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Orthogonale Axonometrie Die orthogonale senkrechte Axonometrie bietet ein relativ einfaches Verfahren um aus zwei zugeor

Orthogonale Axonometrie

Die orthogonale (senkrechte) Axonometrie bietet ein relativ einfaches Verfahren, um aus zwei zugeordneten Rissen (Grund- und Aufriss) eine orthogonale Parallelprojektion eines Objektes herzustellen. Dabei bedient man sich eines Einschneideverfahrens, für das zwar die Bilder der Koordinatenachsen noch (fast) frei gewählt werden können, aber die Orientierungen von Grund- und Aufriss mit dieser Wahl schon fest liegen (s. unten). Die Vorteile einer orthogonalen Axonometrie sind a) gute Bildwirkung, b) frei wählbare Projektionsrichtung, c) Umriss einer Kugel ist ein Kreis d) schnelles Einschneideverfahren: Man muss nicht einzelne Koordinaten verkürzen und antragen. Es genügt, Parallelen zu den Einschneiderichtungen zu zeichnen und zugeordnete Strahlen zu schneiden.

orthogonale Axonometrie: Einschneideverfahren
Beispiel: Haus mit Einschneideverfahren (orth. Axonom.)

Beschreibung des Verfahrens Bearbeiten

Man geht von einem Grundriss in der xy-Ebene und einem Aufriss in der yz-Ebene aus.

  1. Man wähle in der Bildtafel (Zeichenebene) die Bilder der 3 Koordinatenachsen (nicht alle auf einer Gerade).
  2. Auf einer der Achsen, z. B. x-Achse, wählt man einen Punkt als Spurpunkt der Bildtafel, z. B. und konstruiert die Spurpunkte unter Beachtung, dass die Bilder der Koordinatenachsen die Höhen im Spurpunktdreieck sind. (Das Bild des Koordinatenursprungs ist der Höhenschnittpunkt.)
  3. Der Schnitt des Thaleskreises über mit dem Bild der z-Achse liefert den in die Bildtafel hineingedrehten Nullpunkt des Grundrisses. Durch Herausziehen des Umgeklappten Grundrisses in Richtung des Bildes der z-Achse (1. Einschneiderichtung) ergibt sich die Lage des Grundrisses für das anschließende Einschneideverfahren.
  4. Analog verfährt man, um die Lage des Aufrisses für das Einschneideverfahren zu bestimmen.
  5. Durchführung des Einschneideverfahrens.

Begründung des Verfahrens Bearbeiten

orthogonale Axonometrie: Lage des Grundrisses f. d. Einschneideverfahren

Eine orthogonale Parallelprojektion ist durch Angabe der Projektionsrichtung eindeutig bestimmt. Die Bildtafel ist senkrecht zur Projektionsrichtung und kann entlang der Projektionsrichtung beliebig verschoben werden. Um ein anschauliches Bild von dem räumlichen Objekt zu erhalten, wählt man eine Projektionsrichtung nicht parallel zu einer der Koordinatenachsen. Also schneiden die 3 Koordinatenachsen die Bildtafel in Spurpunkten , dem Spurpunktdreieck. Mit der Wahl eines Spurpunktes liegen die restlichen beiden fest. Die Bilder der Koordinatenachsen sind die Höhen des Spurpunktdreiecks und das Bild des Koordinatenursprungs der Schnittpunkt dieser Höhen. Beim Umklappen der Grundrissebene (xy-Ebene) um die Spurgerade bewegt sich das Bild des Nullpunktes auf der -Achse in den Punkt . Die Spurpunkte bleiben bei dem Drehvorgang unverändert. Also ist die Gerade durch die in die Bildtafel geklappte x-Achse. Analog erhält man die umgeklappte y-Achse und damit die unverzerrte Grundrissebene (xy-Ebene). Um das zu zeichnende Bild nicht zu stören, zieht man den Grundriss in Richtung der -Achse nach unten. Analog verfährt man mit dem Aufriss (yz-Ebene). Die für das Einschneideverfahren wichtigen Einschneiderichtungen sind die Richtungen der -Achse und -Achse.

