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Rabi-Oszillation

Rabi-Oszillationen treten in einem quantenmechanischen Zwei-Niveau-System (z. B. zwei Zustände in einem Atom) auf, welches mit einer externen periodischen Kraft (z. B. ein Laser-Lichtfeld bei Laserspektroskopie oder ein oszillierendes Magnetfeld bei Kernspinresonanzspektroskopie) mit (Kreis-)Frequenz wechselwirkt. Liegt die Anregungsfrequenz nahe der Resonanzfrequenz der zwei Zustände, so oszilliert die Besetzung der Zustände mit einer Frequenz , die auch als Rabi-Frequenz bezeichnet wird. Sie ist nach dem amerikanischen Physiker Isidor Isaac Rabi benannt.

schematische Darstellung eines Zweizustandssystems, das mit elektromagnetischer Strahlung wechselwirkt.

Rabi-Oszillationen sind vor allem für die Beschreibung der Wechselwirkung von kohärentem Licht mit Atomen wichtig. Unter bestimmten vereinfachenden Annahmen können zwei Elektronenzustände des Atoms als Zwei-Niveau-System genähert werden, welches durch das (schwache) Lichtfeld gestört wird. Damit lassen sich die Eigenschaften des Systems im Rahmen seiner störungstheoretischen Betrachtung berechnen. Das Ansteigen der Besetzungswahrscheinlichkeit des zweiten (energetisch höheren) Zustands entspricht dann der Absorption des Lichts. Rabi-Oszillationen sind experimentell messbar. In vielen Fällen spielen allerdings Dämpfungs- oder Dephasierungsprozesse eine wichtige Rolle, wodurch die Oszillationen schnell abklingen und (wenn überhaupt) nur für sehr kurze Zeiten zu beobachten sind.

Resonante Wechselwirkung Bearbeiten

Die beiden Zustände 1 und 2 des Systems haben die Energien und . Die zugehörige Frequenz des Übergangs ist dann . Ist die Störung resonant, also , so ist die Rabi-Frequenz im Falle von Atom-Licht-Wechselwirkung:

Hierbei ist die Stärke des eingestrahlten Lichtfeldes (elektrische Feldkomponente, die hier überwiegt), das Übergangsdipolmoment des Übergangs und das reduzierte Planck’sche Wirkungsquantum. Im Falle der Kernspinresonanz-Spektroskopie (NMR) wechselwirkt ein oszillierendes Magnetfeld mit Stärke mit dem durch den Kernspin erzeugten magnetischen Dipolmoment eines Atoms. Die Rabi-Frequenz dieses Systems ergibt sich mit dem gyromagnetischen Verhältnis zu:

Die Besetzungswahrscheinlichkeiten und der Zustände oszillieren mit der Rabi-Frequenz nach folgender Formel:

Dabei wurde davon ausgegangen, dass zur Zeit nur der Grundzustand 1 besetzt war.

Verstimmte Wechselwirkung Bearbeiten

Wird nun statt eines resonanten Störfelds ein um verstimmtes Störfeld eingestrahlt, so ändert sich auch die Rabi-Frequenz zu:

wobei die Rabi-Frequenz des resonant gestörten Systems ist. Eine vollständige theoretische Behandlung ist mit Hilfe der zeitabhängigen Störungstheorie möglich. Für die Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten Zustands ergibt sich daraus dann folgender zeitlicher Verlauf (zur Zeit war wieder nur der Grundzustand 1 besetzt):

und die Besetzungswahrscheinlichkeit für den Zustand 1 ist . Die Besetzung ist im folgenden Bild für verschiedene Verstimmungen dargestellt:

Durch die externe Störung wird der Zustand 2 bis zu einem Maximalwert besetzt und dann wieder abgebaut. Dieses Verhalten setzt sich periodisch fort. Bemerkenswert ist in diesem Fall, dass eine vollständige Umsetzung nur dann möglich ist, wenn die Verstimmung Null ist, die Frequenz der Störung die Übergangsfrequenz also resonant trifft. Weiterhin ist anzumerken, dass die Rabi-Oszillationen in diesem (vereinfachten) Modell für alle Zeiten fortlaufen und somit eine stationäre Umbesetzung der Zustände bei eingeschalteter Störung nicht möglich ist.

