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Polywürfel Ein oder Polykubus ist ein Körper der aus n displaystyle n zusammenhängenden Würfeln besteht Für kleine n dis

Polywürfel

Ein Polywürfel (oder Polykubus) ist ein Körper, der aus zusammenhängenden Würfeln besteht. Für kleine sind die Bezeichnungen Monowürfel (), Biwürfel (), Triwürfel (), Tetrawürfel (), Pentawürfel (), Hexawürfel (), Heptawürfel (), Oktawürfel () üblich.

Die Anzahl verschiedener Polywürfel wächst mit zunehmender Würfelanzahl sehr schnell: 1, 1, 2, 8, 29, 166, 1023, 6922, 48311, 346543, … (OEIS, A000162). Sie unterteilen sich in die Folge

  • der ebenen (planaren) Polywürfel, welche den Polyominos entsprechen: 1, 1, 2, 5, 12, 35, 108, 369, 1285, 4655, … (OEIS, A000105) und
  • der räumlichen (stereometrischen) Polywürfel: 0, 0, 0, 3, 17, 131, 915, 6553, 47026, 341888, … (OEIS, A006759).

Anwendungen Bearbeiten

Die Polywürfel finden zum einen im Mathematikunterricht der Primar- und Sekundarstufe Verwendung, wo sie hauptsächlich der Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens und zur Untersuchung einfacher Eigenschaften dienen, zum anderen bei geometrischen Spielen wie dem Herzberger Quader, wo der freien und kreativen Gestaltung beim Entwickeln und Erfinden von Formen und Strukturen praktisch keine Grenzen gesetzt sind.

Triwürfel Bearbeiten

Es gibt zwei verschiedene Triwürfel, nämlich die den Triominos entsprechende I- und L-Form.

Aus neun L-förmigen Triwürfeln lässt sich ein (3 × 3 × 3)-Würfel zusammenfügen.

Tetrawürfel Bearbeiten

Die 8 Tetrawürfel: I, L, T, S, Quadrat, Dreibein, linksdrehende Schraube, rechtsdrehende Schraube

Es gibt acht verschiedene Tetrawürfel, nämlich 5 ebene (Tetrominos) und 3 räumliche.

Tetrawürfel Volumen Oberfläche Kantensumme # Ecken # Flächen # Kanten
I 4 18 24 8 6 12
L 4 18 26 12 8 18
L1 4 18 28 15 9 21
L2 4 18 30 17 12 24
L3 4 18 28 15 9 21
N 4 18 28 16 10 24
O 4 16 20 8 6 12
T 4 18 28 16 10 24

Für die ebenen Tetrawürfel gilt der Eulersche Polyedersatz: # Ecken + # Flächen = # Kanten + 2.

Der Somawürfel – ein (3 × 3 × 3)-Würfel – ist aus den sieben irregulären Tri- und Tetrawürfeln, d. h. denjenigen mit einspringender Kante, zusammengesetzt.

Pentawürfel Bearbeiten

Die 29 Pentawürfel

Aus fünf Einheitswürfeln lassen sich insgesamt 29 verschiedene Pentawürfel bilden, nämlich die 12 ebenen (planaren) Pentawürfel, die das räumliche Pendant zu den 12 Pentominos darstellen, sowie die 17 räumlichen (stereometrischen) Pentawürfel, von denen 5 symmetrisch sind und 6 mit je einem entsprechenden Spiegelbild.

Der Mathematiker David A. Klarner fand heraus, dass sich 25 Y-Pentawürfel zu einem (5 × 5 × 5)-Würfel zusammenfügen lassen. Es gibt 1264 verschiedene Lösungen.

Wenn man von den 29 Pentawürfeln die vier weglässt, die in einer Richtung 4 oder 5 Einheitswürfel haben (Pentominoform I, L, N und Y), kann man mit den restlichen 25 Teilen den sogenannten Dorian-Würfel – ein nach dessen Erfinder Joseph Dorrie benannter (5 × 5 × 5)-Würfel – zusammenfügen.

