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Modell für beschleunigte Ausfallzeiten In der Medizinstatistik und dort insbesondere in der überlebenszeitanalyse ist da

Modell für beschleunigte Ausfallzeiten

In der Medizinstatistik und dort insbesondere in der Überlebenszeitanalyse ist das Modell für beschleunigte Ausfallzeiten, auch Modell der beschleunigten Überlebenszeiten genannt ein parametrisches Modell, das durch logarithmische Transformation linearisiert werden kann und eine Alternative zum häufig verwendeten proportionalen Hazardmodell darstellt.

Einführung in die Problemstellung Bearbeiten

Es wird oft behauptet, dass ein Hundejahr sieben Menschenjahren entspricht. Seien und die Überlebensfunktionen für Menschen (M) und Hunde (H), und sei weiterhin angenommen, dass Hunde etwa 7-mal schneller altern als Menschen, dann gilt

Dabei wird der Faktor als Beschleunigungfaktor bezeichnet. Im Allgemeinen gilt

Hierbei bedeutet einen Vorteil und einen Nachteil bzgl. der Lebensdauer.

Modelldarstellungen Bearbeiten

Sei die Zeit bis zum Eintritt eines Ereignisses (z. B. der Tod) und sei ein Vektor von zeitkonstanten erklärenden Variablen. Das Modell der beschleunigten Überlebenszeiten besagt, dass die Überlebensfunktion eines Individuums mit dem Vektor der erklärenden Variablen zum Zeitpunkt dieselbe ist wie die Überlebensfunktion eines Individuums mit einer Basisüberlebensfunktion zum Zeitpunkt , wobei ein Vektor von Regressionsparametern ist. Anders ausgedrückt ist das Modell der beschleunigten (verzögerten) Überlebenszeiten gegeben durch die Beziehung

Der Faktor wird Beschleunigungfaktor genannt und gibt dem Anwender Auskunft darüber, wie eine Änderung in der erklärenden Variablen die Zeitskala in Bezug zur Basiszeitskala ändert. Eine Implikation dieses Modells ist, dass die Hazardrate für eine Person mit dem Vektor der erklärenden Variablen mit einer Hazardrate in Beziehung zur Basis-Hazardrate steht durch

Eine weitere Implikation ist, dass die mediane Überlebenszeit mit dem Vektor der erklärenden Variablen gleich der medianen Basis-Überlebenszeit dividiert durch den Beschleunigungfaktor ist.

Die zweite Darstellung der Beziehung zwischen den Werten der erklärenden Variablen und Überlebenszeit ist die lineare Beziehung zwischen der logarithmischen Überlebenszeit und den Werten der erklärenden Variablen. Hier geht man von dem folgenden loglinearen Ansatz aus:

wobei ein Vektor von Regressionsparametern ist und die Verteilung der Störgröße darstellt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. International Statistical Institute: Glossary of statistical terms.
  2. Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 900
  3. Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 899
  4. Dietz, K., et al.: Statistics for Biology and Health. Survival Analysis, Edition Springer 7 (2002), S. 394
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In der Medizinstatistik und dort insbesondere in der Uberlebenszeitanalyse ist das Modell fur beschleunigte Ausfallzeiten 1 auch Modell der beschleunigten Uberlebenszeiten 2 genannt ein parametrisches Modell das durch logarithmische Transformation linearisiert werden kann und eine Alternative zum haufig verwendeten proportionalen Hazardmodell darstellt Einfuhrung in die Problemstellung BearbeitenEs wird oft behauptet dass ein Hundejahr sieben Menschenjahren entspricht Seien S M t displaystyle S M t nbsp und S H t displaystyle S H t nbsp die Uberlebensfunktionen fur Menschen M und Hunde H und sei weiterhin angenommen dass Hunde etwa 7 mal schneller altern als Menschen dann gilt 3 S H t S M 7 t displaystyle S H t S M 7t nbsp Dabei wird der Faktor g 7 displaystyle gamma 7 nbsp als Beschleunigungfaktor bezeichnet Im Allgemeinen gilt S 1 t S 2 g t displaystyle S 1 t S 2 gamma t nbsp bzw g T 1 T 2 displaystyle gamma T 1 T 2 nbsp Hierbei bedeutet g gt 1 displaystyle gamma gt 1 nbsp einen Vorteil und g lt 1 displaystyle gamma lt 1 nbsp einen Nachteil bzgl der Lebensdauer Modelldarstellungen BearbeitenSei T displaystyle T nbsp die Zeit bis zum Eintritt eines Ereignisses z B der Tod und sei Z displaystyle mathbf Z nbsp ein Vektor von zeitkonstanten erklarenden Variablen Das Modell der beschleunigten Uberlebenszeiten besagt dass die Uberlebensfunktion eines Individuums mit dem Vektor der erklarenden Variablen Z displaystyle mathbf Z nbsp zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp dieselbe ist wie die Uberlebensfunktion eines Individuums mit einer Basisuberlebensfunktion zum Zeitpunkt t exp 8 Z displaystyle t cdot exp boldsymbol theta top mathbf Z nbsp wobei 8 8 1 8 2 8 k displaystyle boldsymbol theta top theta 1 theta 2 ldots theta k nbsp ein Vektor von Regressionsparametern ist Anders ausgedruckt ist das Modell der beschleunigten verzogerten Uberlebenszeiten gegeben durch die Beziehung 4 S t Z S 0 exp 8 Z t f u r alle t displaystyle S t mid mathbf Z S 0 exp boldsymbol theta top mathbf Z t quad mathrm f ddot u r text alle t nbsp Der Faktor exp 8 Z displaystyle exp boldsymbol theta top mathbf Z nbsp wird Beschleunigungfaktor genannt und gibt dem Anwender Auskunft daruber wie eine Anderung in der erklarenden Variablen die Zeitskala in Bezug zur Basiszeitskala andert Eine Implikation dieses Modells ist dass die Hazardrate fur eine Person mit dem Vektor der erklarenden Variablen Z displaystyle mathbf Z nbsp mit einer Hazardrate in Beziehung zur Basis Hazardrate steht durch h t Z exp 8 Z h 0 exp 8 Z t f u r alle t displaystyle h t mid mathbf Z exp boldsymbol theta top mathbf Z h 0 exp boldsymbol theta top mathbf Z t quad mathrm f ddot u r text alle t nbsp Eine weitere Implikation ist dass die mediane Uberlebenszeit mit dem Vektor der erklarenden Variablen Z displaystyle mathbf Z nbsp gleich der medianen Basis Uberlebenszeit dividiert durch den Beschleunigungfaktor ist Die zweite Darstellung der Beziehung zwischen den Werten der erklarenden Variablen und Uberlebenszeit ist die lineare Beziehung zwischen der logarithmischen Uberlebenszeit und den Werten der erklarenden Variablen Hier geht man von dem folgenden loglinearen Ansatz aus Y log T m g Z s W displaystyle Y log T boldsymbol mu boldsymbol gamma top mathbf Z sigma W nbsp wobei g g 1 g 2 g k displaystyle boldsymbol gamma top gamma 1 gamma 2 ldots gamma k nbsp ein Vektor von Regressionsparametern ist und W displaystyle W nbsp die Verteilung der Storgrosse darstellt Einzelnachweise Bearbeiten International Statistical Institute Glossary of statistical terms Lothar Sachs Jurgen Hedderich Angewandte Statistik Methodensammlung mit R 8 uberarb und erg Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2018 ISBN 978 3 662 56657 2 S 900 Lothar Sachs Jurgen Hedderich Angewandte Statistik Methodensammlung mit R 8 uberarb und erg Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2018 ISBN 978 3 662 56657 2 S 899 Dietz K et al Statistics for Biology and Health Survival Analysis Edition Springer 7 2002 S 394 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Modell fur beschleunigte Ausfallzeiten amp oldid 218937507