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Raketengrundgleichung Die gibt in der Raumfahrtphysik die Geschwindigkeit einer Rakete an die beschleunigt wird indem St

Raketengrundgleichung

Die Raketengrundgleichung gibt in der Raumfahrtphysik die Geschwindigkeit einer Rakete an, die beschleunigt wird, indem Stützmasse mit konstanter Geschwindigkeit kontinuierlich ausgestoßen wird, und sonst keiner weiteren Kraft unterliegt.

Das Grundprinzip des Raketenantriebs besteht darin, Stützmasse nach hinten auszustoßen und durch den Rückstoß die Geschwindigkeit der Rakete samt Nutzlast und restlichem Treibstoff zu erhöhen. Die Annahme konstanter Austrittsgeschwindigkeit ist charakteristisch für Raketentriebwerke, deren Stützmasse aus Treibstoff besteht, dessen Verbrennung die Energie für den Ausstoß liefert. Die Austrittsgeschwindigkeit wird auch als spezifischer Impuls des Triebwerks angegeben.

Mit der Anfangsmasse gilt für den Geschwindigkeitszuwachs der Rakete, wenn ihre Masse durch Treibstoffverbrauch auf den Wert gefallen ist:

Dies gilt unabhängig vom zeitlichen Verlauf des Ausstoßes. Bei konstantem Treibstoffverbrauch also konstanter Schubkraft ergibt sich über der zeitliche Geschwindigkeitszuwachs zu:

Die Raketengrundgleichung kann auch für die einzelnen Stufen einer Mehrstufenrakete verwendet werden, wobei sie den Geschwindigkeitszuwachs während des Betriebs der jeweiligen Stufe angibt.

Geschichte Bearbeiten

Die erste belegte Herleitung dieser Gleichung stammt von dem britischen Mathematiker William Moore und wurde zunächst 1810 in einem Journal und dann 1813 in dem Buch A Treatise on the Motion of Rockets (Eine Abhandlung über die Bewegung von Raketen) veröffentlicht. 1862 veröffentlichte William Leitch God's glory in the Heavens (Gottes Herrlichkeit im Himmel), wo er argumentiert, dass Raketen die effektivste Methode für das Reisen im Weltall darstellen. 1903 veröffentlichte Konstantin Ziolkowski unabhängig seine Herleitung und machte sich zusätzlich Gedanken, ob Raketen die erforderlichen Geschwindigkeiten für die Raumfahrt erreichen können, weshalb ihm oftmals die erstmalige Herleitung zugeschrieben wird. Unabhängige Herleitungen gelangen später auch Hermann Oberth und Robert Goddard, welche oft als Pioniere der modernen Raumfahrt bezeichnet werden.

Herleitung Bearbeiten

In diesem Abschnitt ist die physikalische Herleitung der Raketengrundgleichung aus dem Impulserhaltungssatz mittels Differential- und Integralrechnung angegeben.

Man zerlegt den gesamten kontinuierlich ablaufenden Beschleunigungsvorgang in so kleine Schritte, dass in jedem Schritt die momentane Geschwindigkeit der Rakete mit einem bestimmten Wert angesetzt werden kann und ihre Masse ebenso mit einem Wert . Im momentanen Schwerpunktssystem der Rakete wird die Masse mit der Geschwindigkeit ausgestoßen, hat also den Impuls . Wegen der Impulserhaltung erhält die Rakete einen gleich großen Rückstoßimpuls , der ihre Geschwindigkeit in entgegengesetzter Richtung um erhöht. Dass statt der Masse hier genauer anzusetzen wäre, spielt nach dem folgenden Grenzübergang zu immer mehr und kleineren Schritten keine Rolle mehr. Die Änderungen und werden dabei zu den Differentialen bzw. . Für diese gilt also (mit dem Minuszeichen, weil zunimmt während abnimmt):

umgestellt zur Trennung der Variablen:

