Das Relativistische Additionstheorem fur Geschwindigkeiten besagt wie die Geschwindigkeit u displaystyle vec u eines Objekts in einem bestimmten Bezugssystem zu bestimmen ist wenn sich das Objekt mit einer Geschwindigkeit u displaystyle vec u gegenuber einem zweiten Bezugssystem bewegt das sich selbst gegenuber dem ersten mit einer Geschwindigkeit v displaystyle vec v bewegt Das Theorem kann aus der Lorentztransformation fur gegeneinander bewegte Inertialsysteme hergeleitet werden In der klassischen Mechanik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert u u v displaystyle vec u vec u vec v und haben daher keine obere Schranke Da aber nach der speziellen Relativitatstheorie die Geschwindigkeit eines Objekts die Lichtgeschwindigkeit c displaystyle c nicht uberschreiten kann konnen die klassischen Gleichungen nur eine Naherung sein Unterschiede machen sich bemerkbar wenn eine oder beide der zu addierenden Geschwindigkeiten nicht mehr vernachlassigbar klein gegenuber der Lichtgeschwindigkeit sind Das Relativistische Additionstheorem fur Geschwindigkeiten ist durch Messungen bestatigt worden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Interpretation 3 Folgerungen 3 1 1 Beispiel 3 2 2 Beispiel 4 Herleitung 5 WeblinksDefinition Bearbeiten nbsp Diagramm zur relativistischen Addition der gleichgerichteten Geschwindig keiten u x displaystyle u x nbsp und v displaystyle v nbsp jeweils ausgedruckt in Bruchteilen der Licht geschwindigkeit c displaystyle c nbsp Die Konturlinien zeigen die resultierende Geschwindig keit u x displaystyle u x nbsp in Schritten von 0 1 c bis 0 9 c dann 0 95 c 0 98 c und 0 99 c Je grosser die beiden Ausgangs geschwindig keiten desto starker weicht das Ergebnis von der arithmetischen Addition ab die einer geraden Linie entsprache Die resultierende Geschwindigkeit wird die Licht geschwin dig keit niemals uberschreiten Zum Beispiel addieren sich 0 8 c und 0 625 c zu 0 95 c Ein Beobachter B displaystyle mathcal B prime nbsp bewege sich gegenuber dem Beobachter B displaystyle mathcal B nbsp mit der Geschwindigkeit v displaystyle v nbsp in Richtung der x displaystyle x nbsp Achse Fur den Beobachter B displaystyle mathcal B prime nbsp bewege sich ein Korper mit der Geschwindigkeit u u x u y u z displaystyle u x prime u y prime u z prime nbsp Dann hat dieser Korper fur den Beobachter B displaystyle mathcal B nbsp die Geschwindigkeit u displaystyle vec u nbsp mit den Komponenten u x u x v 1 u x v c 2 u x c u x c v c 1 u x c v c displaystyle u x dfrac u x v 1 dfrac u x v c 2 qquad qquad Leftrightarrow dfrac u x c dfrac dfrac u x c dfrac v c 1 dfrac u x c cdot dfrac v c nbsp u y u y 1 v c 2 1 u x v c 2 u y 1 g 1 u x v c 2 displaystyle u y dfrac u y sqrt 1 left dfrac v c right 2 1 dfrac u x v c 2 u y dfrac 1 gamma left 1 dfrac u x v c 2 right nbsp u z u z 1 v c 2 1 u x v c 2 u z 1 g 1 u x v c 2 displaystyle u z dfrac u z sqrt 1 left dfrac v c right 2 1 dfrac u x v c 2 u z dfrac 1 gamma left 1 dfrac u x v c 2 right nbsp mit der Lichtgeschwindigkeit c displaystyle c nbsp und dem Lorentzfaktor der stets grosser gleich 1 ist g 1 1 v c 2 displaystyle gamma frac 1 sqrt 1 v c 2 nbsp dd Koordinatenfrei ausgedruckt Die resultierende Geschwindigkeit u displaystyle vec u nbsp ergibt sich ausgehend von der galileischen einfachen Addition u u v displaystyle vec u vec u vec v nbsp der Geschwindigkeiten u displaystyle vec u nbsp und v displaystyle vec v nbsp mit den folgenden Modifikationen Die Geschwindigkeit u displaystyle vec u nbsp ist um den Faktor 1 u v c 2 displaystyle 1 tfrac vec u cdot vec v c 2 nbsp kleiner Die Komponenten der Geschwindigkeit u displaystyle vec u nbsp senkrecht zu v displaystyle vec v nbsp sind zusatzlich um den Faktor g displaystyle gamma nbsp kleiner Interpretation BearbeitenSind die beteiligten Geschwindigkeiten sehr klein gegenuber der Lichtgeschwindigkeit v c v c 1 displaystyle v ll c Leftrightarrow frac v c ll 1 nbsp so unterscheidet sich der Nenner und auch der Term unter der Wurzel im Zahler kaum von 1 1 u x v c 2 1 1 v c 2 1 g 1 displaystyle Rightarrow 1 frac u x v c 2 approx 1 qquad sqrt 1 left frac v c right 2 frac 1 gamma approx 1 nbsp und es ergibt sich in guter Naherung die klassische nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition u x u x v u y u y u z u z displaystyle begin aligned Rightarrow u x amp approx u x v u y amp approx