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Satz von Poincaré Bendixson Das Poincaré Bendixson Theorem ist ein Satz in der Mathematik über das Verhalten von Bahnkur

Satz von Poincaré-Bendixson

Das Poincaré–Bendixson-Theorem ist ein Satz in der Mathematik über das Verhalten von Bahnkurven in zweidimensionalen stetigen dynamischen Systemen. Es ist benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré, der ursprünglich eine schwächere Form des Satzes verfasste, obwohl er keinen vollständigen Beweis kannte, und nach dem schwedischen Mathematiker Ivar Bendixson, der den vollständigen Satz 1901 bewies.

Er macht Aussagen über die Existenz periodischer Orbits bzw. Grenzzyklen in ebenen dynamischen Systemen.

Aussage Bearbeiten

Das Theorem existiert in einigen äquivalenten Formulierungen. Eine allgemeine Version ist die folgende:

Dabei heißt ein Orbit heteroklin, wenn er verschiedene Fixpunkte verbindet und homoklin, wenn er beim selben Fixpunkt beginnt und endet (dieser ist dann ein Sattelpunkt), das heißt, er enthält sowohl eine stabile als auch eine instabile Mannigfaltigkeit des Fixpunkts. Ein Grenzzyklus ist die periodische Bahn eines anderen Punktes, der sich die Bahn von asymptotisch (spiralförmig) annähert.

Eine andere Formulierung des Satzes lautet, dass ein Orbit, der für alle Zeiten in einer geschlossenen, begrenzten Teilmenge R der Ebene bleibt, die keine Fixpunkte enthält, ein periodischer Orbit sein muss oder er nähert sich asymptotisch einem periodischen Orbit (dem Grenzzyklus). Das ist eine eingeschränktere Version als die obige Formulierung. Zum Beispiel folgt nicht, dass die Limesmengen (für ) Grenzzyklen oder Fixpunkte sind, sie können auch wie oben erwähnt Verbindungen aus homoklinen oder heteroklinen Orbits (Bahnen) und Fixpunkten sein. Der Satz schließt im Wesentlichen chaotisches Verhalten wie oben definierter dynamischer Systeme in der Ebene aus.

Man beachte, dass der Satz in höheren Dimensionen falsch ist. Das liegt vor allem an der Anwendung des jordanschen Kurvensatzes im Beweis, der die Ebene in zwei Regionen teilt. Schon in drei Dimensionen kann ein Orbit in einem abgeschlossenen begrenzten Gebiet verlaufen, ohne auf einen Fixpunkt oder periodischen Orbit zu treffen. Dort gibt es zum Beispiel das chaotische Phänomen des seltsamen Attraktors.

Der Satz von Poincaré-Bendixson gilt auch nicht für zweidimensionale Gebiete mit anderer Topologie als der Ebene, zum Beispiel den Torus. Hier kann man relativ einfach quasiperiodische Bewegungen konstruieren. Er gilt auch nicht für zweidimensionale Abbildungen, von denen zum Beispiel die Bäcker-Abbildung stark chaotisches Verhalten zeigt oder für die Hénon-Abbildung, die einen seltsamen Attraktor hat.

Literatur Bearbeiten

  1. Poincaré, H. (1892), „Sur les courbes définies par une équation différentielle“, Oeuvres, 1, Paris
  2. Bendixson, Ivar (1901), „Sur les courbes définies par des équations différentielles“, Acta Mathematica (Springer Netherlands) 24 (1): 1–88, doi:10.1007/BF02403068.
  3. Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).
  4. Poincaré-Bendixson Theorem, W. S. Koon, Caltech, pdf
  5. W. S. Koon, Lectures on periodic orbits, pdf, Caltech 2009
  6. Bäcker-Abbildung, Spektrum Lexikon der Physik