Für die Stammfunktionen beider Seiten gilt dann, dass sie sich höchstens durch eine Integrationskonstante unterscheiden:

wird aus den Bedingungen am Anfang bestimmt. Einsetzen von ergibt und damit schließlich die Raketengrundgleichung

Diese Gleichung gilt an jeder Stelle des Fluges. Die am Ende erreichte Geschwindigkeit ergibt sich mit der Masse des ausgestoßenen Treibstoffs und der Masse der leeren Rakete, also , zu:

  • Diese theoretische Endgeschwindigkeit hängt nur vom Massenverhältnis ab, nicht vom zeitlichen Verlauf des Betriebs der Triebwerke.
  • In einem Schwerefeld der mittleren Stärke ist die vertikale Endgeschwindigkeit nach einer Zeit um den Betrag geringer. Auch der Luftwiderstand, der von der Höhe und der Geschwindigkeit abhängt, verringert die erreichbare Endgeschwindigkeit.
  • kann größer sein als die Austrittsgeschwindigkeit . Dazu muss nur das Massenverhältnis größer als sein.
  • Bei sehr großen Massenverhältnissen lohnt sich eine Mehrstufenrakete, da sonst der ganze Treibstofftank zulasten der Nutzlast auf die Endgeschwindigkeit beschleunigt werden müsste.

Mehrstufige Raketen Bearbeiten

Um Geschwindigkeiten weit jenseits zu erreichen, werden unterwegs Teile der Struktur (leere Tanks) oder auch des Triebwerks (Booster) zurückgelassen, siehe Mehrstufenrakete. Übersichtlich ist der Fall aufeinandergesetzter Stufen, wobei die oberen Stufen die Nutzlast der unteren Stufen darstellen.

Es sei eine zweistufige Rakete angenommen, deren Stufen eine Masse von 100 kg bzw. 20 kg haben und zu jeweils 90 % aus Treibstoff bestehen, also Strukturmassen von 10 kg bzw. 2 kg haben. Die Nutzlast betrage 1 kg. Die Raketengrundgleichung wird zweimal angewendet, wobei sich die Beiträge beider Stufen addieren (das sieht man, wenn man beim Brennschluss der ersten Stufe in das Bezugssystem wechselt, in dem die zweite Stufe in diesem Moment ruht):

Zum Vergleich die einstufige Rakete mit gleicher Treibstoff- und Strukturmasse:

Literatur Bearbeiten

  • Ernst Messerschmid, Stefanos Fasoulas: Raumfahrtsysteme. Eine Einführung mit Übungen und Lösungen, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2000, ISBN 978-3-662-09674-1.
  • Wolfgang Steiner, Martin Schagerl: Raumflugmechanik. Dynamik und Steuerung von Raumfahrzeugen, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20761-9
  • Armin Dadieu, Ralf Damm, Eckart W. Schmidt: Raketentreibstoffe. Springer Verlag, Wien / New York 1968.
  • Friedrich U. Mathiak: Technische Mechanik 3. Kinematik und Kinetik mit Maple- und MapleSim-Anwendungen, De Gruyter Verlag, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-043804-8.
  • H. G. Münzberg: Flugantriebe. Grundlagen – Systematik und Technik der Luft- und Raumfahrtantriebe, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 1972, ISBN 978-3-662-11758-3.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. William Moore: A Journal of Natural Philosophy, Chemistry and the Arts Vol. XXVII, December 1810, Article IV: Theory on the motion of Rockets. W. Nichelson, London 1810.
  2. William Moore: A Treatise on the Motion of Rockets. To which is added, An Essay on Naval Gunnery. G. and S. Robinson, London 1813.
  3. William Leitch: God's Glory in the Heaves. Hrsg.: Alexander Strahan. 1862.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Raketengrundgleichung gibt in der Raumfahrtphysik die Geschwindigkeit einer Rakete an die beschleunigt wird indem Stutzmasse mit konstanter Geschwindigkeit kontinuierlich ausgestossen wird und sonst keiner weiteren Kraft unterliegt Das Grundprinzip des Raketenantriebs besteht darin Stutzmasse nach hinten auszustossen und durch den Ruckstoss die Geschwindigkeit der Rakete samt Nutzlast und restlichem Treibstoff zu erhohen Die Annahme konstanter Austrittsgeschwindigkeit ist charakteristisch fur Raketentriebwerke deren Stutzmasse aus Treibstoff besteht dessen Verbrennung die Energie fur den Ausstoss liefert Die Austrittsgeschwindigkeit v g displaystyle v mathrm g wird auch als spezifischer Impuls des Triebwerks angegeben Mit der Anfangsmasse m 0 displaystyle m 0 gilt fur den Geschwindigkeitszuwachs D v displaystyle Delta v der Rakete wenn ihre Masse durch Treibstoffverbrauch auf den Wert m displaystyle m gefallen ist D v m v g ln m 0 m displaystyle Delta v m v mathrm g cdot ln frac m 0 m Dies gilt unabhangig vom zeitlichen Verlauf des Ausstosses Bei konstantem Treibstoffverbrauch m t b displaystyle dot m t b also konstanter Schubkraft F v g b displaystyle F v mathrm g cdot b ergibt sich uber m t m 0 b t displaystyle m t m 0 bt der zeitliche Geschwindigkeitszuwachs zu D v t v g ln m 0 m 0 b t v g ln 1 b t m 0 displaystyle Delta v t v mathrm g cdot ln frac m 0 m 0 b cdot t v mathrm g cdot ln left 1 frac b cdot t m 0 right Die Raketengrundgleichung kann auch fur die einzelnen Stufen einer Mehrstufenrakete verwendet werden wobei sie den Geschwindigkeitszuwachs wahrend des Betriebs der jeweiligen Stufe angibt Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Herleitung 3 Mehrstufige Raketen 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenDie erste belegte Herleitung dieser Gleichung stammt von dem britischen Mathematiker William Moore und wurde zunachst 1810 in einem Journal 1 und dann 1813 in dem Buch A Treatise on the Motion of Rockets 2 Eine Abhandlung uber die Bewegung von Raketen veroffentlicht 1862 veroffentlichte William Leitch God s glory in the Heavens 3 Gottes Herrlichkeit im Himmel wo er argumentiert dass Raketen die effektivste Methode fur das Reisen im Weltall darstellen 1903 veroffentlichte Konstantin Ziolkowski unabhangig seine Herleitung und machte sich zusatzlich Gedanken ob Raketen die erforderlichen Geschwindigkeiten fur die Raumfahrt erreichen konnen weshalb ihm oftmals die erstmalige Herleitung zugeschrieben wird Unabhangige Herleitungen gelangen spater auch Hermann Oberth und Robert Goddard welche oft als Pioniere der modernen Raumfahrt bezeichnet werden Herleitung BearbeitenIn diesem Abschnitt ist die physikalische Herleitung der Raketengrundgleichung aus dem Impulserhaltungssatz mittels Differential