Ordnungsvollständigkeit ist ein Begriff aus der Algebra, speziell der Körpertheorie, der aber für beliebige geordnete Mengen definiert werden kann. Der Begriff der Ordnungsvollständigkeit erweist sich in der Ordnungstopologie für nicht zu „große“ geordnete Mengen als verwandt mit dem Begriff der Vollständigkeit in metrischen Räumen.
Definition Bearbeiten
Eine Ordnung auf heißt ordnungsvollständig, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:
Zusammenhang zur metrischen Vollständigkeit Bearbeiten
Ist die Ordnungstopologie auf metrisierbar, dann ist die Ordnung genau dann ordnungsvollständig, wenn vollständig metrisierbar ist, d. h. wenn es eine Metrik auf gibt, die die Ordnungstopologie erzeugt und zu einem vollständigen metrischen Raum macht.
Ordnungsvollständige Körper Bearbeiten
Der Begriff der Ordnungsvollständigkeit ist insbesondere in der Theorie der geordneten Körper von Bedeutung. Er ermöglicht die folgende Charakterisierung des Körpers der reellen Zahlen:
Literatur Bearbeiten
- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I. Springer, 3-te Auflage, 2006, ISBN 9783764377564, S. 98
- Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. Springer, 2012, ISBN 9783642286452, S. 316–320
- A. H. Lightstone: Linear Algebra. Appleton-Century-Crofts, 1969 S. 178-180
Weblinks Bearbeiten
- R: Verfürth: Analysis I. Skript, Ruhr-Universität Bochum, S. 35–42, insbesondere 42
- The Complete Ordered Field: The Real Numbers
- John J. O'Connor: Axioms for the Real numbers - Kapitel eines Analysis-Spripts der University of St Andrews
Einzelnachweise Bearbeiten
- K.-U. Bux: Analysis I, Satz 8.4
- D. Lenz: Analysis I, Kapitel 2.4