Zwölf Pentawürfel und ein Tetrawürfel die sich zu einem Würfel zusammensetzen lassen

Aus 12 Pentawürfeln und 1 Tetrawürfel kann man den von dem britischen Puzzleerfinder Bruce Bedlam erfundenen Bedlam-Würfel – ein (4 × 4 × 4)-Würfel – bauen. Es gibt 19.186 verschiedene Lösungen.

Ein weiterer (4 × 4 × 4)-Würfel lässt sich aus zehn spiegelbildlich unterschiedlichen (L2, L4, S1, S2, V1) und zwei (L3, T1) Pentawürfeln sowie dem L-Tetrawürfel zusammensetzen.

Das Computerspiel BlockOut basiert auf Polywürfeln vom Monowürfel bis zu Pentawürfeln.

Heptawürfel Bearbeiten

Ein zerlegter und einige zusammengesetzte Diabolische Würfel.

Aus je einem Di-, Tri, Tetra-, Penta-, Hexa- und Heptawürfel lässt sich ein (3 × 3 × 3)-Würfel zusammensetzen, der als „Diabolischer Würfel“ bekannt ist. Es ist eines der ältesten Würfelzerlegungspuzzles und wurde erstmals 1893 von dem Rechtsanwalt Angelo John Lewis (1839–1919) – unter dem Pseudonym Professor Louis Hoffmann – in Puzzles Old and New erwähnt. Es gibt 13 verschiedene Lösungen.

Oktawürfel Bearbeiten

Eine Untergruppe von 261 der 6553 räumlichen Oktawürfel stellen geometrisch gesehen das dreidimensionale Netz eines Tesserakts, also eines vierdimensionalen Hyperwürfels dar, da er durch 8 würfelförmige Zellen begrenzt wird. Künstlerisch ist eine dieser Möglichkeiten durch den spanischen Maler Salvador Dalí in seinem 1954 entstandenen Gemälde Crucifixion (Corpus Hypercubus) verwendet worden.

Literatur Bearbeiten

  • C. J. Bouwkamp: David Klarner's Pentacube Towers. In: David Wolfe; Tom Rodgers (Hgg.): Puzzlers' Tribute. A Feast for the Mind. Natick (MA): A K Peters, 2002, S. 15–18.
  • Solomon W. Golomb: Polyominoes. Puzzles, Patterns, Problems, and Packings. With more than 190 diagrams. Princeton (NJ): University Press, 1994. ISBN 0-691-08573-0.
  • Jean Meeus; Pieter J. Torbijn: Polycubes. Paris: CEDIC, 1977. (Les distracts, Bd. 4.) ISBN 9782712406042.

