Die Membrangleichung beschreibt statisch eine Membran durch eine partielle Differentialgleichung.
Herleitung Bearbeiten
Eine Last wirkt auf eine Membran, die vollständig biegsam ist. Die dadurch entstandene Krümmung wird von einer Membranzugkraft aufgenommen. Teilt man diese Membran in zwei senkrechte Streifen in -Richtung und in -Richtung, so lassen sich unter der Annahme, dass die Durchbiegung klein ist, folgende Beziehungen aufstellen:
und
Dabei sind und die zweiten Ableitungen in - und -Richtung. und sind die Anteile der Last in - und -Richtung.
Mit der Gleichgewichtsbedingung erhält man nun die Membrangleichung:
wobei der Laplaceoperator ist.
Als Randbedingung nimmt man an. Das heißt, der Rand ist gestützt und erfährt keine Durchbiegung.
Das Problem stellt damit eine Poissongleichung dar.
Anwendung Bearbeiten
Eine Anwendung mit der Membrananalogie der Torsion hat Ludwig Prandtl 1903 veröffentlicht und sie mit der Saint-Venantsche Torsion verknüpft.
Einzelnachweise Bearbeiten
- ↑ Fritz Stüssi: Entwurf und Berechnung von Stahlbauten. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1958, ISBN 978-3-662-11682-1, S. 206, doi:10.1007/978-3-662-11682-1.
- Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen. Springer Verlag, Heidelberg, Berlin 1961, ISBN 978-3-662-11836-8, Zur Torsion von prismatischen Stäben, S. 79–80, doi:10.1007/978-3-662-11836-8_4.