u y u z amp approx u z end aligned nbsp Beispiel In einem mit v 200 k m h displaystyle v 200 mathrm km h nbsp fahrenden Zug B displaystyle mathcal B prime nbsp lauft eine Person mit u x 5 k m h displaystyle u x prime 5 mathrm km h nbsp relativ zum Zug in Fahrtrichtung Die von einem am Bahndamm stehenden Beobachter B displaystyle mathcal B nbsp gemessene Geschwindigkeit u x displaystyle u x nbsp der Person ist gerade mal um 0 17 nm h langsamer als die bei einfacher Addition erhaltenen u x v 205 k m h displaystyle u x prime v 205 mathrm km h nbsp Zum Vergleich Der Durchmesser eines Atoms liegt in der Grossenordnung von 0 1 nm Das heisst der Zuglaufer kommt in der Stunde knapp zwei Atomdurchmesser weniger weit als man es bei nichtrelativistischer Rechnung erwarten wurde Dies ist bei einer zuruckgelegten Strecke von 205 km in den meisten Fallen vernachlassigbar zumal das haufig ubersehene Gesetz der gultigen Ziffern die Zahl der signifikanten Stellen begrenzt Fur Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ergeben sich jedoch deutliche Abweichungen von der nichtrelativistischen Additionsregel vgl die folgenden Beispiele Folgerungen BearbeitenAls Folge des Additionstheorems kann auch durch Uberlagerung zweier Geschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit nicht ubertroffen werden 1 Beispiel Bearbeiten Es seien v 0 75 c displaystyle v 0 75 c quad nbsp und u x 0 75 c displaystyle quad u x 0 75 c nbsp Dann ist u x 0 75 c 0 75 c 1 0 75 0 75 1 5 c 1 562 5 0 96 c lt c displaystyle u x frac 0 75 c 0 75 c 1 0 75 cdot 0 75 frac 1 5 c 1 5625 0 96 c lt c nbsp und nicht etwa 1 5c 2 Beispiel Bearbeiten Ist die Geschwindigkeit u displaystyle vec u nbsp fur den Beobachter B displaystyle mathcal B prime nbsp gleich der Lichtgeschwindigkeit dann ist sie es auch fur den Beobachter B displaystyle mathcal B nbsp Sind zum Beispiel u x 0 u y c u z 0 displaystyle u x 0 quad u y c quad u z 0 nbsp dann ergeben sich u x v u y c g u z 0 displaystyle u x v quad u y c gamma quad u z 0 nbsp Damit folgt u x 2 u y 2 u z 2 v 2 c 2 1 v 2 c 2 c 2 c displaystyle sqrt u x 2 u y 2 u z 2 sqrt v 2 c 2 left 1 frac v 2 c 2 right sqrt c 2 c nbsp Herleitung BearbeitenUm das Formelbild zu vereinfachen werden alle Geschwindigkeiten als Vielfache der Lichtgeschwindigkeit in naturlichen Einheiten angegeben Dann haben Zeit und Lange dieselbe Masseinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit betragt c 1 displaystyle c 1 nbsp Aus der inversen Lorentz Transformation Ersatz von v displaystyle v nbsp durch v displaystyle v nbsp t t v x 1 v 2 x x v t 1 v 2 y y z z displaystyle t frac t v x sqrt 1 v 2 quad x frac x v t sqrt 1 v 2 quad y y quad z z nbsp folgt fur die Differentiale da die Transformation linear ist d t d t v d x 1 v 2 d x d x v d t 1 v 2 d y d y d z d z displaystyle mathrm d t frac mathrm d t v mathrm d x sqrt 1 v 2 quad mathrm d x frac mathrm d x v mathrm d t sqrt 1 v 2 quad mathrm d y mathrm d y quad mathrm d z mathrm d z nbsp Daher folgt fur die Geschwindigkeiten die der Beobachter B displaystyle mathcal B nbsp ermittelt u x d x d t d x v d t d t v d x d x d t v 1 v d x d t u x v 1 v u x displaystyle u x frac mathrm d x mathrm d t frac mathrm d x v mathrm d t mathrm d t v mathrm d x frac frac mathrm d x mathrm d t v 1 v frac mathrm d x mathrm d t frac u x v 1 v u x nbsp u y d y d t d y 1 v 2 d t v d x d y d t 1 v 2 1 v d x d t u y 1 v 2 1 v u x displaystyle u y frac mathrm d y mathrm d t frac mathrm d y sqrt 1 v 2 mathrm d t v mathrm d x frac frac mathrm d y mathrm d t sqrt 1 v 2 1 v frac mathrm d x mathrm d t frac u y sqrt 1 v 2 1 v u x nbsp u z d z d t d z 1 v 2 d t v d x d z d t 1 v 2 1 v d x d t u z 1 v 2 1 v u x displaystyle u z frac mathrm d z mathrm d t frac mathrm d z sqrt 1 v 2 mathrm d t v mathrm d x frac frac mathrm d z mathrm d t sqrt 1 v 2 1 v frac mathrm d x mathrm d t frac u z sqrt 1 v 2 1 v u x nbsp Aufgelost nach den gestrichenen Variablen ergeben sich folgende Beziehungen u x u x v 1 v u x u y u y 1 v 2 1 v u x u z u z 1 v 2 1 v u x displaystyle u x frac u x v 1 v u x quad u y frac u y sqrt 1 v 2 1 v u x quad u z frac u z sqrt 1 v 2 1 v u x nbsp Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Spezielle Relativitatstheorie Lern und Lehrmaterialien Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Relativistisches Additionstheorem fur Geschwindigkeiten amp oldid 237540284