Verwandte Themen Bearbeiten

  • Polyomino – das zweidimensionale Pendant mit Quadraten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Polycubes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. A000162 Number of 3-dimensional polyominoes (or polycubes) with n cells. The OEIS Foundation, abgerufen am 21. September 2019 (englisch).
  2. Pierre Berloquin: Garten der Sphinx. 150 mathematische Denkspiele. München 1984, S. 54, Nr. 78 (Fehlerfreie Würfel), S. 137 (Lösung).
  3. Chris J. Bouwkamp; David A. Klarner: Packing a Box with Y-Pentacubes. In: Journal of Recreational Mathematics 3 (1970), Nr. 1, S. 10–26.
  4. Chris Bouwkamp: The Cube-Y Problem. In: Cubism For Fun ⟨Nederlandse Kubus Club⟩ 25 (December 1990), Teil 3 (Arresting Arrangements), S. 30–43. (enthält die Liste aller 1264 Lösungen)
  5. Vgl. Scott Kurowski: (Memento vom 9. Januar 2009 im Internet Archive)
  6. Vgl. Stewart T. Coffin: Geometric Puzzle Design. Wellesley (MA): A. K. Peters Ltd., 2016, ISBN 978-1-56881-499-5, S. 45 (The 3 × 3 × 3 Cube). Online unter: The Puzzling World of Polyhedral Dissections., Kap. 3: Cubic Block Puzzles. Oxford University Press 1991.
  7. Vgl. P. D. Turney: Unfolding the tesseract. In: Journal of Recreational Mathematics 17 (1984/85), Nr. 1, S. 1–16.
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Ein Polywurfel oder Polykubus ist ein Korper der aus n displaystyle n zusammenhangenden Wurfeln besteht Fur kleine n displaystyle n sind die Bezeichnungen Monowurfel n 1 displaystyle n 1 Biwurfel n 2 displaystyle n 2 Triwurfel n 3 displaystyle n 3 Tetrawurfel n 4 displaystyle n 4 Pentawurfel n 5 displaystyle n 5 Hexawurfel n 6 displaystyle n 6 Heptawurfel n 7 displaystyle n 7 Oktawurfel n 8 displaystyle n 8 ublich Die Anzahl verschiedener Polywurfel wachst mit zunehmender Wurfelanzahl n 1 displaystyle n geq 1 sehr schnell 1 1 2 8 29 166 1023 6922 48311 346543 OEIS A000162 1 Sie unterteilen sich in die Folge der ebenen planaren Polywurfel welche den Polyominos entsprechen 1 1 2 5 12 35 108 369 1285 4655 OEIS A000105 und der raumlichen stereometrischen Polywurfel 0 0 0 3 17 131 915 6553 47026 341888 OEIS A006759 Inhaltsverzeichnis 1 Anwendungen 1 1 Triwurfel 1 2 Tetrawurfel 1 3 Pentawurfel 1 4 Heptawurfel 1 5 Oktawurfel 2 Literatur 3 Verwandte Themen 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseAnwendungen BearbeitenDie Polywurfel finden zum einen im Mathematikunterricht der Primar und Sekundarstufe Verwendung wo sie hauptsachlich der Schulung des raumlichen Vorstellungsvermogens und zur Untersuchung einfacher Eigenschaften dienen zum anderen bei geometrischen Spielen wie dem Herzberger Quader wo der freien und kreativen Gestaltung beim Entwickeln und Erfinden von Formen und Strukturen praktisch keine Grenzen gesetzt sind Triwurfel Bearbeiten Es gibt zwei verschiedene Triwurfel namlich die den Triominos entsprechende I und L Form Aus neun L formigen Triwurfeln lasst sich ein 3 3 3 Wurfel zusammenfugen 2 Tetrawurfel Bearbeiten nbsp Die 8 Tetrawurfel I L T S Quadrat Dreibein linksdrehende Schraube rechtsdrehende SchraubeEs gibt acht verschiedene Tetrawurfel namlich 5 ebene Tetrominos und 3 raumliche Tetrawurfel Volumen Oberflache Kantensumme Ecken Flachen KantenI 4 18 24 8 6 12L 4 18 26 12 8 18L1 4 18 28 15 9 21L2 4 18 30 17 12 24L3 4 18 28 15 9 21N 4 18 28 16 10 24O 4 16 20 8 6 12T 4 18 28 16 10 24Fur die ebenen Tetrawurfel gilt der Eulersche Polyedersatz Ecken Flachen Kanten 2 Der Somawurfel ein 3 3 3 Wurfel ist aus den sieben irregularen Tri und Tetrawurfeln d h denjenigen mit einspringender Kante zusammengesetzt Pentawurfel Bearbeiten nbsp Die 29 PentawurfelAus funf Einheitswurfeln lassen sich insgesamt 29 verschiedene Pentawurfel bilden namlich die 12 ebenen planaren Pentawurfel die das raumliche Pendant zu den 12 Pentominos darstellen sowie die 17 raumlichen stereometrischen Pentawurfel von denen 5 symmetrisch sind und 6 mit je einem entsprechenden Spiegelbild Der