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Rang Statistik In einer Reihe von statistischen Beobachtungen ergibt sich der Rang einer einzelnen Beobachtung als ihre

Rang (Statistik)

In einer Reihe von statistischen Beobachtungen ergibt sich der Rang einer einzelnen Beobachtung als ihre Position, wenn alle Beobachtungswerte der Größe nach geordnet und durchnummeriert werden.

Es ist möglich, dass mindestens zwei Beobachtungen den gleichen Wert haben. Man spricht dann von Bindungen oder Verbundwerten (engl. Ties). Der Rang ist daher nicht wohldefiniert.

In der Stochastik ist der Rang aber fast sicher eindeutig erklärt, falls die einzelnen Beobachtungen unabhängig und stetig verteilt sind. Auf der Auswertung der Ränge innerhalb von Stichproben basiert eine Reihe von statistischen Tests in der nichtparametrischen Statistik. Die nach ihrem Rang geordneten Beobachtungswerte heißen Ordnungsstatistiken.

Definition Bearbeiten

Die Beobachtungswerte werden der Größe nach sortiert. Im Fall, dass kein Wert mehrfach auftritt, bekommt der kleinste Wert meistens den Rang 1, der nächstgrößere (also zweitkleinste) den Rang 2 usw. Mögliche Vorgehensweisen bei mehrfach auftretenden Werten (sogenannten Bindungen) sind unten aufgeführt.

Die übliche Schreibweise ist für den Beobachtungswert mit dem Rang .

Beispiel Bearbeiten

Folgende Beobachtungen wurden für die monatlichen Aufwendungen für Freizeitgüter und Urlaub in Zweipersonenhaushalten gemacht:

Beobachtungsnummer 1 2 3 4
Beobachtungswert 220 240 220 180
Rang 2 oder 3 4 2 oder 3 1

Also: , d. h. ist der Beobachtungswert mit dem Rang und der zweite Beobachtungswert in der Datenreihe.

Die Beobachtungen können zu einer Rangliste geordnet werden:

Listenrang Beobachtungsnummer Beobachtungswert
1. 4 180
2.–3. 1 220
" 3 "
4. 2 240

Bindungen Bearbeiten

In der Praxis kann es vorkommen, dass Beobachtungswerte mehrfach auftreten. Man spricht davon, dass Bindungen in den Beobachtungswerten auftreten. Da Beobachtungen mit gleichen Werten nicht unterschiedliche Ränge haben sollten, müssen diese behandelt werden. Da in der Statistik oft Rangsummen betrachtet werden, ist eine oft gestellte Anforderung an Verfahren, die Bindungen behandeln, dass die Summe der Ränge von Beobachtungen gerade ist.

Verschiedene Verfahren können benutzt werden, um eine eindeutige Rangzuordnung zu finden:

Beobachtungsnummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Beobachtungswert 125 315 215 105 200 170 170 220 220 220
Rang 2 10 6 1 5 3,5 3,5 8 8 8

Alle möglichen Rangzuordnungen untersuchen

Berechne die Teststatistik für alle möglichen Rangzuordnungen, d. h. führe den Test für alle möglichen Zuordnungen durch. Wird unabhängig von den Zuordnungen immer angenommen oder verworfen, dann endet die Methode hier.

Eliminierung

Entferne solange Beobachtungen aus der Stichprobe, bis alle Bindungen verschwinden. Insofern der Stichprobenumfang groß genug ist, ist der Informationsverlust unerheblich, ansonsten ist von dieser Methode abzuraten, da sie bei vielen Tests die Teststärke verringert.

Verteilung der Ränge Bearbeiten

Der Rang einer Zufallsvariablen ist eine diskret gleichverteilte Zufallsvariable auf .

Eigenschaften Bearbeiten

Die Summe der Ränge einer Datenreihe ist

(Gaußsche Summenformel). Auch bei Bildung des arithmetischen Mittels zur Berechnung der Ränge bei Bindungen bleibt diese Eigenschaft erhalten.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 8. Auflage. Vieweg, 2005, S. 187–188.
  2. ↑ Roland Jeske: Spaß mit Statistik. 4. Auflage. Oldenbourg, 2003, S. 172–173.
  3. Jürgen Bortz, Gustav A. Lienert, Klaus Boehnke: Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. 3. Auflage. Springer Verlag, 2008, S. 69–70.
  4. Christine Duller: Einführung in die nichtparametrische Statistik mit SAS, R und SPSS. 2. Auflage. SpringerGabler, 2019, ISBN 978-3-662-57677-9, S. 27.
  5. Christine Duller: Einführung in die nichtparametrische Statistik mit SAS, R und SPSS. 2. Auflage. SpringerGabler, 2019, ISBN 978-3-662-57677-9, S. 27.

