Die Reproduktivitätseigenschaft einer Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen besagt, dass die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen mit Verteilungen aus dieser Familie eine Verteilung aus derselben Familie besitzt.
Reproduktiv in diesem Sinn sind etwa die Normalverteilungen, die Poisson-Verteilungen, die Gammaverteilungen, die Chi-Quadrat-Verteilungen und die Cauchy-Verteilungen. Eine mit Reproduktivität zusammenhängende Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit. Für eine Diskussion der Unterschiede siehe dort.
Beispiel Bearbeiten
Die Zufallsvariablen und seien unabhängig und normalverteilt als
Die Zufallsvariable ist dann ebenfalls normalverteilt als
Allgemein gilt: Aus unabhängig folgt:
Mehrere Parameter Bearbeiten
Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel binomialverteilt mit Parametern und , also und , so ist . Für fixiertes ist also die Binomialverteilung reproduktiv bezüglich . Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 149.