Kugel und Kreis Bearbeiten

Ellipse: Punkt-Konstruktion mit Hilfe der Scheitelkreise
orthogonale Axonometrie: Kugel und Zylinder

Kugeln sind in orthogonaler Axonometrie besonders leicht abzubilden: Der Umriss einer Kugel ist ein Kreis mit dem Radius der Kugel. Um eine Kugel abzubilden, muss also nur das Bild des Mittelpunktes der Kugel bestimmt und dann der Umrisskreis gezeichnet werden. In einer schiefen Parallelprojektion ist der Umriss einer Kugel immer eine Ellipse, deren Achsen erst mühsam bestimmt werden müssen.

Die Parallelprojektion eines Kreises, der zur Bildtafel parallel ist, ist ein unverzerrter Kreis. In jedem anderen Fall wird ein Kreis auf eine Ellipse abgebildet, deren Mittelpunkt das Bild des Kreismittelpunktes ist. Die Richtungen der Hauptachsen und die Größe der Halbachsen müssen i. a. mit der Rytz-Konstruktion bestimmt werden.

Bei einer orthogonalen Parallelprojektion wird derjenige Durchmesser eines Kreises, der parallel zur Bildtafel ist, unverzerrt auf die große Hauptachse der Bildellipse abgebildet. D. h. Mittelpunkt, die Hauptachsenrichtungen und die große Halbachse (= Kreisradius) sind im Bild bekannt. Die Größe der kleinen Halbachse ermittelt man gemäß der Abbildung „Ellipse: Punkt-Konstruktion mit Hilfe der Scheitelkreise“, indem man die Kenntnis der großen Hauptachse und eines Ellipsenpunktes voraussetzt. Im Beispiel sind Boden- und Deckelkreise eines Zylinders parallel zur xy-Ebene. Geraden der xy-Ebene, die parallel zur Bildtafel sind, sind alle parallel zur Spurgerade . Also wird der Durchmesser des Bodenkreises, der parallel zu dieser Spurgerade ist, unverzerrt abgebildet. Als Ellipsenpunkt zur Konstruktion der kleinen Halbachse wird hier der Kreispunkt auf der x-Achse verwendet. Das Bild des Deckelkreises des Zylinders ist das Bild des Bodenkreises in den Deckel verschoben.

Alternative Vorgaben Bearbeiten

orthogonale Axonometrie: Vorgabe der Projektionsrichtung

Statt der oben angegebenen Vorgabe der Achsenbilder kann man auch

  • das Spurpunktdreieck vorgeben. Die Achsenbilder sind dann die Höhen dieses Dreiecks und das Bild des Koordinatenursprungs ist der Höhenschnittpunkt.
  • die Projektionsrichtung in Grund- und Aufriss vorgeben (s. Bild). Zur Konstruktion des Spurpunktdreiecks wählt man einen beliebigen Punkt der x-Achse als . Da die Spur senkrecht zu verlaufen muss, ergibt sich als Schnittpunkt des Lotes von auf mit der y-Achse im Grundriss. Mit dem analogen Argument im Aufriss findet man (s. Bild). Die Längen der Seiten und erkennt man im Grund- bzw. Aufriss. Die Länge von ergibt sich durch Paralleldrehen zur Aufrissebene (s. wahre Länge). Damit sind alle Seitenlängen des Spurpunktdreiecks bekannt und das Dreieck kann gezeichnet werden. (Die Zahlen in der Zeichnung geben die Reihenfolge der Konstruktionsschritte an.)

Umkehrung des Verfahrens Bearbeiten

Geht man von einem Bild in orthogonaler Parallelprojektion aus, bei dem die Bilder der Achsen erkennbar sind, so lässt sich die Umkehrung des obigen Einschneideverfahrens dazu benutzen, um Grund- und Aufriss zu rekonstruieren. Auch die Projektions-Richtung ist in der Rekonstruktion zu erkennen.

Beispiel: Rekonstruktion eines Aufrisses

Rekonstruktion eines Aufrisses eines in orthogonaler Axonometrie gegebenen Kreuzgewölbes. (rot: Spurdreieck)

Gegeben: orthogonale Axonometrie eines Kreuzgewölbes.

Gesucht: ein Aufriss, um die wahren Maße festzustellen.

