In der Zahlentheorie ist die Ramanujan Nagell Gleichung eine Gleichung der Form x 2 7 2 n displaystyle x 2 7 2 n mit positiven ganzzahligen Losungen x N displaystyle x in mathbb N und n N displaystyle n in mathbb N Mitunter wird diese Gleichung auch in der Form 2 n 7 x 2 displaystyle 2 n 7 x 2 angegeben Diese Gleichung ist ein Beispiel fur eine exponentielle diophantische Gleichung Sie wurde nach dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan und dem norwegischen Mathematiker Trygve Nagell benannt Inhaltsverzeichnis 1 Losungen der Gleichung 2 Ramanujan Nagell Zahlen 3 Verallgemeinerungen 4 Gleichungen vom Lebesgue Nagell Typ 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseLosungen der Gleichung BearbeitenDie einzigen funf ganzzahligen Losungen der Gleichung x 2 7 2 n displaystyle x 2 7 2 n nbsp lauten x n 1 3 displaystyle x n 1 3 nbsp also 1 2 7 2 3 displaystyle 1 2 7 2 3 nbsp x n 3 4 displaystyle x n 3 4 nbsp also 3 2 7 2 4 displaystyle 3 2 7 2 4 nbsp x n 5 5 displaystyle x n 5 5 nbsp also 5 2 7 2 5 displaystyle 5 2 7 2 5 nbsp x n 11 7 displaystyle x n 11 7 nbsp also 11 2 7 2 7 displaystyle 11 2 7 2 7 nbsp x n 181 15 displaystyle x n 181 15 nbsp also 181 2 7 2 15 displaystyle 181 2 7 2 15 nbsp Diese funf Losungen wurden erstmals von Ramanujan im Jahr 1913 erwahnt Er hat ausserdem vermutet dass diese funf Losungen die einzigen ganzzahligen Losungen dieser Gleichung sind 1 Unabhangig davon kam auch der norwegische Mathematiker Wilhelm Ljunggren im Jahr 1943 auf diese Vermutung 2 Einen Beweis dieser Vermutung konnte aber erst Nagell im Jahr 1948 liefern 3 4 5 Ramanujan Nagell Zahlen BearbeitenEine Mersenne Zahl die gleichzeitig eine Dreieckszahl ist nennt man Ramanujan Nagell Zahl Eine Mersenne Zahl ist eine Zahl der Form 2 b 1 displaystyle 2 b 1 nbsp eine Dreieckszahl eine Zahl der Form y y 1 2 displaystyle frac y cdot y 1 2 nbsp Wenn man alle Mersenne Zahlen berechnen will die auch gleichzeitig Dreieckszahlen sind auf englisch auch triangular Mersenne numbers muss man folgende Gleichung losen 2 b 1 y y 1 2 displaystyle 2 b 1 frac y cdot y 1 2 nbsp Formt man diese Gleichung etwas um so erhalt man 2 b 1 y y 1 2 8 2 b 1 4 y y 1 2 b 3 8 4 y 2 4 y 2 b 3 7 4 y 2 4 y 1 2 b 3 7 2 y 1 2 displaystyle begin aligned 2 b 1 amp amp frac y cdot y 1 2 8 cdot 2 b 1 amp amp 4 cdot y cdot y 1 2 b 3 8 amp amp 4y 2 4y 2 b 3 7 amp amp 4y 2 4y 1 2 b 3 7 amp amp 2y 1 2 end aligned nbsp Setzt man nun n b 3 displaystyle n b 3 nbsp und x 2 y 1 displaystyle x 2y 1 nbsp so erhalt man die Ramanujan Nagell Gleichung 2 n 7 x 2 displaystyle 2 n 7 x 2 nbsp Da man schon weiss dass diese Gleichung nur funf Losungen n x 3 1 4 3 5 5 7 11 15 181 displaystyle n x in 3 1 4 3 5 5 7 11 15 181 nbsp hat kann man die dazugehorigen b n 3 displaystyle b n 3 nbsp und y x 1 2 displaystyle y frac x 1 2 nbsp berechnen b y 0 0 1 1 2 2 4 5 12 90 displaystyle b y in 0 0 1 1 2 2 4 5 12 90 nbsp Die dazugehorigen Mersenne Zahlen 2 b 1 displaystyle 2 b 1 nbsp lauten also 2 0 1 0 displaystyle 2 0 1 0 quad nbsp 2 1 1 1 displaystyle 2 1 1 1 quad nbsp 2 2 1 3 displaystyle 2 2 1 3 quad nbsp 2 4 1 15 displaystyle 2 4 1 15 quad nbsp und 2 12 1 4095 displaystyle 2 12 1 4095 nbsp Die folgenden funf Mersenne Zahlen sind also gleichzeitig