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Satz von Bombieri und Winogradow Der ist ein 1965 bewiesener Satz der analytischen Zahlentheorie von Enrico Bombieri und

Satz von Bombieri und Winogradow

Der Satz von Bombieri und Winogradow ist ein 1965 bewiesener Satz der analytischen Zahlentheorie von Enrico Bombieri und Askold Iwanowitsch Winogradow (manchmal wird er auch nur nach Bombieri benannt).

Er macht Aussagen über den Fehlerterm in der im dirichletschen Primzahlsatz gemachten Aussage zur Verteilung der Primzahlen kleiner gleich in arithmetischen Progressionen. Dabei wird eine Mittelung über den Modulus der Progressionen vorgenommen (Moduli mit einer natürlichen Zahl ). Für Werte von nahe ist der Fehlerterm bis auf logarithmische Faktoren von der Größenordnung . Ohne die Mittelung über die Moduli wäre die Aussage des Satzes ähnlich mächtig wie die verallgemeinerte riemannsche Vermutung.

Der Beweis ist eine Anwendung des großen Siebes, wobei Mittelwerte von Dirichlet-Charakteren abgeschätzt wurden.

Er stellt eine erhebliche Verbesserung des Satzes von Siegel-Walfisz dar. Der Satz entspricht der Vermutung von Elliott und Halberstam für den Fall (für die Definition des Parameters siehe dort), die damit den Satz in gewisser Weise verallgemeinert (die volle Vermutung betrifft den Fall ) .

Yōichi Motohashi zeigte 1976, dass das Analogon des Satzes von Bombieri und Winogradow auch für arithmetische Funktionen gilt, die als Linearkombinationen von Dirichlet-Faltungen zweier Folgen komplexer Zahlen mit bestimmten Zusatzeigenschaften dargestellt werden können. Der ursprüngliche Satz von Bombieri und Winogradow ist der Spezialfall der Mangoldt-Funktion.

Formulierung Bearbeiten

Sei

mit

mit der Mangoldt-Funktion und der eulerschen Phi-Funktion .

Dann gilt nach Bombieri und Winogradow:

für festes mit

bezeichnet das Landau-Symbol für den Vergleich des Wachstums zweier Funktionen.

Literatur Bearbeiten

  • Harold Davenport: Multiplicative Number Theory, 2. Auflage, Springer 1980, Kapitel 28
  • A. I. Vinogradov: The density hypothesis for Dirichlet L-series. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., Band 29, 1965, S. 903–934, Korrektur Band 30, 1966, S. 719–720.
  • E. Bombieri: On the large sieve, Mathematika, Band 12, 1965, S. 201–225
  • E. Bombieri: Le Grand Crible dans la Théorie Analytique des Nombres, 2. Auflage, Astérisque, Band 18, 1987

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Motohashi, An induction principle for the generalization of Bombieri's prime number theorem, Proc. Japan Academy, Band 52, 1976, S. 273–275, siehe auch Bombieri, Friedlander, Iwaniec, Primes in arithmetic progressions to large moduli, Acta Mathematica, Band 156, 1986, S. 206
  2. John Friedlander, Henryk Iwaniec, Opera di Cribro, American Mathematical Society Colloquium Publ., 2010, S. 168
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Bombieri und Winogradow ist ein 1965 bewiesener Satz der analytischen Zahlentheorie von Enrico Bombieri und Askold Iwanowitsch Winogradow manchmal wird er auch nur nach Bombieri benannt Er macht Aussagen uber den Fehlerterm in der im dirichletschen Primzahlsatz gemachten Aussage zur Verteilung der Primzahlen kleiner gleich x displaystyle x in arithmetischen Progressionen Dabei wird eine Mittelung uber den Modulus der Progressionen vorgenommen Moduli q Q displaystyle q leq Q mit einer naturlichen Zahl Q displaystyle Q Fur Werte von Q displaystyle Q nahe x displaystyle x ist der Fehlerterm bis auf logarithmische Faktoren von der Grossenordnung x displaystyle sqrt x Ohne die Mittelung uber die Moduli ware die Aussage des Satzes ahnlich machtig wie die verallgemeinerte riemannsche Vermutung Der Beweis ist eine Anwendung des grossen Siebes wobei Mittelwerte von Dirichlet Charakteren abgeschatzt wurden Er stellt eine erhebliche Verbesserung des Satzes von Siegel Walfisz dar Der Satz entspricht der Vermutung von Elliott und Halberstam fur den Fall 0 lt 8 lt 1 2 displaystyle 0 lt theta lt tfrac 1 2 fur die Definition des Parameters 8 displaystyle theta siehe dort die damit den Satz in gewisser Weise verallgemeinert die volle Vermutung betrifft den Fall 0 lt 8 lt 1 displaystyle 0 lt theta lt 1 Yōichi Motohashi zeigte 1976 1 dass das Analogon des Satzes von Bombieri und Winogradow auch fur arithmetische Funktionen gilt die als Linearkombinationen von Dirichlet Faltungen zweier Folgen komplexer Zahlen mit bestimmten Zusatzeigenschaften dargestellt werden konnen 2 Der ursprungliche Satz von Bombieri und Winogradow ist der Spezialfall der Mangoldt Funktion Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Literatur 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenSei E x q max gcd a q 1 ps x q a x f q displaystyle E x q max text gcd a q 1 left psi x q a frac x varphi q right nbsp mit ps x q a n x n a mod q L n displaystyle psi x q a sum n leq x atop n equiv a bmod q Lambda n nbsp mit der Mangoldt Funktion L displaystyle Lambda nbsp und der eulerschen Phi Funktion f displaystyle varphi nbsp Dann gilt nach Bombieri und Winogradow 1 Q q Q max y lt x E y q 1 Q q Q max y lt x max 1 a q a q 1 ps y q a y f q O x 1 2 log x 5 displaystyle frac 1 Q sum q leq Q max y lt x E y q frac 1 Q sum q leq Q max y lt x max 1 leq a leq q atop a q 1 left psi y q a y over varphi q right O left x 1 2 log x 5 right nbsp fur festes A gt 0 displaystyle A gt 0 nbsp mit x 1 2 log A x Q x 1 2 displaystyle x 1 2 log A x leq Q leq x 1 2 nbsp O displaystyle O nbsp bezeichnet das Landau Symbol fur den Vergleich des Wachstums zweier Funktionen Literatur BearbeitenHarold Davenport Multiplicative Number Theory 2 Auflage Springer 1980 Kapitel 28 A I Vinogradov The density hypothesis for Dirichlet L series Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat Band 29 1965 S 903 934 Korrektur Band 30 1966 S 719 720 E Bombieri On the large sieve Mathematika Band 12 1965 S 201 225 E Bombieri Le Grand Crible dans la Theorie Analytique des Nombres 2 Auflage Asterisque Band 18 1987Weblinks BearbeitenBombieris Theorem Mathworld Bombieri Vinogradov theorem Blog von Terence TaoEinzelnachweise Bearbeiten Motohashi An induction principle for the generalization of Bombieri s prime number theorem Proc Japan Academy Band 52 1976 S 273 275 siehe auch Bombieri Friedlander Iwaniec Primes in arithmetic progressions to large moduli Acta Mathematica Band 156 1986 S 206 John Friedlander Henryk Iwaniec Opera di Cribro American Mathematical Society Colloquium Publ 2010 S 168 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Bombieri und Winogradow amp oldid 208520422