Lösungsschritte:

  1. Wahl eines Spurpunktes: hier der Mittelpunkt des rechten Randkreises.
  2. Vervollständigung des Spurdreiecks (rot, s. o.)
  3. Herausziehen des rechten Aufrisses: a) Parallele zur rechten Dreiecksseite, zugehörige Spurpunkte, Thaleskreis. b) Schnitt des Thaleskreises mit der zugehörigen Einschneidegerade durch den Ursprung. c) Zeichnen der Aufrissachsen.
  4. Rekonstruktion wesentlicher Punkte (s. Zeichnung).

Mögliche Verkürzungen Bearbeiten

Bei einer orthogonalen Axonometrie können, im Gegensatz zu einer allgemeinen Axonometrie, nicht beliebige Verkürzungen auftreten. Man sieht leicht ein (siehe oben), dass alle Verkürzungen kleiner oder gleich sind. Aber nicht beliebige drei Zahlen kleiner oder gleich können als Verkürzungen auftreten. Um festzustellen, welche Tripel möglich sind, werden die Verkürzungen für eine beliebige orthogonale Axonometrie bestimmt:

Die Bildtafel möge den Nullpunkt des Koordinatensystems enthalten und die negative Projektionsrichtung (Einheitsnormale der Bildebene) werde durch den Ortsvektor eines Punktes auf der Einheitskugel beschrieben. Die Projektion lässt sich alo so beschreiben:

Die Winkel kann man sich als geographische Länge bzw. Breite vorstellen. Die Normalenvektoren liegen im 1. Oktanten der Einheitskugel.

Orthogonale Axonometrie: mögliche Verkürzungen sind die Koordinaten der blauen Kugelpunkte
Bilder der Achsen und Basisvektoren
(hier: für ist )

Die Bilder der Basisvektoren sind:

Deren Längen sind die axonometrischen Verkürzungen:

Hieraus ergibt sich

Es sind also nur solche Verkürzungen möglich, die Koordinaten von Punkten der Kugel sind und dort innerhalb des durch beschriebenen Kreisdreiecks liegen (siehe Bild).

Um die Winkel zwischen den Bildern des 1. und 3. bzw. 2. und 3. Basisvektors zu bestimmen, benötigt man

Es ist

Ingenieuraxonometrie Bearbeiten

Für die Ingenieuraxonometrie ist .
Einsetzen in die Kugelgleichung liefert und daraus

Aus folgt

Aus und ergibt sich und . Also ist

Um die für die Ingenieuraxonometrie üblichen Verkürzungen zu erreichen, muss man an die orthogonale Projektion noch eine Skalierung mit dem Faktor anschließen. (Eine Skalierung ändert die Winkel nicht.)

Isometrie Bearbeiten

Für eine Isometrie gilt . Einsetzen in die Kugelgleichung liefert

Setzt man dieses Ergebnis in die Gleichungen für die Verkürzungen ein, erhält man zunächst und damit . Die Projektionswinkel sind

Damit ist

Die Standard-Isometrie mit ergibt sich, wenn man die orthogonale Projektion mit einer Skalierung mit dem Faktor kombiniert.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. E. L. Stiefel: Lehrbuch der Darstellenden Geometrie. Springer-Verlag, Basel 1947, ISBN 978-3-0348-4098-9, S. 40.

