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Quasikonforme Abbildung In der Funktionentheorie ist eine quasikonforme Abbildung eine Verallgemeinerung einer biholomor

Quasikonforme Abbildung

In der Funktionentheorie ist eine quasikonforme Abbildung eine Verallgemeinerung einer biholomorphen Abbildung. Hier wird im Wesentlichen auf die Winkeltreue verzichtet.

Definition Bearbeiten

Seien und zwei Gebiete der komplexen Zahlenebene. Ein Homöomorphismus

heißt quasikonform, wenn es eine positive reelle Zahl kleiner 1 gibt, so dass

gilt. Dabei ist

die komplexe Dilatation, auch Beltrami-Koeffizient genannt.

Die Dilatation von f im Punkt z ist definiert als

Das Supremum

ist die Dilatation von f.

Beltrami-Gleichung Bearbeiten

Sei k eine positive reelle Zahl kleiner 1. Die partielle Differentialgleichung

wobei eine integrierbare Funktion mit ist, heißt Beltrami-Gleichung.

Hauptsatz Bearbeiten

Auf der riemannschen Zahlenkugel gilt, dass die Lösungen der Beltrami-Gleichung genau die quasikonformen Abbildungen sind.

Als Anwendung dieses Satzes kann man zeigen, dass alle fastkomplexen Strukturen auf der 2-Sphäre und auf allen anderen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten integrabel sind, d. h., alle fastkomplexen Strukturen sind komplexe Strukturen.

Literatur Bearbeiten

  • C. B. Morrey: On the solutions of quasilinear elliptic partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., Bd. 43, 1938, Seiten 126–166.
  • V. Gol'dshtein, Yu. G. Reshet'nyak: Quasiconformal mappings and Sobolev spaces. Kluwer, 1990 (übersetzt aus dem Russischen).
  • A. Bejancu: Quasi-conformal mapping. In: Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1556080104.
  • Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826
  • Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085
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In der Funktionentheorie ist eine quasikonforme Abbildung eine Verallgemeinerung einer biholomorphen Abbildung Hier wird im Wesentlichen auf die Winkeltreue verzichtet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beltrami Gleichung 3 Hauptsatz 4 LiteraturDefinition BearbeitenSeien G displaystyle G nbsp und H displaystyle H nbsp zwei Gebiete der komplexen Zahlenebene Ein Homoomorphismus f G H displaystyle f colon G longrightarrow H nbsp heisst quasikonform wenn es eine positive reelle Zahl k displaystyle k nbsp kleiner 1 gibt so dass m lt k displaystyle mu infty lt k nbsp gilt Dabei ist m f z f z z f z f displaystyle mu frac f bar z f z frac partial bar z f partial z f nbsp die komplexe Dilatation auch Beltrami Koeffizient genannt Die Dilatation von f im Punkt z ist definiert als K z 1 m z 1 m z displaystyle K z frac 1 mu z 1 mu z nbsp Das Supremum K sup z D K z 1 m 1 m displaystyle K sup z in D K z frac 1 mu infty 1 mu infty nbsp ist die Dilatation von f Beltrami Gleichung BearbeitenSei k eine positive reelle Zahl kleiner 1 Die partielle Differentialgleichung z f m z z f displaystyle partial bar z f mu z partial z f nbsp wobei m z displaystyle mu z nbsp eine integrierbare Funktion mit m lt k displaystyle mu infty lt k nbsp ist heisst Beltrami Gleichung Hauptsatz BearbeitenAuf der riemannschen Zahlenkugel gilt dass die Losungen der Beltrami Gleichung genau die quasikonformen Abbildungen sind Als Anwendung dieses Satzes kann man zeigen dass alle fastkomplexen Strukturen auf der 2 Sphare und auf allen anderen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten integrabel sind d h alle fastkomplexen Strukturen sind komplexe Strukturen Literatur BearbeitenC B Morrey On the solutions of quasilinear elliptic partial differential equations Trans Amer Math Soc Bd 43 1938 Seiten 126 166 V Gol dshtein Yu G Reshet nyak Quasiconformal mappings and Sobolev spaces Kluwer 1990 ubersetzt aus dem Russischen A Bejancu Quasi conformal mapping In Hazewinkel Michiel Encyclopaedia of Mathematics Springer 2001 ISBN 978 1556080104 Papadopoulos Athanase ed 2007 Handbook of Teichmuller theory Vol I IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 11 European Mathematical Society EMS Zurich doi 10 4171 029 ISBN 978 3 03719 029 6 MR2284826 Papadopoulos Athanase ed 2009 Handbook of Teichmuller theory Vol II IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 13 European Mathematical Society EMS Zurich doi 10 4171 055 ISBN 978 3 03719 055 5 MR2524085 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quasikonforme Abbildung amp oldid 225922276