegebenen Punkt O displaystyle O nbsp zusammenstossenden Wurfelkanten sofern vorausgesetzt ist dass hochstens drei der erstgenannten Punkte kollinear sind Ganz allgemein gilt sogar PS Sind im dreidimensionalen euklidischen Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp eine Ebene E R 3 displaystyle E subset mathbb R 3 nbsp und zudem zwei Punkte O R 3 displaystyle O in mathbb R 3 nbsp und O E displaystyle overline O in E nbsp gegeben und gehen von ersterem drei beliebige Strecken S 1 S 2 S 3 R 3 displaystyle S 1 S 2 S 3 subset mathbb R 3 nbsp aus die zwar O displaystyle O nbsp als gemeinsamen Eckpunkt haben jedoch in keiner gemeinsamen Ebene liegen wahrend von letzterem drei weitere beliebige Strecken S 1 S 2 S 3 E displaystyle overline S 1 overline S 2 overline S 3 subset E nbsp ausgehen die zwar O displaystyle overline O nbsp als gemeinsamen Eckpunkt haben jedoch obwohl in der Ebene E displaystyle E nbsp liegend nicht kollinear sind so gibt es stetseine Ahnlichkeitsabbildung h R 3 R 3 displaystyle eta colon mathbb R 3 rightarrow mathbb R 3 nbsp sowie eine Raumbewegung b R 3 R 3 displaystyle beta colon mathbb R 3 rightarrow mathbb R 3 nbsp und schliesslich eine Parallelprojektion ϕ R 3 E displaystyle phi colon mathbb R 3 rightarrow E nbsp dd so dass die verkettete Abbildung ps ϕ b h displaystyle psi phi circ beta circ eta nbsp den Eckpunkt O displaystyle O nbsp auf den anderen Eckpunkt O ps O displaystyle overline O psi O nbsp und dabei S k displaystyle S k nbsp auf S k ps S k k 1 2 3 displaystyle overline S k psi S k k 1 2 3 nbsp abbildet Anmerkungen zur Historie des Satzes Bearbeiten Pohlke hat den Fundamentalsatz etwa 1853 gefunden Sein ursprunglicher Beweis war aussergewohnlich kompliziert und blieb unveroffentlicht 1 Hermann Amandus Schwarz der ein Schuler Pohlkes war publizierte den ersten vollstandigen Beweis im Jahre 1864 und lieferte hierbei auch die oben vorgetragene allgemeinere Darstellung PS Den Fundamentalsatz und ihm gleichwertige Darstellungen bezeichnen daher manche Autoren auch Satz von Pohlke und Schwarz 2 englisch Pohlke Schwarz theorem 3 Korollar BearbeitenAus dem Fundamentalsatz lasst sich das folgende Korollar gewinnen welches hinsichtlich seiner Aussagekraft als diesem gleichwertig betrachtet werden kann 2 3 PS Jedes in einer Ebene E R 3 displaystyle E subset mathbb R 3 nbsp liegende vollstandige Viereck V E displaystyle mathcal V subset E nbsp kann aufgefasst werden als ein durch Parallelprojektion entstandenes Abbild eines Tetraeders T R 3 displaystyle mathcal T subset mathbb R 3 nbsp welches einem gegebenen Tetraeder T R 3 displaystyle mathcal T subset mathbb R 3 nbsp ahnlich ist 4 Literatur BearbeitenP S Alexandroff A I Markuschewitsch A J Chintschin Enzyklopadie der Elementarmathematik Band IV Geometrie Hochschulbucher fur Mathematik Band 10 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1969 S 250 254 Heinrich Brauner Lehrbuch der konstruktiven Geometrie Springer Verlag Wien New York 1969 ISBN 3 211 81833 2 S 51 85 86 Hermann Athen Jorn Bruhn Hrsg Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete 5 Auflage Band 3 L R Aulis Verlag Deubner Koln 1977 ISBN 3 7614 0242 2 S 775 Wolfgang Haack Darstellende Geometrie Band III Axonometrie und Perspektive Sammlung Goschen Band 2132 5 Auflage Walter de Gruyter Berlin New York 1980 ISBN 3 11 008271 3 S 45 MR0568703 Walter Gellert Herbert Kastner Siegfried Neuber Hrsg Fachlexikon ABC Mathematik Verlag Harri Deutsch Thun Frankfurt Main 1978 ISBN 3 87144 336 0 S 50 W Gellert H Kustner M Hellwich H Kastner Hrsg Kleine Enzyklopadie Mathematik Verlag Harri Deutsch Thun Frankfurt Main ISBN 3 87144 323 9 S 232 Siegfried Gottwald Hans Joachim Ilgauds Karl Heinz Schlote Hrsg Lexikon bedeutender Mathematiker Verlag Harri Deutsch Thun 1990 ISBN 3 8171 1164 9 S 372 373 MR1089881 Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopaedia of Mathematics Volume 4 Monge Ampere Equation Rings and Algebras An 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konstruktiven Geometrie in einer Fussnote Seite 51 dass Pohlke den Fundamentalsatz im Jahre 1860 sehr wohl veroffentlicht habe wenn auch ohne Beweis a b N M Beskin Abbildungsverfahren In P S Alexandroff et al Enzyklopadie der Elementarmathematik Band IV 1969 S 252 a b Michiel Hazewinkel Encyclopaedia of Mathematics vol 4 1995 S 439 Die Encyclopaedia of Mathematics S 439 formuliert PS mit Any complete plane quadrilateral Gemeint sind jedoch jedenfalls vollstandige Vierecke in einer Ebene des Raums Die Encyclopaedia of Mathematics nennt als Quelle auch ausdrucklich die Abhandlung im Band IV der Enzyklopadie der Elementarmathematik Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Pohlke amp oldid 221291898