Literatur Bearbeiten

  • Fucke, Kirch, Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4
  • Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die orthogonale senkrechte Axonometrie bietet ein relativ einfaches Verfahren um aus zwei zugeordneten Rissen Grund und Aufriss eine orthogonale Parallelprojektion eines Objektes herzustellen Dabei bedient man sich eines Einschneideverfahrens fur das zwar die Bilder der Koordinatenachsen noch fast frei gewahlt werden konnen aber die Orientierungen von Grund und Aufriss mit dieser Wahl schon fest liegen s unten Die Vorteile einer orthogonalen Axonometrie sind a gute Bildwirkung b frei wahlbare Projektionsrichtung c Umriss einer Kugel ist ein Kreis d schnelles Einschneideverfahren Man muss nicht einzelne Koordinaten verkurzen und antragen Es genugt Parallelen zu den Einschneiderichtungen zu zeichnen und zugeordnete Strahlen zu schneiden orthogonale Axonometrie EinschneideverfahrenBeispiel Haus mit Einschneideverfahren orth Axonom Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung des Verfahrens 2 Begrundung des Verfahrens 3 Kugel und Kreis 4 Alternative Vorgaben 5 Umkehrung des Verfahrens 6 Mogliche Verkurzungen 6 1 Ingenieuraxonometrie 6 2 Isometrie 7 Einzelnachweise 8 Literatur 9 WeblinksBeschreibung des Verfahrens BearbeitenMan geht von einem Grundriss in der xy Ebene und einem Aufriss in der yz Ebene aus Man wahle in der Bildtafel Zeichenebene die Bilder der 3 Koordinatenachsen nicht alle auf einer Gerade Auf einer der Achsen z B x Achse wahlt man einen Punkt als Spurpunkt der Bildtafel z B S x displaystyle S x nbsp und konstruiert die Spurpunkte S y S z displaystyle S y S z nbsp unter Beachtung dass die Bilder der Koordinatenachsen die Hohen im Spurpunktdreieck sind Das Bild des Koordinatenursprungs ist der Hohenschnittpunkt Der Schnitt des Thaleskreises uber S x S y displaystyle S x S y nbsp mit dem Bild der z Achse liefert den in die Bildtafel hineingedrehten Nullpunkt O displaystyle tilde O nbsp des Grundrisses Durch Herausziehen des Umgeklappten Grundrisses in Richtung des Bildes der z Achse 1 Einschneiderichtung ergibt sich die Lage des Grundrisses fur das anschliessende Einschneideverfahren Analog verfahrt man um die Lage des Aufrisses fur das Einschneideverfahren zu bestimmen Durchfuhrung des Einschneideverfahrens Begrundung des Verfahrens Bearbeiten nbsp orthogonale Axonometrie Lage des Grundrisses f d EinschneideverfahrenEine orthogonale Parallelprojektion ist durch Angabe der Projektionsrichtung p displaystyle mathbf p nbsp eindeutig bestimmt Die Bildtafel ist senkrecht zur Projektionsrichtung und kann entlang der Projektionsrichtung beliebig verschoben werden Um ein anschauliches Bild von dem raumlichen Objekt zu erhalten wahlt man eine Projektionsrichtung nicht parallel zu einer der Koordinatenachsen Also schneiden die 3 Koordinatenachsen die Bildtafel in Spurpunkten S x S y S z displaystyle S x S y S z nbsp dem Spurpunktdreieck Mit der Wahl eines Spurpunktes liegen die restlichen beiden fest Die Bilder der Koordinatenachsen sind die Hohen des Spurpunktdreiecks und das Bild des Koordinatenursprungs der Schnittpunkt dieser Hohen Beim Umklappen der Grundrissebene xy Ebene um die Spurgerade S x S y displaystyle S x S y nbsp bewegt sich das Bild des Nullpunktes O displaystyle overline O nbsp auf der z displaystyle overline z nbsp Achse in den Punkt O displaystyle tilde O nbsp Die Spurpunkte S x S y displaystyle S x S y nbsp bleiben bei dem Drehvorgang unverandert Also ist die