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Resultante Dieser Artikel behandelt den Begriff aus der Mathematik für den Begriff aus der Mechanik siehe Resultierende

Resultante

In der Mathematik ist die Resultante ein Werkzeug der kommutativen Algebra, um zwei Polynome auf das Vorhandensein gemeinsamer Nullstellen zu prüfen. In Erweiterung auf multivariate polynomiale Gleichungssysteme kann die Resultante dazu verwendet werden, nacheinander die Variablen des Systems zu eliminieren. Zu diesem Zweck wurden die Resultante und ähnliche Konstruktionen im Verlaufe des 19. Jahrhunderts untersucht, zuerst für Systeme mit Symmetrien, 1882 durch L. Kronecker auch für den allgemeinen Fall. In modernen Computeralgebrasystemen werden Resultanten bzw. deren mehrdimensionale Analoga benutzt, um aus einer vorher bestimmten Gröbner-Basis auf die Lösungen (bzw. deren Approximationen) eines Gleichungssystems zu schließen.

Definition Bearbeiten

Seien und zwei Polynome von Grad bzw. aus , dem Polynomring in einer Unbestimmten über einem kommutativen unitären Ring , ausgeschrieben

Die Resultante dieser beiden Polynome ist die Determinante der Sylvestermatrix.

Die Matrix besteht aus Zeilen mit den Koeffizienten von und Zeilen mit den Koeffizienten von . Alle in der obigen Matrix nicht beschrifteten Einträge sind Null. Die Sylvestermatrix ist also eine quadratische Matrix mit Zeilen und Spalten.

Eigenschaften Bearbeiten

Die (Transponierte der) Sylvestermatrix ist die Systemmatrix der Gleichung , aufgefasst als lineares Gleichungssystem in den Koeffizienten der Kofaktor-Polynome

Haben die Polynome und einen gemeinsamen Faktor, so verschwindet die Resultante. Für die Aussage in der anderen Richtung benötigt man noch, dass der Ring ein faktorieller Integritätsbereich, d. h. ohne Nullteiler und mit eindeutiger Primfaktorzerlegung ist. Das ist immer der Fall, wenn ein Körper ist, z. B. der Körper der rationalen oder reellen Zahlen oder ein Polynomring darüber. Sind diese Bedingungen erfüllt und gilt , so enthalten und einen gemeinsamen Faktor mit positivem Grad.

Ist der Koeffizientenbereich ein algebraisch abgeschlossener Körper, wie der Körper der komplexen Zahlen, so zerfallen die Polynome und in Linearfaktoren

In diesem Fall kann die Resultante als Ausdruck in den Nullstellen dargestellt werden, es gelten

Mit Hilfe der cramerschen Regel kann man zeigen, dass es immer Polynome und mit Koeffizienten in gibt, so dass

gilt. Die Koeffizienten von und ergeben sich aus der letzten Spalte der Komplementärmatrix der Sylvestermatrix.

Beziehung zum Euklidischen Algorithmus Bearbeiten

Eine ähnliche Formel erhält man durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus. In der Tat kann aus diesem ein effizientes Berechnungsverfahren für die Resultante abgeleitet werden, das Subresultanten-Verfahren.