Dreieckszahlen und somit die einzigen Ramanujan Nagell Zahlen 0 1 3 15 4095 Folge A076046 in OEIS Es gibt keine weiteren Mersenne Zahlen die gleichzeitig Dreieckszahlen sind Verallgemeinerungen BearbeitenVerallgemeinerungen der Ramanujan Nagell Gleichung haben die Form x 2 D A B n displaystyle x 2 D A cdot B n quad nbsp mit vorgegebenen ganzzahligen D A B Z displaystyle D A B in Z nbsp und Variablen x n displaystyle x n nbsp Man nennt sie auch Gleichungen vom Ramanujan Nagell Typ Der Mathematiker Carl Ludwig Siegel konnte zeigen dass die Anzahl der Losungen x n displaystyle x n nbsp in allen Fallen endlich ist 3 6 Beispiel 1 Sei A 1 displaystyle A 1 nbsp B 2 displaystyle B 2 nbsp und D 7 displaystyle D 7 nbsp Dann lautet die Gleichung x 2 7 2 n displaystyle x 2 7 2 n nbsp dd Diese Gleichung ergibt umgeformt 2 n 7 x 2 displaystyle 2 n 7 x 2 nbsp was wieder die ursprungliche Ramanujan Nagell Gleichung mit den schon erwahnten funf Losungen ist dd Beispiel 2 Sei A 4 displaystyle A 4 nbsp B 2 displaystyle B 2 nbsp und D 7 displaystyle D not 7 nbsp Dann hat man es mit der Gleichung x 2 D 4 2 n displaystyle x 2 D 4 cdot 2 n nbsp zu tun Mit anderen Worten Die Gleichung lautet x 2 D 2 n 2 displaystyle x 2 D 2 n 2 nbsp mit D 7 displaystyle D not 7 nbsp dd Dieser Gleichungstyp hat immer hochstens zwei Losungen Es gibt aber unendlich viele D displaystyle D nbsp fur welche diese Gleichung exakt zwei Losungen hat Zum Beispiel seien hier diese zwei Losungen von bestimmen D displaystyle D nbsp angegeben 7 8 dd x n 3 5 45 11 displaystyle x n in 3 5 45 11 nbsp fur D 23 displaystyle D 23 nbsp x n 1 m 2 m 1 2 m 1 displaystyle x n in 1 m 2 m 1 2m 1 nbsp fur D 2 m 1 displaystyle D 2 m 1 nbsp m 4 displaystyle m geq 4 nbsp dd dd Beispiel 3 Sei D 119 displaystyle D 119 nbsp A 15 displaystyle A 15 nbsp und B 2 displaystyle B 2 nbsp Dann lautet die Gleichung x 2 119 15 2 n displaystyle x 2 119 15 cdot 2 n nbsp dd Diese Gleichung hat die folgenden sechs Losungen 9 x n 1 3 11 4 19 5 29 6 61 8 701 15 displaystyle x n in 1 3 11 4 19 5 29 6 61 8 701 15 nbsp dd dd Gleichungen vom Lebesgue Nagell Typ BearbeitenEine Gleichung der Form x 2 D A y n displaystyle x 2 D Ay n quad nbsp mit vorgegebenen ganzzahligen D A Z displaystyle D A in Z nbsp und Variablen x y n displaystyle x y n nbsp nennt man Gleichung vom Lebesgue Nagell Typ Sie wurde nach dem franzosischen Mathematiker Victor Amedee Lebesgue benannt der zeigen konnte dass die Gleichung x 2 1 y n displaystyle x 2 1 y n nbsp keine Losung hat mit Ausnahme der folgenden trivialen Losungen 10 0 2 1 y 0 displaystyle 0 2 1 y 0 nbsp 0 2 1 1 n displaystyle quad 0 2 1 1 n nbsp und x 2 1 x 2 1 1 displaystyle x 2 1 x 2 1 1 nbsp Zur letzteren trivialen Losungsschar gehoren zum Beispiel 1 2 1 2 1 displaystyle 1 2 1 2 1 nbsp oder 7 2 1 50 1 displaystyle 7 2 1 50 1 nbsp Beispiel 1 Die beiden Mathematiker Robert Tijdeman und Tarlok Nath Shorey konnten im Jahr 1986 zeigen dass die Anzahl der Losungen der Gleichung x 2 D A y n displaystyle x 2 D Ay n nbsp in jedem Fall endlich ist 11 Beispiel 2 Die drei Mathematiker Yann Bugeaud Maurice Mignotte und Samir Siksek losten im Jahr 2006 Gleichungen dieses Typs fur A 1 displaystyle A 1 nbsp und 1 D 100 displaystyle 1 leq D leq 100 nbsp 12 Sie konnten