Die Amplitude der Rabi-Oszillationen beschreibt den Wirkungsquerschnitt bei Anregung des Zwei-Niveauübergangs. Sie lautet nach obiger Formel für :

Dies entspricht einer Lorentzkurve, wie sie auch für andere Resonanzphänomene typisch ist.

Herleitung Bearbeiten

Der Hamilton-Operator des Systems zerfällt in zwei Anteile:

wobei das ungestörte Zwei-Niveau-System und die zeitabhängige Störung beschreiben. Die bereits oben erwähnten Zustände sind nun die Lösungen des ungestörten Hamilton-Operators:

Mit diesen Zuständen kann man die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

als Linearkombination der ungestörten Lösungen ansetzen:

Durch Einsetzen dieses Ansatzes in die zeitabhängige Schrödingergleichung ergibt sich ein System zweier gekoppelter Differentialgleichungen für und , das folgende Lösung hat:

woraus sich die obigen Besetzungswahrscheinlichkeiten als und ergeben.

Quellen Bearbeiten

  • P. W. Milonni, J. H. Eberly: Lasers. Wiley, 1988, ISBN 0-471-62731-3.
  • H. J. Metcalf, P. van der Straten: Laser Cooling and Trapping. Springer, 1999, ISBN 0-387-98747-9, S. 4–7.
  • P. W. Atkins, R. S. Friedman: Molecular Quantum Mechanics. 4. Aufl., Oxford University Press, Oxford 2004, ISBN 0-19-927498-3.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Rabi Oszillationen treten in einem quantenmechanischen Zwei Niveau System z B zwei Zustande in einem Atom auf welches mit einer externen periodischen Kraft z B ein Laser Lichtfeld bei Laserspektroskopie oder ein oszillierendes Magnetfeld bei Kernspinresonanzspektroskopie mit Kreis Frequenz w displaystyle omega wechselwirkt Liegt die Anregungsfrequenz w displaystyle omega nahe der Resonanzfrequenz w 21 D E ℏ E 2 E 1 ℏ displaystyle omega 21 Delta E hbar E 2 E 1 hbar der zwei Zustande so oszilliert die Besetzung der Zustande mit einer Frequenz W displaystyle Omega die auch als Rabi Frequenz bezeichnet wird Sie ist nach dem amerikanischen Physiker Isidor Isaac Rabi benannt schematische Darstellung eines Zweizustandssystems das mit elektromagnetischer Strahlung wechselwirkt Rabi Oszillationen sind vor allem fur die Beschreibung der Wechselwirkung von koharentem Licht mit Atomen wichtig Unter bestimmten vereinfachenden Annahmen konnen zwei Elektronenzustande des Atoms als Zwei Niveau System genahert werden welches durch das schwache Lichtfeld gestort wird Damit lassen sich die Eigenschaften des Systems im Rahmen seiner storungstheoretischen Betrachtung berechnen Das Ansteigen der Besetzungswahrscheinlichkeit des zweiten energetisch hoheren Zustands entspricht dann der Absorption des Lichts Rabi Oszillationen sind experimentell messbar In vielen Fallen spielen allerdings Dampfungs oder Dephasierungsprozesse eine wichtige Rolle wodurch die Oszillationen schnell abklingen und wenn uberhaupt nur fur sehr kurze Zeiten zu beobachten sind Inhaltsverzeichnis 1 Resonante Wechselwirkung 2 Verstimmte Wechselwirkung 2 1 Herleitung 3 Quellen 4 WeblinksResonante Wechselwirkung BearbeitenDie