und Integralrechnung angegeben Man zerlegt den gesamten kontinuierlich ablaufenden Beschleunigungsvorgang in so kleine Schritte dass in jedem Schritt die momentane Geschwindigkeit der Rakete mit einem bestimmten Wert v displaystyle v nbsp angesetzt werden kann und ihre Masse ebenso mit einem Wert m displaystyle m nbsp Im momentanen Schwerpunktssystem der Rakete wird die Masse D m displaystyle Delta m nbsp mit der Geschwindigkeit v g displaystyle v mathrm g nbsp ausgestossen hat also den Impuls v g D m displaystyle v mathrm g Delta m nbsp Wegen der Impulserhaltung erhalt die Rakete einen gleich grossen Ruckstossimpuls m D v displaystyle m Delta v nbsp der ihre Geschwindigkeit in entgegengesetzter Richtung um D v displaystyle Delta v nbsp erhoht Dass statt der Masse m displaystyle m nbsp hier genauer m D m displaystyle m Delta m nbsp anzusetzen ware spielt nach dem folgenden Grenzubergang zu immer mehr und kleineren Schritten keine Rolle mehr Die Anderungen D m displaystyle Delta m nbsp und D v displaystyle Delta v nbsp werden dabei zu den Differentialen d m displaystyle mathrm d m nbsp bzw d v displaystyle mathrm d v nbsp Fur diese gilt also mit dem Minuszeichen weil v displaystyle v nbsp zunimmt wahrend m displaystyle m nbsp abnimmt v g d m m d v displaystyle v mathrm g mathrm d m m mathrm d v nbsp umgestellt zur Trennung der Variablen d v v g d m m displaystyle mathrm d v v mathrm g frac mathrm d m m nbsp Fur die Stammfunktionen beider Seiten gilt dann dass sie sich hochstens durch eine Integrationskonstante C displaystyle C nbsp unterscheiden v v g ln m C displaystyle v v mathrm g ln m C nbsp C displaystyle C nbsp wird aus den Bedingungen am Anfang bestimmt Einsetzen von v 0 m m 0 displaystyle v 0 m m 0 nbsp ergibt C v g ln m 0 displaystyle C v mathrm g ln m 0 nbsp und damit schliesslich die Raketengrundgleichung v v g ln m 0 m displaystyle v v mathrm g ln frac m 0 m nbsp Diese Gleichung gilt an jeder Stelle des Fluges Die am Ende erreichte Geschwindigkeit ergibt sich mit der Masse m T displaystyle m mathrm T nbsp des ausgestossenen Treibstoffs und der Masse m L displaystyle m mathrm L nbsp der leeren Rakete also m 0 m L m T displaystyle m 0 m mathrm L m mathrm T nbsp zu v E n d v g 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Nutzlast auf die Endgeschwindigkeit beschleunigt werden musste Mehrstufige Raketen BearbeitenUm Geschwindigkeiten weit jenseits v g displaystyle v mathrm g nbsp zu erreichen werden unterwegs Teile der Struktur leere Tanks oder auch des Triebwerks Booster zuruckgelassen siehe Mehrstufenrakete Ubersichtlich ist der Fall aufeinandergesetzter Stufen wobei die oberen Stufen die Nutzlast der unteren Stufen darstellen Es sei eine zweistufige Rakete angenommen deren Stufen eine Masse von 100 kg bzw 20 kg haben und zu jeweils 90 aus Treibstoff bestehen also Strukturmassen von 10 kg bzw 2 kg haben Die Nutzlast betrage 1 kg Die Raketengrundgleichung wird zweimal angewendet wobei sich die Beitrage beider Stufen addieren das sieht man wenn man beim Brennschluss der ersten Stufe in das Bezugssystem wechselt in dem die zweite Stufe in diesem Moment ruht v E n d ln 100 20 1 10 20 1 ln 20 1 2 1 v g 1 36 1 95 v g 3 31 v g displaystyle v mathrm End left ln frac 100 20 1 10 20 1 ln frac 20 1 2 1 right v 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Weblinks BearbeitenBernd Leitenberger Die Raketengrundgleichung Daniel Ruhstorfer Schulerarbeit zur Raketengrundgleichung archivierte Version vom 12 Juni 2018 Kristian Pauly Skriptum zur Vorlesung Raumfahrtsysteme TU Munchen Fachgebiet Raumfahrttechnik Wintersemester 2002 2003 abgerufen am 9 Juni 2018 Einzelnachweise Bearbeiten William Moore A Journal of Natural Philosophy Chemistry and the Arts Vol XXVII December 1810 Article IV Theory on the motion of Rockets W Nichelson London 1810 William Moore A Treatise on the Motion of Rockets To which is added An Essay on Naval Gunnery G and S Robinson London 1813 William Leitch God s Glory in the Heaves Hrsg Alexander Strahan 1862 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Raketengrundgleichung amp oldid 229671155