Gerade durch S x O displaystyle S x tilde O nbsp die in die Bildtafel geklappte x Achse Analog erhalt man die umgeklappte y Achse und damit die unverzerrte Grundrissebene xy Ebene Um das zu zeichnende Bild nicht zu storen zieht man den Grundriss in Richtung der z displaystyle overline z nbsp Achse nach unten Analog verfahrt man mit dem Aufriss yz Ebene Die fur das Einschneideverfahren wichtigen Einschneiderichtungen sind die Richtungen der z displaystyle overline z nbsp Achse und x displaystyle overline x nbsp Achse Kugel und Kreis Bearbeiten nbsp Ellipse Punkt Konstruktion mit Hilfe der Scheitelkreise nbsp orthogonale Axonometrie Kugel und ZylinderKugeln sind in orthogonaler Axonometrie besonders leicht abzubilden Der Umriss einer Kugel ist ein Kreis mit dem Radius der Kugel Um eine Kugel abzubilden muss also nur das Bild des Mittelpunktes der Kugel bestimmt und dann der Umrisskreis gezeichnet werden In einer schiefen Parallelprojektion ist der Umriss einer Kugel immer eine Ellipse deren Achsen erst muhsam bestimmt werden mussen Die Parallelprojektion eines Kreises der zur Bildtafel parallel ist ist ein unverzerrter Kreis In jedem anderen Fall wird ein Kreis auf eine Ellipse abgebildet deren Mittelpunkt das Bild des Kreismittelpunktes ist Die Richtungen der Hauptachsen und die Grosse der Halbachsen mussen i a mit der Rytz Konstruktion bestimmt werden Bei einer orthogonalen Parallelprojektion wird derjenige Durchmesser eines Kreises der parallel zur Bildtafel ist unverzerrt auf die grosse Hauptachse der Bildellipse abgebildet D h Mittelpunkt die Hauptachsenrichtungen und die grosse Halbachse Kreisradius sind im Bild bekannt Die Grosse der kleinen Halbachse ermittelt man gemass der Abbildung Ellipse Punkt Konstruktion mit Hilfe der Scheitelkreise indem man die Kenntnis der grossen Hauptachse und eines Ellipsenpunktes voraussetzt Im Beispiel sind Boden und Deckelkreise eines Zylinders parallel zur xy Ebene Geraden der xy Ebene die parallel zur Bildtafel sind sind alle parallel zur Spurgerade S x S y displaystyle S x S y nbsp Also wird der Durchmesser des Bodenkreises der parallel zu dieser Spurgerade ist unverzerrt abgebildet Als Ellipsenpunkt zur Konstruktion der kleinen Halbachse wird hier der Kreispunkt auf der x Achse verwendet Das Bild des Deckelkreises des Zylinders ist das Bild des Bodenkreises in den Deckel verschoben Alternative Vorgaben Bearbeiten nbsp orthogonale Axonometrie Vorgabe der ProjektionsrichtungStatt der oben angegebenen Vorgabe der Achsenbilder kann man auch das Spurpunktdreieck vorgeben Die Achsenbilder sind dann die Hohen dieses Dreiecks und das Bild des Koordinatenursprungs ist der Hohenschnittpunkt die Projektionsrichtung p displaystyle mathbf p nbsp in Grund und Aufriss vorgeben s Bild Zur Konstruktion des Spurpunktdreiecks wahlt man einen beliebigen Punkt der x Achse als S x displaystyle S x nbsp Da die Spur S x S y displaystyle S x S y nbsp senkrecht zu p displaystyle mathbf p nbsp verlaufen muss ergibt sich S y displaystyle S y nbsp als Schnittpunkt des Lotes von S x displaystyle S x nbsp auf p displaystyle mathbf p nbsp mit der y Achse im Grundriss Mit dem analogen Argument im Aufriss findet man S z displaystyle S z nbsp s Bild Die Langen der Seiten S x S y displaystyle S x S y nbsp und S y S z displaystyle S y S z nbsp erkennt man im Grund bzw Aufriss Die Lange von S x S z displaystyle S x S z nbsp ergibt sich durch Paralleldrehen zur Aufrissebene s wahre Lange Damit sind alle Seitenlangen des Spurpunktdreiecks