beiden Zustande 1 und 2 des Systems haben die Energien E 1 displaystyle E 1 nbsp und E 2 displaystyle E 2 nbsp Die zugehorige Frequenz des Ubergangs ist dann w 21 E 2 E 1 ℏ displaystyle omega 21 frac E 2 E 1 hbar nbsp Ist die Storung resonant also w w 21 displaystyle omega equiv omega 21 nbsp so ist die Rabi Frequenz im Falle von Atom Licht Wechselwirkung W A t o m L i c h t d 12 E 0 ℏ displaystyle Omega mathrm Atom Licht frac vec d 12 cdot vec E 0 hbar nbsp Hierbei ist E 0 displaystyle vec E 0 nbsp die Starke des eingestrahlten Lichtfeldes elektrische Feldkomponente die hier uberwiegt d 12 displaystyle vec d 12 nbsp das Ubergangsdipolmoment des Ubergangs 1 2 displaystyle 1 rightarrow 2 nbsp und ℏ displaystyle hbar nbsp das reduzierte Planck sche Wirkungsquantum Im Falle der Kernspinresonanz Spektroskopie NMR wechselwirkt ein oszillierendes Magnetfeld mit Starke B 1 displaystyle vec B 1 nbsp mit dem durch den Kernspin I displaystyle vec I nbsp erzeugten magnetischen Dipolmoment m g I displaystyle vec mu gamma vec I nbsp eines Atoms Die Rabi Frequenz dieses Systems ergibt sich mit dem gyromagnetischen Verhaltnis g displaystyle gamma nbsp zu W N M R g B 1 displaystyle Omega mathrm NMR gamma B 1 nbsp Die Besetzungswahrscheinlichkeiten p 1 t displaystyle p 1 t nbsp und p 2 t displaystyle p 2 t nbsp der Zustande oszillieren mit der Rabi Frequenz W displaystyle Omega nbsp nach folgender Formel p 1 t cos 2 W t 2 displaystyle p 1 t cos 2 left frac Omega t 2 right nbsp und p 2 t sin 2 W t 2 displaystyle p 2 t sin 2 left frac Omega t 2 right nbsp Dabei wurde davon ausgegangen dass zur Zeit t 0 displaystyle t 0 nbsp nur der Grundzustand 1 besetzt war Verstimmte Wechselwirkung BearbeitenWird nun statt eines resonanten Storfelds ein um D w 21 w displaystyle Delta omega 21 omega nbsp verstimmtes Storfeld eingestrahlt so andert sich auch die Rabi Frequenz zu W W 2 D 2 displaystyle Omega equiv sqrt Omega 2 Delta 2 nbsp wobei W displaystyle Omega nbsp die Rabi Frequenz des resonant gestorten Systems ist Eine vollstandige theoretische Behandlung ist mit Hilfe der zeitabhangigen Storungstheorie moglich Fur die Besetzungswahrscheinlichkeit p 2 t displaystyle p 2 t nbsp des angeregten Zustands ergibt sich daraus dann folgender zeitlicher Verlauf zur Zeit t 0 displaystyle t 0 nbsp war wieder nur der Grundzustand 1 besetzt p 2 t W 2 W 2 sin 2 W t 2 displaystyle p 2 t frac Omega 2 Omega 2 sin 2 frac Omega cdot t 2 nbsp und die Besetzungswahrscheinlichkeit fur den Zustand 1 ist p 1 t 1 p 2 t displaystyle p 1 t 1 p 2 t nbsp Die Besetzung p 2 t displaystyle p 2 t nbsp ist im folgenden Bild fur verschiedene Verstimmungen D displaystyle Delta nbsp dargestellt nbsp Durch die externe Storung wird der Zustand 2 bis zu einem Maximalwert besetzt und dann wieder abgebaut Dieses Verhalten setzt sich periodisch fort Bemerkenswert ist in diesem Fall dass eine vollstandige Umsetzung nur dann moglich ist wenn die Verstimmung Null ist die Frequenz der Storung die