Als s-finite Maße oder s-endliche Maße bezeichnet man eine gewisse Klasse von Maßen in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie lassen sich als abzählbare Summe von endlichen Maßen darstellen und erlauben somit die Verallgemeinerung gewisser Beweise. Die s-finiten Maße sind den σ-endlichen Maßen ähnlich, sollten aber nicht mit ihnen verwechselt werden.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei ein Messraum . Dann heißt ein Maß auf diesem Messraum ein s-finites Maß, wenn es eine abzählbare Folge von endlichen Maßen gibt, so dass
gilt.
Beispiel Bearbeiten
Das Lebesgue-Maß ist ein s-finites Maß. Definiere dazu
und
Bezeichnet nun die Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf die Menge , so sind die Maße
alle endlich und summieren sich aufgrund ihrer Konstruktion zu .
Eigenschaften Bearbeiten
Beziehung zur σ-Endlichkeit Bearbeiten
Jedes σ-endliche Maß ist immer s-finit. Denn ist σ-endlich und sind messbare disjunkte Mengen mit für alle wie in der Definition der σ-Endlichkeit gefordert, so sind endliche Maße, die sich wie im obigen Beispiel wieder zu aufsummieren. Umgekehrt ist nicht jedes s-finite Maß auch σ-endlich. Betrachtet man als Messraum die Menge , versehen mit der Potenzmenge als σ-Algebra und definiert die Maße alle als das Zählmaß auf , so ist
per Konstruktion s-finit. Aber ist nicht σ-endlich, denn es ist
der Fall für folgt analog.
Äquivalenz Bearbeiten
Jedes s-finite Maß ist äquivalent zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß . Das bedeutet, dass es ein Maß mit gibt, so dass . Hier bedeutet , dass und , sprich es ist absolut stetig bezüglich und absolut stetig bezüglich . Denn sind endliche Maße wie in der Definition der s-Finitheit gefordert, so ist ein mögliches gegeben durch
für alle .
Literatur Bearbeiten
- Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, S. 21, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.