Weblinks Bearbeiten

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Das Poincare Bendixson Theorem ist ein Satz in der Mathematik uber das Verhalten von Bahnkurven in zweidimensionalen stetigen dynamischen Systemen Es ist benannt nach dem franzosischen Mathematiker Henri Poincare der ursprunglich eine schwachere Form des Satzes verfasste 1 obwohl er keinen vollstandigen Beweis kannte und nach dem schwedischen Mathematiker Ivar Bendixson der den vollstandigen Satz 1901 bewies 2 Er macht Aussagen uber die Existenz periodischer Orbits bzw Grenzzyklen in ebenen dynamischen Systemen Aussage BearbeitenDas Theorem existiert in einigen aquivalenten Formulierungen Eine allgemeine Version ist die folgende 3 Gegeben sei ein differenzierbares dynamisches System x f x displaystyle dot vec x f vec x nbsp das auf einer offenen Teilmenge der Ebene definiert ist x R 2 displaystyle vec x in mathbb R 2 nbsp Dann ist jede kompakte w Limesmenge w x displaystyle omega x nbsp die nur endlich viele kritische Punkte enthalt entweder ein kritischer Punkt ein periodischer Orbit oder ein Grenzzyklus oder eine zusammenhangende Menge bestehend aus einer endlichen Anzahl von kritischen Punkten zusammen mit homoklinen bzw heteroklinen Orbits die diese verbinden In diesem Fall gibt es hochstens einen Orbit der verschiedene kritische Punkte in der gleichen Richtung verbindet fur einen kritischen Punkt kann es allerdings mehr als einen homoklinen Orbit geben Dabei heisst ein Orbit heteroklin wenn er verschiedene Fixpunkte verbindet und homoklin wenn er beim selben Fixpunkt beginnt und endet dieser ist dann ein Sattelpunkt das heisst er enthalt sowohl eine stabile als auch eine instabile Mannigfaltigkeit des Fixpunkts Ein Grenzzyklus ist die periodische Bahn eines anderen Punktes der sich die Bahn von x displaystyle x nbsp asymptotisch spiralformig annahert Eine andere Formulierung des Satzes lautet dass ein Orbit der fur alle Zeiten in einer geschlossenen begrenzten Teilmenge R der Ebene bleibt die keine Fixpunkte enthalt ein periodischer Orbit sein muss oder er nahert sich asymptotisch einem periodischen Orbit dem Grenzzyklus 4 Das ist eine eingeschranktere Version als die obige Formulierung Zum Beispiel folgt nicht dass die Limesmengen fur t displaystyle t to infty nbsp Grenzzyklen oder Fixpunkte sind sie konnen auch wie oben erwahnt Verbindungen aus homoklinen oder heteroklinen Orbits Bahnen und Fixpunkten sein Der Satz schliesst im Wesentlichen chaotisches Verhalten wie oben definierter dynamischer Systeme in der Ebene aus 5 Man beachte dass der Satz in hoheren Dimensionen falsch ist Das liegt vor allem an der Anwendung des jordanschen Kurvensatzes im Beweis der die Ebene in zwei Regionen teilt Schon in drei Dimensionen kann ein Orbit in einem abgeschlossenen begrenzten Gebiet verlaufen ohne auf einen Fixpunkt oder periodischen Orbit zu treffen Dort gibt es zum Beispiel das chaotische Phanomen des seltsamen Attraktors Der Satz von Poincare Bendixson gilt auch nicht fur zweidimensionale Gebiete mit anderer Topologie als der Ebene zum Beispiel den Torus Hier kann man relativ einfach quasiperiodische Bewegungen konstruieren Er gilt auch nicht fur zweidimensionale Abbildungen von denen zum Beispiel die Backer Abbildung 6 stark chaotisches Verhalten zeigt oder fur die Henon Abbildung die einen seltsamen Attraktor hat Literatur Bearbeiten Poincare H 1892 Sur les courbes definies par une equation differentielle Oeuvres 1 Paris Bendixson Ivar 1901 Sur les courbes definies par des equations differentielles Acta Mathematica Springer Netherlands 24 1 1 88 doi 10 1007 BF02403068 Gerald Teschl Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems American Mathematical Society Providence 2012 ISBN 978 0 8218 8328 0 freie Onlineversion Poincare Bendixson Theorem W S Koon Caltech pdf W S Koon Lectures on periodic orbits pdf Caltech 2009 Backer Abbildung Spektrum Lexikon der PhysikWeblinks BearbeitenD V Anosov Poincare Bendixson theory In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Poincare Bendixson amp oldid 217499655