Ubergangsfrequenz also resonant trifft Weiterhin ist anzumerken dass die Rabi Oszillationen in diesem vereinfachten Modell fur alle Zeiten fortlaufen und somit eine stationare Umbesetzung der Zustande bei eingeschalteter Storung nicht moglich ist Die Amplitude der Rabi Oszillationen beschreibt den Wirkungsquerschnitt s w displaystyle sigma omega nbsp bei Anregung des Zwei Niveauubergangs Sie lautet nach obiger Formel fur p 2 t displaystyle p 2 t nbsp s 21 w W 2 W 2 w 21 w 2 displaystyle sigma mathrm 21 omega propto frac Omega 2 bigl Omega 2 left omega 21 omega right 2 bigr nbsp Dies entspricht einer Lorentzkurve wie sie auch fur andere Resonanzphanomene typisch ist Herleitung Bearbeiten Der Hamilton Operator des Systems zerfallt in zwei Anteile H H 0 H 1 t displaystyle hat H hat H 0 hat H 1 t nbsp mit H 1 t ℏ W cos w t 1 2 2 1 displaystyle hat H 1 t hbar Omega cos omega t 1 rangle langle 2 2 rangle langle 1 nbsp wobei H 0 displaystyle hat H 0 nbsp das ungestorte Zwei Niveau System und H 1 t displaystyle hat H 1 t nbsp die zeitabhangige Storung beschreiben Die bereits oben erwahnten Zustande 1 2 displaystyle 1 rangle 2 rangle nbsp sind nun die Losungen des ungestorten Hamilton Operators H 0 1 E 1 1 displaystyle hat H 0 1 rangle E 1 1 rangle nbsp und H 0 2 E 2 2 displaystyle hat H 0 2 rangle E 2 2 rangle quad nbsp Mit diesen Zustanden kann man die Losung PS t displaystyle Psi t rangle nbsp der zeitabhangigen Schrodinger Gleichung H PS t i ℏ t PS t displaystyle hat H Psi t rangle i hbar frac partial partial t Psi t rangle nbsp als Linearkombination der ungestorten Losungen ansetzen PS t c 1 t exp i E 1 t ℏ 1 c 2 t exp i E 2 t ℏ 2 displaystyle Psi t rangle c 1 t exp iE 1 t hbar 1 rangle c 2 t exp iE 2 t hbar 2 rangle nbsp Durch Einsetzen dieses Ansatzes in die zeitabhangige Schrodingergleichung ergibt sich ein System zweier gekoppelter Differentialgleichungen fur c 1 t displaystyle c 1 t nbsp und c 2 t displaystyle c 2 t nbsp das folgende Losung hat c 1 t cos W t 2 i D W sin W t 2 e i D t 2 displaystyle c 1 t left cos left frac Omega t 2 right i frac Delta Omega sin left frac Omega t 2 right right e i Delta t 2 nbsp und c 2 t i W W sin W t 2 e i D t 2 displaystyle c 2 t i frac Omega Omega sin left frac Omega t 2 right e i Delta t 2 quad nbsp woraus sich die obigen Besetzungswahrscheinlichkeiten als p 1 t c 1 t 2 displaystyle p 1 t c 1 t 2 nbsp und p 2 t c 2 t 2 displaystyle p 2 t c 2 t 2 nbsp ergeben Quellen BearbeitenP W Milonni J H Eberly Lasers Wiley 1988 ISBN 0 471 62731 3 H J Metcalf P van der Straten Laser Cooling and Trapping Springer 1999 ISBN 0 387 98747 9 S 4 7 P W Atkins R S Friedman Molecular Quantum Mechanics 4 Aufl Oxford University Press Oxford 2004 ISBN 0 19 927498 3 Weblinks Bearbeitentugraz at Doppelter Potentialtopf Beispiel NH3 PDF 4 0 MB Licht Atom Wechselwirkung im Zwei Niveau System Memento vom 20 Dezember 2005 im Internet Archive Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rabi Oszillation amp oldid 217007968