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Problem invarianter Unterräume Das ist eine mathematische Problemstellung aus der Funktionalanalysis Die Fragestellung l

Problem invarianter Unterräume

Das Problem invarianter Unterräume ist eine mathematische Problemstellung aus der Funktionalanalysis. Die Fragestellung lautet, ob jeder nicht-triviale beschränkte und lineare Operator auf einem Banach-Raum einen invarianten Unterraum besitzt.

Ein erstes Gegenbeispiel wurde 1975 von dem schwedischen Mathematiker Per Enflo gefunden. Für Hilbert-Räume ist das Problem nach wie vor offen.

Problemstellung Bearbeiten

Grundbegriffe:

Sei ein komplexer Vektorraum und ein linearer Operator. Ein Unterraum ist -invariant, falls , das heißt also für alle . Gilt zusätzlich und , dann ist nicht-trivial.

Ein Unterraum ist invariant unter der Familie von Operatoren , falls -invariant für alle ist.

Ein Unterraum ist hyperinvariant für , falls er invariant für alle Operatoren ist, die mit kommutieren ().

Mit bezeichnen wir den Raum der beschränkten und linearen Operatoren auf .

Das Problem invarianter Unterräume für Banach-Räume Bearbeiten

Sei ein komplexer Banach-Raum mit und . Existiert dann ein abgeschlossener, nicht-trivaler -invarianter Unterraum?

Lösungen Bearbeiten

Die Problemstellung lieferte viele Teillösungen, die sich in zwei unterschiedliche Gruppen aufteilen lassen:

  1. Banach-Räume, auf denen jeder Operator einen invarianten Teilraum besitzt.
  2. Operatoren ohne invariante Teilräume auf einer großen Klasse von Funktionenräumen.

Schlüsselergebnisse Bearbeiten

1950 bewies John von Neumann, dass jeder kompakte Operator auf einem Hilbert-Raum einen nicht-trivialen hyperinvarianten Unterraum besitzt.

1973 publizierte Viktor Lomonossow den Satz von Lomonossow, welcher sagt, dass wenn der Operator auf einem Banach-Raum mit einem kompakten Operator kommutiert, einen nicht-trivialen invarianten Unterraum hat.