im Speziellen zeigen dass die Verallgemeinerung der Ramanujan Nagell Gleichungx 2 7 y n displaystyle x 2 7 y n nbsp mit n 3 displaystyle n geq 3 nbsp dd nur die funf positiven ganzzahligen Losungen x y n 1 2 3 3 2 4 5 2 5 11 2 7 181 2 15 displaystyle x y n in 1 2 3 3 2 4 5 2 5 11 2 7 181 2 15 nbsp hat Fur 0 n 2 displaystyle 0 leq n leq 2 nbsp hat diese Gleichung noch die triviale Losung 0 2 7 7 1 displaystyle 0 2 7 7 1 nbsp also x y n 0 7 1 displaystyle x y n in 0 7 1 nbsp Losungen dieser Gleichung wie zum Beispiel 1 2 7 8 1 displaystyle 1 2 7 8 1 nbsp oder 3 2 7 4 2 displaystyle 3 2 7 4 2 nbsp kann man umformen auf 1 2 7 2 3 displaystyle 1 2 7 2 3 nbsp bzw 3 2 7 2 4 displaystyle 3 2 7 2 4 nbsp was wiederum auf die schon bekannten Losungen x y n 1 2 3 3 2 4 displaystyle x y n in 1 2 3 3 2 4 nbsp fuhrt Siehe auch BearbeitenPillai Vermutung A x n B y m C displaystyle Ax n By m C nbsp mit A B C N displaystyle A B C in mathbb N nbsp hat nur endliche viele Losungen Weblinks BearbeitenKalyan Chakraborty Azizul Hoque Richa Sharma Complete solutions of certain Lebesgue Ramanujan Nagell Type equations 28 September 2019 S 1 16 abgerufen am 11 Januar 2020 Fadwa S Abu Muriefah Yann Bugeaud The Diophantine equation x2 c y n a brief overview Revista Colombiana de Matematicas 40 2006 S 31 37 abgerufen am 11 Januar 2020 Einzelnachweise Bearbeiten Srinivasa Ramanujan Question 446 J Indian Math Soc 5 1913 120 Collected papers Cambridge University Press 1927 S 327 Wilhelm Ljunggren Oppgave nr 2 Norske Mat Tidsskrift 25 1943 S 29 norwegisch a b N Saradha Anitha Srinivasan Generalized Lebesgue Ramanujan Nagell Equations Diophantine Equations 2008 S 207 223 abgerufen am 11 Januar 2020 Attila Berczes Istvan Pink On generalized Lebesgue Ramanujan Nagell equations Analele Universitatii Ovidius Constanta Seria Matematica 22 1 10 Januar 2014 S 51 71 abgerufen am 11 Januar 2020 Trygve Nagell The Diophantine equation x2 7 2n Ark Math 4 13 13 Januar 1960 S 185 187 abgerufen am 11 Januar 2020 Carl Ludwig Siegel Approximation algebraischer Zahlen Satz 7 auf S 204 Math Zeit 10 1921 S 173 213 abgerufen am 11 Januar 2020 Roger Apery Sur une equation diophantienne C R Acad Sci Paris Ser A 251 1960 S 1263 1264 und S 1451 1452 franzosisch N Saradha Anitha Srinivasan Generalized Lebesgue Ramanujan Nagell Equations Abschnitt 2 3 auf S 2 S 208 Diophantine Equations 2008 S 207 223 abgerufen am 11 Januar 2020 N Saradha Anitha Srinivasan Generalized Lebesgue Ramanujan Nagell Equations Aussage vor Proposition 2 1 S 4f Diophantine Equations 2008 S 207 223 abgerufen am 11 Januar 2020 Victor Amedee Lebesgue Sur l impossibilite en nombres entiers de l equation xm y2 1 Nouvelles Annales de Mathematiques 1 9 1850 S 178 181 abgerufen am 11 Januar 2020 franzosisch Tarlok Nath Shorey Robert Tijdeman Exponential Diophantine equations Theorem 10 6 Cambridge Tracts in Mathematics 87 Cambridge University Press Cambridge 1986 Yann Bugeaud Maurice Mignotte Samir Siksek Classical and modular approaches to exponential and Diophantine equations II The Lebesgue Nagell equation Theorem 1 Compos Math 142 1 Januar 2006 S 31 62 abgerufen am 11 Januar 2020 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ramanujan Nagell Gleichung amp oldid 205509955