bekannt und das Dreieck kann gezeichnet werden Die Zahlen in der Zeichnung geben die Reihenfolge der Konstruktionsschritte an Umkehrung des Verfahrens BearbeitenGeht man von einem Bild in orthogonaler Parallelprojektion aus bei dem die Bilder der Achsen erkennbar sind so lasst sich die Umkehrung des obigen Einschneideverfahrens dazu benutzen um Grund und Aufriss zu rekonstruieren Auch die Projektions Richtung ist in der Rekonstruktion zu erkennen Beispiel Rekonstruktion eines Aufrisses nbsp Rekonstruktion eines Aufrisses eines in orthogonaler Axonometrie gegebenen Kreuzgewolbes rot Spurdreieck Gegeben orthogonale Axonometrie eines Kreuzgewolbes Gesucht ein Aufriss um die wahren Masse festzustellen Losungsschritte Wahl eines Spurpunktes hier der Mittelpunkt des rechten Randkreises Vervollstandigung des Spurdreiecks rot s o Herausziehen des rechten Aufrisses a Parallele zur rechten Dreiecksseite zugehorige Spurpunkte Thaleskreis b Schnitt des Thaleskreises mit der zugehorigen Einschneidegerade durch den Ursprung c Zeichnen der Aufrissachsen Rekonstruktion wesentlicher Punkte s Zeichnung Mogliche Verkurzungen BearbeitenBei einer orthogonalen Axonometrie konnen im Gegensatz zu einer allgemeinen Axonometrie nicht beliebige Verkurzungen v x v y v z displaystyle v x v y v z nbsp auftreten Man sieht leicht ein siehe oben dass alle Verkurzungen kleiner oder gleich 1 displaystyle 1 nbsp sind Aber nicht beliebige drei Zahlen kleiner oder gleich 1 displaystyle 1 nbsp konnen als Verkurzungen auftreten Um festzustellen welche Tripel moglich sind werden die Verkurzungen fur eine beliebige orthogonale Axonometrie bestimmt Die Bildtafel moge den Nullpunkt des Koordinatensystems enthalten und die negative Projektionsrichtung n displaystyle vec n nbsp Einheitsnormale der Bildebene werde durch den Ortsvektor eines Punktes auf der Einheitskugel beschrieben Die Projektion lasst sich alo so beschreiben x x x n n displaystyle vec x rightarrow vec x vec x cdot vec n vec n quad nbsp mit n cos u cos v sin u cos v sin v T 0 u v p 2 displaystyle vec n cos u cos v sin u cos v sin v T quad 0 leq u v leq pi 2 nbsp Die Winkel u v displaystyle u v nbsp kann man sich als geographische Lange bzw Breite vorstellen Die Normalenvektoren liegen im 1 Oktanten der Einheitskugel nbsp Orthogonale Axonometrie mogliche Verkurzungen sind die Koordinaten der blauen Kugelpunkte nbsp Bilder der Achsen und Basisvektoren hier fur u v 30 displaystyle u v 30 circ nbsp ist a 131 b 106 displaystyle alpha 131 circ beta 106 circ nbsp Die Bilder der Basisvektoren e 1 1 0 0 T e 2 0 1 0 T e 3 0 0 1 T displaystyle vec e 1 1 0 0 T vec e 2 0 1 0 T vec e 3 0 0 1 T nbsp sind f i e i e i n n i 1 2 3 displaystyle vec f i vec e i vec e i cdot vec n vec n i 1 2 3 nbsp Deren Langen e i e i n n 2 1 e i n 2 displaystyle sqrt vec e i vec e i cdot vec n vec n 2 sqrt 1 e i cdot vec n 2 nbsp sind die axonometrischen Verkurzungen v x 1 cos u cos v 2 v y 1 sin u cos v 2 v z cos v displaystyle v x sqrt 1 cos u cos v 2 quad v y sqrt 1 sin u cos v 2 quad v z cos v nbsp Hieraus ergibt sich 1 v x 2 v y 2 v z 2 2 v x v y v z 1 displaystyle v x 2 v y 2 v z 2 2 quad v x v y v z leq 1 nbsp Es sind also nur solche Verkurzungen moglich die Koordinaten von Punkten der Kugel x 2 y 2 z 2 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 2 nbsp sind und dort innerhalb des durch x 1 y 1 z 1 displaystyle x 1 y 1 z 1 nbsp beschriebenen Kreisdreiecks liegen siehe Bild Um die Winkel a b displaystyle alpha beta nbsp zwischen den