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Satz von der eingeschränkten Invertierbarkeit Der englisch restricted invertibility theorem auch Satz von Bourgain Tzafr

Satz von der eingeschränkten Invertierbarkeit

Der Satz von der eingeschränkten Invertierbarkeit (englisch restricted invertibility theorem), auch Satz von Bourgain-Tzafriri, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Das Theorem beschäftigt sich mit der Frage der Invertierbarkeit eines linearen Operators (respektive einer quadratischen Matrix) auf einem endlichdimensionalen -Raum. Das Theorem hat bedeutende Anwendungen in der lokalen Theorie der Banach-Räume.

Der Satz wurde von Jean Bourgain und Lior Tzafriri bewiesen.

Eingeschränkte Invertierbarkeit Bearbeiten

Notation:

Aussage Bearbeiten

Sei ein linearer Operator, so dass für jeden Einheitsvektor gilt

Dann existieren universelle Konstanten und eine Index-Untermenge , welche mindestens

Indizes hat, so dass für die Norm der Restriktion gilt

wobei beliebige Skalare sind.

Erläuterungen an einem Beispiel Bearbeiten

Sei eine reelle -Matrix und bezeichnet die Restriktion von auf die Spalten mit Indizes in

Es gilt nun für jeden Vektor , dass

Betrachtet man nun den kleinsten Singulärwert (oder allgemeiner die Schatten-Norm)

dann gilt

und daraus folgt, dass invertierbar ist. Weiter besitzt mindestens Spalten. Außerdem folgt aus der Konditionsnummer

dass die Operatornorm der Inversen nach oben beschränkt ist

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Es existieren diverse Verallgemeinerungen und verwandte Aussagen (u. a. von Spielman-Srivastava, Vershynin und Naor-Youssef). Zum Beispiel kann die Restriktion der Einheitsvektoren entfernt werden. Es existiert auch eine Version für unendlichdimensionale Räume.

Bourgain-Tzafriri-Vermutung Bearbeiten

Eine Verallgemeinerung ist die Bourgain-Tzafriri-Vermutung (BT-Vermutung), welche äquivalent zum Kadison-Singer-Problem (KS-Problem) ist. Das KS-Problem wurde 2013 positiv gelöst und somit auch die BT-Vermutung.