Siehe auch Bearbeiten

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In einer Reihe von statistischen Beobachtungen ergibt sich der Rang einer einzelnen Beobachtung als ihre Position wenn alle Beobachtungswerte der Grosse nach geordnet und durchnummeriert werden Es ist moglich dass mindestens zwei Beobachtungen den gleichen Wert haben Man spricht dann von Bindungen oder Verbundwerten engl Ties Der Rang ist daher nicht wohldefiniert In der Stochastik ist der Rang aber fast sicher eindeutig erklart falls die einzelnen Beobachtungen unabhangig und stetig verteilt sind Auf der Auswertung der Range innerhalb von Stichproben basiert eine Reihe von statistischen Tests in der nichtparametrischen Statistik Die nach ihrem Rang geordneten Beobachtungswerte heissen Ordnungsstatistiken Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Bindungen 4 Verteilung der Range 5 Eigenschaften 6 Einzelnachweise 7 Siehe auchDefinition BearbeitenDie Beobachtungswerte werden der Grosse nach sortiert Im Fall dass kein Wert mehrfach auftritt bekommt der kleinste Wert meistens den Rang 1 der nachstgrossere also zweitkleinste den Rang 2 usw 1 2 Mogliche Vorgehensweisen bei mehrfach auftretenden Werten sogenannten Bindungen sind unten aufgefuhrt Die ubliche Schreibweise ist x i displaystyle x i nbsp fur den Beobachtungswert mit dem Rang i displaystyle i nbsp Beispiel BearbeitenFolgende Beobachtungen wurden fur die monatlichen Aufwendungen fur Freizeitguter und Urlaub in Zweipersonenhaushalten gemacht Beobachtungsnummer 1 2 3 4Beobachtungswert 220 240 220 180Rang 2 oder 3 4 2 oder 3 1Also x 4 240 x 2 displaystyle x 4 240 x 2 nbsp d h x 4 displaystyle x 4 nbsp ist der Beobachtungswert mit dem Rang 4 displaystyle 4 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp der zweite Beobachtungswert in der Datenreihe Die Beobachtungen konnen zu einer Rangliste geordnet werden Listenrang Beobachtungsnummer Beobachtungswert1 4 1802 3 1 220 3 4 2 240Bindungen BearbeitenIn der Praxis kann es vorkommen dass Beobachtungswerte mehrfach auftreten Man spricht davon dass Bindungen in den Beobachtungswerten auftreten Da Beobachtungen mit gleichen Werten nicht unterschiedliche Range haben sollten mussen diese behandelt werden Da in der Statistik oft Rangsummen betrachtet werden ist eine oft gestellte Anforderung an Verfahren die Bindungen behandeln dass die Summe der Range von n displaystyle n nbsp Beobachtungen gerade 1 2 3 n n n 1 2 displaystyle 1 2 3 ldots n tfrac n n 1 2 nbsp ist Verschiedene Verfahren konnen benutzt werden um eine eindeutige Rangzuordnung zu finden 3 Mittelwert Den ranggleichen Beobachtungen wird das arithmetische Mittel der auf sie fallenden Range zugeordnet 1 2 Beispiel Folgende Beobachtungen wurden fur die monatlichen Aufwendungen fur Freizeitguter und Urlaub in Zweipersonenhaushalten gemacht Beobachtungsnummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Beobachtungswert 125 315 215 105 200 170 170 220 220 220Rang 2 10 6 1 5 3 5 3 5 8 8 8Den Beobachtungswerten 170 mussten die Range 3 und 4 zugeordnet werden Das arithmetische Mittel ergibt sich zu 3 4 2 3 5 displaystyle tfrac 3 4 2 3 5 nbsp Den Beobachtungswerten 220 mussten die Range 7 8 und 9 zugeordnet werden Das arithmetische Mittel ergibt sich zu 7 8 9 3 8 displaystyle tfrac 7 8 9 3 8 nbsp Randomisierung Den ranggleichen Beobachtungswerten wird zufallig einer der Range derselben zugeordnet A fortiori Methode Im Falle der Durchfuhrung eines Tests wird die Rangfolge so festgelegt dass die Nullhypothese H 0 displaystyle H 0 nbsp begunstigt wird Alle moglichen Rangzuordnungen untersuchenBerechne die Teststatistik fur alle moglichen Rangzuordnungen d h fuhre den Test fur alle moglichen Zuordnungen durch Wird H 0 displaystyle H 0 nbsp unabhangig von den Zuordnungen immer angenommen oder verworfen dann endet die Methode hier 4 EliminierungEntferne solange Beobachtungen aus der Stichprobe bis alle Bindungen verschwinden Insofern der Stichprobenumfang gross genug ist ist der Informationsverlust unerheblich ansonsten ist von dieser Methode abzuraten da sie bei vielen Tests die Teststarke verringert 5 Verteilung der Range BearbeitenDer Rang R X i displaystyle R X i nbsp einer Zufallsvariablen X i displaystyle X i nbsp ist eine diskret gleichverteilte Zufallsvariable auf 1 n displaystyle 1 n nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Summe der Range einer Datenreihe ist 1 2 3 n n n 1 2 displaystyle 1 2 3 ldots n frac n n 1 2 nbsp Gausssche Summenformel Auch bei Bildung des arithmetischen Mittels zur Berechnung der Range bei Bindungen bleibt diese Eigenschaft erhalten Einzelnachweise Bearbeiten a b Ulrich Krengel Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 8 Auflage Vieweg 2005 S 187 188 a b Roland Jeske Spass mit Statistik 4 Auflage Oldenbourg 2003 S 172 173 Jurgen Bortz Gustav A Lienert Klaus Boehnke Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik 3 Auflage Springer Verlag 2008 S 69 70 Christine Duller Einfuhrung in die nichtparametrische Statistik mit SAS R und SPSS 2 Auflage SpringerGabler 2019 ISBN 978 3 662 57677 9 S 27 Christine Duller Einfuhrung in die nichtparametrische Statistik mit SAS R und SPSS 2 Auflage SpringerGabler 2019 ISBN 978 3 662 57677 9 S 27 Siehe auch BearbeitenMedianNormdaten Sachbegriff GND 4176945 4 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rang Statistik amp oldid 232412337