Mathematiker David A Klarner fand heraus dass sich 25 Y Pentawurfel zu einem 5 5 5 Wurfel zusammenfugen lassen Es gibt 1264 verschiedene Losungen 3 4 Wenn man von den 29 Pentawurfeln die vier weglasst die in einer Richtung 4 oder 5 Einheitswurfel haben Pentominoform I L N und Y kann man mit den restlichen 25 Teilen den sogenannten Dorian Wurfel ein nach dessen Erfinder Joseph Dorrie benannter 5 5 5 Wurfel zusammenfugen nbsp Zwolf Pentawurfel und ein Tetrawurfel die sich zu einem Wurfel zusammensetzen lassenAus 12 Pentawurfeln und 1 Tetrawurfel kann man den von dem britischen Puzzleerfinder Bruce Bedlam erfundenen Bedlam Wurfel ein 4 4 4 Wurfel bauen Es gibt 19 186 verschiedene Losungen 5 Ein weiterer 4 4 4 Wurfel lasst sich aus zehn spiegelbildlich unterschiedlichen L2 L4 S1 S2 V1 und zwei L3 T1 Pentawurfeln sowie dem L Tetrawurfel zusammensetzen Das Computerspiel BlockOut basiert auf Polywurfeln vom Monowurfel bis zu Pentawurfeln Heptawurfel Bearbeiten nbsp Ein zerlegter und einige zusammengesetzte Diabolische Wurfel Aus je einem Di Tri Tetra Penta Hexa und Heptawurfel lasst sich ein 3 3 3 Wurfel zusammensetzen der als Diabolischer Wurfel bekannt ist Es ist eines der altesten Wurfelzerlegungspuzzles und wurde erstmals 1893 von dem Rechtsanwalt Angelo John Lewis 1839 1919 unter dem Pseudonym Professor Louis Hoffmann in Puzzles Old and New erwahnt 6 Es gibt 13 verschiedene Losungen Oktawurfel Bearbeiten Eine Untergruppe von 261 der 6553 raumlichen Oktawurfel stellen geometrisch gesehen das dreidimensionale Netz eines Tesserakts also eines vierdimensionalen Hyperwurfels dar da er durch 8 wurfelformige Zellen begrenzt wird 7 Kunstlerisch ist eine dieser Moglichkeiten durch den spanischen Maler Salvador Dali in seinem 1954 entstandenen Gemalde Crucifixion Corpus Hypercubus verwendet worden Literatur BearbeitenC J Bouwkamp David Klarner s Pentacube Towers In David Wolfe Tom Rodgers Hgg Puzzlers Tribute A Feast for the Mind Natick MA A K Peters 2002 S 15 18 Solomon W Golomb Polyominoes Puzzles Patterns Problems and Packings With more than 190 diagrams Princeton NJ University Press 1994 ISBN 0 691 08573 0 Jean Meeus Pieter J Torbijn Polycubes Paris CEDIC 1977 Les distracts Bd 4 ISBN 9782712406042 Verwandte Themen BearbeitenPolyomino das zweidimensionale Pendant mit QuadratenWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Polycubes Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Ronald M Aarts Pentacube MathWorld A Wolfram Web Resource Andrew L Clarke Die Poly Seiten Stewart T Coffin The Puzzling World of Polyhedral Dissections Kap 3 Cubic Block Puzzles Jurgen Koller Tetrawurfel Mathematische Basteleien Torsten Sillke Tiling and packing results Universitat Bielefeld Fakultat fur Mathematik Eric W Weisstein Polycube MathWorld A Wolfram Web Resource Wurfelspielereien Demo Software zum Bedlam Cube Einzelnachweise Bearbeiten A000162 Number of 3 dimensional polyominoes or polycubes with n cells The OEIS Foundation abgerufen am 21 September 2019 englisch Pierre Berloquin Garten der Sphinx 150 mathematische Denkspiele Munchen 1984 S 54 Nr 78 Fehlerfreie Wurfel S 137 Losung Chris J Bouwkamp David A Klarner Packing a Box with Y Pentacubes In Journal of Recreational Mathematics 3 1970 Nr 1 S 10 26 Chris Bouwkamp The Cube Y Problem In Cubism For Fun Nederlandse Kubus Club 25 December 1990 Teil 3 Arresting Arrangements S 30 43 enthalt die Liste aller 1264 Losungen Vgl Scott Kurowski Bedlam Crazee Cube Solved ALL 19 186 Solutions Memento vom 9 Januar 2009 im Internet Archive Vgl Stewart T Coffin Geometric Puzzle Design Wellesley MA A K Peters Ltd 2016 ISBN 978 1 56881 499 5 S 45 The 3 3 3 Cube Online unter The Puzzling World of Polyhedral Dissections Kap 3 Cubic Block Puzzles Oxford University Press 1991 Vgl P D Turney Unfolding the tesseract In Journal of Recreational Mathematics 17 1984 85 Nr 1 S 1 16 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Polywurfel amp oldid 235989437