Formulierung Bearbeiten

Sei ein linearer Operator, so dass für jeden Einheitsvektor gilt

Dann existiert eine universelle Konstante , so das für jede positive Zahl mit

ein und eine Partition von existieren, so dass

wobei beliebige Skalare sind.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. J. Bourgain und L. Tzafriri: Invertibility of ‘large’ submatrices with applications to the geometry of Banach spaces and harmonic analysis. In: Israel Journal of Mathematics. Band 57, Nr. 2, 1987, S. 137–224, doi:10.1007/BF02772174.
  2. Daniel A. Spielman und Nikhil Srivastava: An Elementary Proof of the Restricted Invertibility Theorem. Hrsg.: arXiv. 2009, doi:10.48550/ARXIV.0911.1114, arxiv:0911.1114 [abs].
  3. Peter G. Casazza und Götz E. Pfander: Infinite dimensional restricted invertibility. Hrsg.: arXiv. 2009, doi:10.48550/arxiv.0905.0656, arxiv:0905.0656 [abs].
  4. Peter G. Casazza und Roman Vershynin: Kadison-Singer meets Bourgain-Tzafriri. 2005.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von der eingeschrankten Invertierbarkeit englisch restricted invertibility theorem auch Satz von Bourgain Tzafriri ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis Das Theorem beschaftigt sich mit der Frage der Invertierbarkeit eines linearen Operators respektive einer quadratischen Matrix auf einem endlichdimensionalen l p n displaystyle l p n Raum Das Theorem hat bedeutende Anwendungen in der lokalen Theorie der Banach Raume Der Satz wurde von Jean Bourgain und Lior Tzafriri bewiesen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Eingeschrankte Invertierbarkeit 1 1 Aussage 2 Erlauterungen an einem Beispiel 3 Verallgemeinerungen 3 1 Bourgain Tzafriri Vermutung 3 1 1 Formulierung 4 Literatur 5 EinzelnachweiseEingeschrankte Invertierbarkeit BearbeitenNotation l p n R n p displaystyle l p n mathbb R n cdot p nbsp l p l p displaystyle l p l p infty nbsp ist der Folgenraum der p displaystyle p nbsp summierbaren Folgen L displaystyle L nbsp ist die Operatornorm S displaystyle S nbsp ist die Kardinalitat von S displaystyle S nbsp Aussage Bearbeiten Sei L l 2 n l 2 n displaystyle L l 2 n to l 2 n nbsp ein linearer Operator so dass fur jeden Einheitsvektor e 1 e n displaystyle e 1 dots e n nbsp gilt L e j 1 j 1 n displaystyle Le j 1 quad forall j in 1 dots n nbsp Dann existieren universelle Konstanten c d gt 0 displaystyle c d gt 0 nbsp und eine Index Untermenge S 1 n displaystyle S subseteq 1 dots n nbsp welche mindestens S c n L 2 displaystyle S geq frac cn L 2 nbsp Indizes hat so dass fur die Norm der Restriktion gilt i S a i L e i 2 d i S a i 2 displaystyle left sum limits i in S a i Le i right 2 geq d sum limits i in S a i 2 nbsp wobei a i i S displaystyle a i i in S nbsp beliebige Skalare sind 2 Erlauterungen an einem Beispiel BearbeitenSei L displaystyle L nbsp eine reelle n n displaystyle n times n nbsp Matrix und L S displaystyle L S nbsp bezeichnet die Restriktion von L displaystyle L nbsp auf die Spalten mit Indizes in S displaystyle S nbsp L S i S L e i displaystyle L S sum limits i in S Le i nbsp Es gilt nun fur jeden Vektor a R S displaystyle a in mathbb R S nbsp dass L S a d a displaystyle left L S a right geq d a nbsp Betrachtet man nun den kleinsten Singularwert oder allgemeiner die Schatten Norm s min L S min x 1 L S x displaystyle sigma operatorname min L S min limits x 1 L S x nbsp dann gilt s min L S d gt 0 displaystyle sigma operatorname min L S geq d gt 0 nbsp und daraus folgt dass L S displaystyle L S nbsp invertierbar ist Weiter besitzt L S displaystyle L S nbsp mindestens c n L 2 displaystyle cn L 2 nbsp Spalten Ausserdem folgt aus der Konditionsnummer k L S s max L S s min L S displaystyle kappa L S frac sigma operatorname max L S sigma operatorname min L S nbsp dass die Operatornorm der Inversen nach oben beschrankt ist L S 1 k L S L S s max L S L S s min L S s max L S d 2 K displaystyle L S 1 frac kappa L S L S frac sigma operatorname max L S L S sigma operatorname min L S leq frac sigma operatorname max L S d 2 K nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenEs existieren diverse Verallgemeinerungen und verwandte Aussagen u a von Spielman Srivastava Vershynin und Naor Youssef Zum Beispiel kann die Restriktion der Einheitsvektoren L e j 1 displaystyle Le j 1 nbsp entfernt werden Es existiert auch eine Version fur unendlichdimensionale Raume 3 Bourgain Tzafriri Vermutung Bearbeiten Eine Verallgemeinerung ist die Bourgain Tzafriri Vermutung BT Vermutung welche aquivalent zum Kadison Singer Problem KS Problem ist Das KS Problem wurde 2013 positiv gelost und somit auch die BT Vermutung Formulierung Bearbeiten Sei L l 2 n l 2 n displaystyle L l 2 n to l 2 n nbsp ein linearer Operator so dass fur jeden Einheitsvektor e 1 e n displaystyle e 1 dots e n nbsp gilt L e j 1 j 1 n displaystyle Le j 1 quad forall j in 1 dots n nbsp Dann existiert eine universelle Konstante c gt 0 displaystyle c gt 0 nbsp so das fur jede positive Zahl b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp mit L b displaystyle L leq b nbsp ein m m b N displaystyle m m b in mathbb N nbsp und eine Partition I j j 1 m displaystyle I j j 1 m nbsp von 1 n displaystyle 1 dots n nbsp existieren so dass i I j a i L e i 2 c i I j a i 2 1 j m displaystyle left sum limits i in I j a i Le i right 2 geq c sum limits i in I j a i 2 qquad 1 leq j leq m nbsp wobei a i i I j displaystyle a i i in I j nbsp beliebige Skalare sind 4 Literatur BearbeitenAssaf Naor und Pierre Youssef Restricted invertibility revisited Hrsg arXiv 2016 doi 10 48550 ARXIV 1601 00948 arxiv 1601 00948 abs Daniel A Spielman und Nikhil Srivastava An Elementary Proof of the Restricted Invertibility Theorem Hrsg arXiv 2009 doi 10 48550 ARXIV 0911 1114 arxiv 0911 1114 abs J Bourgain und L Tzafriri Invertibility of large submatrices with applications to the geometry of Banach spaces and harmonic analysis In Israel Journal of Mathematics Band 57 Nr 2 1987 S 137 224 doi 10 1007 BF02772174 Einzelnachweise Bearbeiten J Bourgain und L Tzafriri Invertibility of large submatrices with applications to the geometry of Banach spaces and harmonic analysis In Israel Journal of Mathematics Band 57 Nr 2 1987 S 137 224 doi 10 1007 BF02772174 Daniel A Spielman und Nikhil Srivastava An Elementary Proof of the Restricted Invertibility Theorem Hrsg arXiv 2009 doi 10 48550 ARXIV 0911 1114 arxiv 0911 1114 abs Peter G Casazza und Gotz E Pfander Infinite dimensional restricted invertibility Hrsg arXiv 2009 doi 10 48550 arxiv 0905 0656 arxiv 0905 0656 abs Peter G Casazza und Roman Vershynin Kadison Singer meets Bourgain Tzafriri 2005 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von der eingeschrankten Invertierbarkeit amp oldid 225666601