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Machscher Kegel Der Machsche Kegel ist eine Stoßwelle die bei Wellen im Zusammenhang mit hohen Geschwindigkeiten auftrit

Machscher Kegel

Der Machsche Kegel ist eine Stoßwelle, die bei Wellen im Zusammenhang mit hohen Geschwindigkeiten auftritt. Er wurde nach Ernst Mach benannt.

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Machscher Kegel. Im Fall v>vs bildet sich eine Stoßwelle (blau dargestellt). vs bezeichnet hier die Schallgeschwindigkeit.
Animation Mach'scher-Kegel
Schlierenfoto eines Flugzeugmodells bei Mach 1,2 im Windkanal. Sichtbar sind schräge Verdichtungsstöße und Verdünnungsfächer, die durch die Umlenkung des Fluids entstehen. Sie unterscheiden sich im Winkel vom Machschen Kegel.
Ein Jagdbomber F/A-18 Hornet im Überschallflug mit Wolkenscheibeneffekt

Ein sich mit der Geschwindigkeit bewegendes Objekt verdichtet das Medium vor sich her, hiervon ausgelöste Schallwellen breiten sich mit Schallgeschwindigkeit kugelförmig aus. Bewegt sich jedoch das Objekt selbst mit Überschallgeschwindigkeit, also schneller als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, dann kann sich in Bewegungsrichtung des Objektes die Verdichtungsfront niemals vom Objekt ablösen und läuft damit permanent diesem voran. Die ausgelösten Stoßwellen formen sich, wie die Überlagerung von Elementarwellen nach dem Huygensschen Prinzip zeigt, zu einem im Bezugssystem des bewegten Objektes stationären Kegelmantel. Der halbe Spitzenwinkel dieses Kegels heißt Machscher Winkel.

Sichtbarer Machscher Kegel Bearbeiten

Bei hoher Luftfeuchtigkeit wird die Stoßfront des Machschen Kegels als Wolkenscheibe sichtbar. Im Kegel folgt unmittelbar nach der Kompression ein ähnlich starker Unterdruck. Durch diese adiabatische Expansion überschreitet der Partialdruck des Wassers den Sättigungsdampfdruck deutlich. Als Folge kondensiert Wasserdampf zu kleinen Tröpfchen, die als Nebelwand sichtbar sind. Hinter der Stoßfront normalisiert sich der Luftdruck, die Tröpfchen verdampfen und der Nebel löst sich auf. Es entsteht der Eindruck einer am Flugzeug befestigten Wolkenscheibe.

Mit Schlierenoptik können Machsche Kegel im Windkanal dargestellt und vermessen werden.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Öffnungswinkel des Machschen Kegels Bearbeiten

Die Gleichung für den halben Öffnungswinkel des Machschen Kegels lautet:

Bei Schallgeschwindigkeit hat der Kegelöffnungswinkel eine Größe von 180°. Der Kegel hat in diesem Fall die Form einer ebenen Stoßfront angenommen. Für bilden die sich durchdringenden Kugelwellenfronten Kegel mit konstruktiver Interferenz.

Beschreibung von dynamischen Wellenbildern Bearbeiten

  • : Schallgeschwindigkeit
  • : Frequenz der Schallquelle
  • : Kreisfrequenz der Schallquelle
  • : Wellenlänge
  • : Geschwindigkeit des Flugzeugs
  • : Wellenpropagationskonstante
  • : Azimutaler Winkel (Polarkoordinaten)
Ein weiterer Jagdbomber F/A-18F Super Hornet im Überschallflug, Mai 2006

Beschreibung der Wellenfront als verschobene Kreisparametrisierung:

Graphische Darstellung des Wellenlängenvektors

Hierbei entspricht einem freien Parameter welcher sich im Intervall befindet, ist jedoch nicht gleich dem typischen azimutalen Umlaufwinkel der Polarkoordinaten. Die geometrische Herleitung ist in der Abbildung „Graphische Darstellung des Wellenlängenvektors“ zu sehen.