Bildern des 1 und 3 bzw 2 und 3 Basisvektors zu bestimmen benotigt man f i f k e i n e k n i k displaystyle vec f i cdot vec f k vec e i cdot vec n vec e k cdot vec n quad i neq k nbsp Es ist cos a e 1 n e 3 n v x v z cos u sin v 1 cos u cos v 2 displaystyle cos alpha frac vec e 1 cdot vec n vec e 3 cdot vec n v x v z frac cos u sin v sqrt 1 cos u cos v 2 nbsp cos b e 2 n e 3 n v y v z sin u sin v 1 sin u cos v 2 displaystyle cos beta frac vec e 2 cdot vec n vec e 3 cdot vec n v y v z frac sin u sin v sqrt 1 sin u cos v 2 nbsp Ingenieuraxonometrie Bearbeiten Fur die Ingenieuraxonometrie ist v y v z 2 v x displaystyle v y v z 2v x nbsp Einsetzen in die Kugelgleichung liefert v z 2 4 v z 2 v z 2 2 displaystyle tfrac v z 2 4 v z 2 v z 2 2 nbsp und daraus v z 2 2 3 v y v x 2 3 displaystyle v z frac 2 sqrt 2 3 v y quad v x frac sqrt 2 3 nbsp Aus v z 2 2 3 cos v displaystyle v z tfrac 2 sqrt 2 3 cos v nbsp folgt v 19 47 displaystyle v 19 47 circ nbsp Aus 8 9 v y 2 1 sin u cos v 2 displaystyle tfrac 8 9 v y 2 1 sin u cos v 2 nbsp und cos 2 v 8 9 displaystyle cos 2 v tfrac 8 9 nbsp ergibt sich sin 2 u 1 8 displaystyle sin 2 u tfrac 1 8 nbsp und u 20 7 displaystyle u 20 7 circ nbsp Also ist n 7 3 1 3 1 3 T displaystyle vec n tfrac sqrt 7 3 tfrac 1 3 tfrac 1 3 T nbsp f 1 1 9 2 7 7 T f 2 1 9 7 8 1 T f 3 1 9 7 1 8 T displaystyle vec f 1 frac 1 9 2 sqrt 7 sqrt 7 T quad vec f 2 frac 1 9 sqrt 7 8 1 T quad vec f 3 frac 1 9 sqrt 7 1 8 T nbsp cos a 7 4 a 131 41 displaystyle cos alpha frac sqrt 7 4 quad to quad alpha 131 41 circ quad nbsp cos b 1 8 b 97 18 displaystyle cos beta frac 1 8 qquad to quad beta 97 18 circ quad nbsp Um die fur die Ingenieuraxonometrie ublichen Verkurzungen v x 0 5 v y v z 1 displaystyle v x 0 5 v y v z 1 nbsp zu erreichen muss man an die orthogonale Projektion noch eine Skalierung mit dem Faktor 3 2 2 1 06 displaystyle tfrac 3 2 sqrt 2 1 06 nbsp anschliessen Eine Skalierung andert die Winkel u v displaystyle u v nbsp nicht Isometrie Bearbeiten Fur eine Isometrie gilt v x v y v z displaystyle v x v y v z nbsp Einsetzen in die Kugelgleichung liefert v x v y v z 2 3 displaystyle v x v y v z sqrt tfrac 2 3 nbsp Setzt man dieses Ergebnis in die Gleichungen fur die Verkurzungen ein erhalt man zunachst cos v 2 3 displaystyle cos v sqrt tfrac 2 3 nbsp und damit cos u 1 2 displaystyle cos u tfrac 1 sqrt 2 nbsp Die Projektionswinkel sind u 45 v 35 26 displaystyle u 45 circ v 35 26 circ nbsp Damit ist n 1 3 1 1 1 displaystyle vec n frac 1 sqrt 3 1 1 1 nbsp f 1 1 3 2 1 1 f 2 1 3 1 2 1 f 3 1 3 1 1 2 displaystyle vec f 1 frac 1 3 2 1 1 vec f 2 frac 1 3 1 2 1 vec f 3 frac 1 3 1 1 2 nbsp und a b 120 displaystyle alpha beta 120 circ nbsp Die Standard Isometrie mit v x v y v z 1 displaystyle v x v y v z 1 nbsp ergibt sich wenn man die orthogonale Projektion mit einer Skalierung mit dem Faktor 3 2 1 22 displaystyle sqrt tfrac 3 2 1 22 nbsp kombiniert Einzelnachweise Bearbeiten E L Stiefel Lehrbuch der Darstellenden Geometrie Springer Verlag Basel 1947 ISBN 978 3 0348 4098 9 S 40 Literatur BearbeitenFucke Kirch Nickel Darstellende Geometrie Fachbuch Verlag Leipzig 1998 ISBN 3 446 00778 4 Cornelie Leopold Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung Verlag W Kohlhammer Stuttgart 2005 ISBN 3 17 018489 XWeblinks BearbeitenNormale orthogonale Axonometrie mit einfachen Beispielen Darstellende Geometrie fur Architekten PDF 1 5 MB Skript Uni Darmstadt S 42 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Orthogonale Axonometrie amp oldid 222389844