Literatur Bearbeiten

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Dieser Artikel behandelt den Begriff Resultante aus der Mathematik fur den Begriff aus der Mechanik siehe Resultierende In der Mathematik ist die Resultante ein Werkzeug der kommutativen Algebra um zwei Polynome auf das Vorhandensein gemeinsamer Nullstellen zu prufen In Erweiterung auf multivariate polynomiale Gleichungssysteme kann die Resultante dazu verwendet werden nacheinander die Variablen des Systems zu eliminieren Zu diesem Zweck wurden die Resultante und ahnliche Konstruktionen im Verlaufe des 19 Jahrhunderts untersucht zuerst fur Systeme mit Symmetrien 1882 durch L Kronecker auch fur den allgemeinen Fall In modernen Computeralgebrasystemen werden Resultanten bzw deren mehrdimensionale Analoga benutzt um aus einer vorher bestimmten Grobner Basis auf die Losungen bzw deren Approximationen eines Gleichungssystems zu schliessen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beziehung zum Euklidischen Algorithmus 4 LiteraturDefinition BearbeitenSeien f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp zwei Polynome von Grad m displaystyle m nbsp bzw n displaystyle n nbsp aus R X displaystyle R X nbsp dem Polynomring in einer Unbestimmten X displaystyle X nbsp uber einem kommutativen unitaren Ring R displaystyle R nbsp ausgeschrieben f f 0 f 1 X f m X m displaystyle f f 0 f 1 X dotsb f m X m nbsp und g g 0 g 1 X g n X n displaystyle g g 0 g 1 X dotsb g n X n nbsp Die Resultante dieser beiden Polynome ist die Determinante der Sylvestermatrix Res f g det f m f m 1 f 0 f m f m 1 f 0 f m f m 1 f 0 g n g n 1 g 0 g n g n 1 g 0 g n g n 1 g 0 displaystyle operatorname Res f g det begin pmatrix f m amp f m 1 amp cdots amp amp f 0 amp amp amp amp f m amp f m 1 amp cdots amp amp f 0 amp amp amp amp ddots amp amp amp amp ddots amp amp amp amp f m amp f m 1 amp cdots amp amp f 0 g n amp g n 1 amp cdots amp amp g 0 amp amp amp amp g n amp g n 1 amp cdots amp amp g 0 amp amp amp amp ddots amp amp amp amp ddots amp amp amp amp g n amp g n 1 amp cdots amp amp g 0 end pmatrix nbsp Die Matrix besteht aus n displaystyle n nbsp Zeilen mit den Koeffizienten von f displaystyle f nbsp und m displaystyle m nbsp Zeilen mit den Koeffizienten von g displaystyle g nbsp Alle in der obigen Matrix nicht beschrifteten Eintrage sind Null Die Sylvestermatrix ist also eine quadratische Matrix mit m n displaystyle m n nbsp Zeilen und Spalten Eigenschaften BearbeitenDie Transponierte der Sylvestermatrix ist die Systemmatrix der Gleichung f p g q 0 displaystyle fp gq 0 nbsp aufgefasst als lineares Gleichungssystem in den Koeffizienten der Kofaktor Polynome p p 0 p 1 X p n 1 X n 1 displaystyle p p 0 p 1 X dotsb p n 1 X n 1 nbsp und q q 0 q 1 X q m 1 X m 1 displaystyle q q 0 q 1 X dotsb q m 1 X m 1 nbsp Haben die Polynome f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp einen gemeinsamen Faktor so verschwindet die Resultante Fur die Aussage in der anderen Richtung benotigt man noch dass der Ring R displaystyle R nbsp ein faktorieller Integritatsbereich d h ohne Nullteiler und mit eindeutiger Primfaktorzerlegung ist Das ist immer der Fall wenn R displaystyle R nbsp ein Korper ist z B der Korper der rationalen oder reellen Zahlen oder ein Polynomring daruber Sind diese Bedingungen erfullt und gilt Res f g 0 displaystyle operatorname Res f g 0 nbsp so enthalten f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp einen gemeinsamen Faktor mit positivem Grad Ist der Koeffizientenbereich ein algebraisch abgeschlossener Korper wie der Korper der komplexen Zahlen so zerfallen die Polynome f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp in Linearfaktoren f X f m X a 1 X a m displaystyle f X f m cdot X a 1 dotsm X a m nbsp und g X g n X b 1 X b n displaystyle g X g n cdot X b 1 dotsm X b n nbsp In diesem Fall kann die Resultante als Ausdruck in den Nullstellen dargestellt werden es gelten Res f g f m n g a 1 g a m 1 m n g n m f b 1 f b n f m n g n m i 1 m j 1 n a i b j displaystyle operatorname Res f g f m n g a 1 dotsm g a m 1 mn g n m f b 1 dotsm f b n f m n g n m prod i 1 m prod j 1 n a i b j nbsp Mit Hilfe der cramerschen Regel kann man zeigen dass es immer Polynome A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp mit Koeffizienten in R displaystyle R nbsp gibt so dass A f B g Res f g displaystyle Af Bg operatorname Res f g nbsp gilt Die Koeffizienten von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp ergeben sich aus der letzten Spalte der Komplementarmatrix der Sylvestermatrix Beziehung zum Euklidischen Algorithmus BearbeitenEine ahnliche Formel erhalt man durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus In der Tat kann aus diesem ein effizientes Berechnungsverfahren fur die Resultante abgeleitet werden das Subresultanten Verfahren Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 7 uberarbeitete Auflage Springer Berlin u a 2009 ISBN 978 3 540 92811 9 doi 10 1007 978 3 540 92812 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Resultante amp oldid 229283212