1976 wurde der erste Operator auf einem speziellen Banach-Raum ohne invarianten Unterraum von Per Enflo publiziert. Seitdem gab es weitere Beispiele auch auf klassischen Funktionenräumen. Für Hilbert-Räume ist das Problem weiterhin ungelöst.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Peter D. Lax: Functional Analysis. Hrsg.: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-55604-1.
  2. ↑ Isabelle Chalendar, Jonathan R. Partington: An overview of some recent developments on the Invariant Subspace Problem. In: Concrete Operators. Nr. 1, 2012, S. 53–56, doi:10.2478/conop-2012-0001.
  3. V. I. Lomonosov, V. S. Shulman: Invariant Subspaces for Commuting Operators on a Real Banach Space. In: Functional Analysis and Its Applications. Nr. 52, 2018, S. 53–56, doi:10.1007/s10688-018-0207-6.
  4. V.I. Lomonosov: Invariant subspaces of the family of operators that commute with a completely continuous operator. In: Functional Analysis and Its Applications, vol. 7. 1973, S. 213–214, doi:10.1007/BF01080698.
  5. Per Enflo: On the invariant subspace problem for Banach spaces. In: Acta Math. Nr. 158, 1987, S. 213–313, doi:10.1007/BF02392260.
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Das Problem invarianter Unterraume ist eine mathematische Problemstellung aus der Funktionalanalysis Die Fragestellung lautet ob jeder nicht triviale beschrankte und lineare Operator auf einem Banach Raum einen invarianten Unterraum besitzt Ein erstes Gegenbeispiel wurde 1975 von dem schwedischen Mathematiker Per Enflo gefunden Fur Hilbert Raume ist das Problem nach wie vor offen Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung 1 1 Das Problem invarianter Unterraume fur Banach Raume 2 Losungen 2 1 Schlusselergebnisse 3 EinzelnachweiseProblemstellung BearbeitenGrundbegriffe Sei V displaystyle V nbsp ein komplexer Vektorraum und T V V displaystyle operatorname T V to V nbsp ein linearer Operator Ein Unterraum U V displaystyle U subseteq V nbsp ist T displaystyle operatorname T nbsp invariant falls T U U displaystyle operatorname T U subseteq U nbsp das heisst also T u U displaystyle Tu in U nbsp fur alle u U displaystyle u in U nbsp 1 Gilt zusatzlich U V displaystyle U neq V nbsp und U 0 displaystyle U neq 0 nbsp dann ist U displaystyle U nbsp nicht trivial Ein Unterraum U displaystyle U nbsp ist invariant unter der Familie von Operatoren T i i I displaystyle T i i in I nbsp falls U displaystyle U nbsp T i displaystyle T i nbsp invariant fur alle i I displaystyle i in I nbsp ist Ein Unterraum ist hyperinvariant fur T displaystyle T nbsp falls er invariant fur alle Operatoren A displaystyle A nbsp ist die mit T displaystyle T nbsp kommutieren T A A T displaystyle TA AT nbsp Mit B V displaystyle mathcal B V nbsp bezeichnen wir den Raum der beschrankten und linearen Operatoren auf V displaystyle V nbsp Das Problem invarianter Unterraume fur Banach Raume Bearbeiten Sei V displaystyle V nbsp ein komplexer Banach Raum mit dim V 2 displaystyle dim V geq 2 nbsp und T B V displaystyle operatorname T in mathcal B V nbsp Existiert dann ein abgeschlossener nicht trivaler T displaystyle T nbsp invarianter Unterraum 2 Losungen BearbeitenDie Problemstellung lieferte viele Teillosungen die sich in zwei unterschiedliche Gruppen aufteilen lassen 3 Banach Raume auf denen jeder Operator einen invarianten Teilraum besitzt Operatoren ohne invariante Teilraume auf einer grossen Klasse von Funktionenraumen Schlusselergebnisse Bearbeiten 1950 bewies John von Neumann dass jeder kompakte Operator auf einem Hilbert Raum einen nicht trivialen hyperinvarianten Unterraum besitzt 2 1973 publizierte Viktor Lomonossow den Satz von Lomonossow welcher sagt dass wenn der Operator T displaystyle T nbsp auf einem Banach Raum mit einem kompakten Operator A 0 displaystyle A neq 0 nbsp kommutiert T displaystyle T nbsp einen nicht trivialen invarianten Unterraum hat 4 1976 wurde der erste Operator auf einem speziellen Banach Raum ohne invarianten Unterraum von Per Enflo publiziert 5 Seitdem gab es weitere Beispiele auch auf klassischen Funktionenraumen Fur Hilbert Raume ist das Problem weiterhin ungelost Einzelnachweise Bearbeiten Peter D Lax Functional Analysis Hrsg John Wiley amp Sons Inc ISBN 0 471 55604 1 a b Isabelle Chalendar Jonathan R Partington An overview of some recent developments on the Invariant Subspace Problem In Concrete Operators Nr 1 2012 S 53 56 doi 10 2478 conop 2012 0001 V I Lomonosov V S Shulman Invariant Subspaces for Commuting Operators on a Real Banach Space In Functional Analysis and Its Applications Nr 52 2018 S 53 56 doi 10 1007 s10688 018 0207 6 V I Lomonosov Invariant subspaces of the family of operators that commute with a completely continuous operator In Functional Analysis and Its Applications vol 7 1973 S 213 214 doi 10 1007 BF01080698 Per Enflo On the invariant subspace problem for Banach spaces In Acta Math Nr 158 1987 S 213 313 doi 10 1007 BF02392260 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Problem invarianter Unterraume amp oldid 230450569