Die winkelabhängige Wellenlänge ist die Norm dieser Kreisparametrisierung:

Die Wellenpropagationskonstante lässt sich damit wie folgt angeben:

Der azimutale Umlaufwinkel wird in Abhängigkeit von aus den Komponenten des Wellenlängenvektors berechnet werden:

Eine effektive Umrechnung des azimutalen Winkels in den Parameterwinkel ist gegeben durch die folgende Formel in Determinanten-Schreibweise:

Die Wellengleichung lässt sich damit als parametrisierte Fläche folgendermaßen beschreiben:

Der Parameter entspricht dem radialen Parameter der Polarkoordinaten. Die weiter oben zu sehende Animation ist nach diesem Berechnungsprinzip erstellt. Bei einer Mach-Zahl von 2 ist der Öffnungswinkel des Kegels exakt 30°.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. (Memento vom 1. Januar 2014 im Internet Archive) (PDF-Datei; 182 kB)
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Veröffentlichungsdatum:
Der Machsche Kegel ist eine Stosswelle die bei Wellen im Zusammenhang mit hohen Geschwindigkeiten auftritt Er wurde nach Ernst Mach benannt Dieser Artikel wurde in die Qualitatssicherung der Redaktion Physik eingetragen Wenn du dich mit dem Thema auskennst bist du herzlich eingeladen dich an der Prufung und moglichen Verbesserung des Artikels zu beteiligen Der Meinungsaustausch daruber findet derzeit nicht auf der Artikeldiskussionsseite sondern auf der Qualitatssicherungs Seite der Physik statt Machscher Kegel Im Fall v gt vs bildet sich eine Stosswelle blau dargestellt vs bezeichnet hier die Schallgeschwindigkeit Animation Mach scher KegelSchlierenfoto eines Flugzeugmodells bei Mach 1 2 im Windkanal Sichtbar sind schrage Verdichtungsstosse und Verdunnungsfacher die durch die Umlenkung des Fluids entstehen Sie unterscheiden sich im Winkel vom Machschen Kegel Ein Jagdbomber F A 18 Hornet im Uberschallflug mit WolkenscheibeneffektEin sich mit der Geschwindigkeit v displaystyle v bewegendes Objekt verdichtet das Medium vor sich her hiervon ausgeloste Schallwellen breiten sich mit Schallgeschwindigkeit c s displaystyle c mathrm s kugelformig aus Bewegt sich jedoch das Objekt selbst mit Uberschallgeschwindigkeit also schneller als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen dann kann sich in Bewegungsrichtung des Objektes die Verdichtungsfront niemals vom Objekt ablosen und lauft damit permanent diesem voran Die ausgelosten Stosswellen formen sich wie die Uberlagerung von Elementarwellen nach dem Huygensschen Prinzip zeigt zu einem im Bezugssystem des bewegten Objektes stationaren Kegelmantel Der halbe Spitzenwinkel dieses Kegels heisst Machscher Winkel Inhaltsverzeichnis 1 Sichtbarer Machscher Kegel 2 Mathematische Beschreibung 2 1 Offnungswinkel des Machschen Kegels 2 2 Beschreibung von dynamischen Wellenbildern 3 Siehe auch 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseSichtbarer Machscher Kegel BearbeitenBei hoher Luftfeuchtigkeit wird die Stossfront des Machschen Kegels als Wolkenscheibe sichtbar Im Kegel folgt unmittelbar nach der Kompression ein ahnlich starker Unterdruck Durch diese adiabatische Expansion uberschreitet der Partialdruck des Wassers den Sattigungsdampfdruck deutlich Als Folge kondensiert Wasserdampf zu kleinen Tropfchen die als Nebelwand sichtbar sind Hinter der Stossfront normalisiert sich der Luftdruck die Tropfchen verdampfen und der Nebel lost sich auf Es entsteht der Eindruck einer am Flugzeug befestigten Wolkenscheibe Mit Schlierenoptik konnen Machsche Kegel im Windkanal dargestellt und vermessen werden 1 Mathematische Beschreibung BearbeitenOffnungswinkel des Machschen Kegels Bearbeiten Die Gleichung fur den halben Offnungswinkel des Machschen Kegels lautet sin f s Welle s Objekt c s t v t c s v 1 M a displaystyle sin varphi frac s text Welle s text Objekt frac c mathrm s cdot t v cdot t frac c mathrm s v frac 1 mathit Ma nbsp s displaystyle s nbsp in der Zeit t displaystyle t nbsp zuruckgelegter Weg f displaystyle varphi nbsp machscher Winkel c s displaystyle c mathrm s nbsp Schallgeschwindigkeit v displaystyle v nbsp Fluggeschwindigkeit des Objekts M a displaystyle mathit Ma nbsp Mach ZahlBei Schallgeschwindigkeit hat der Kegeloffnungswinkel eine Grosse von 180 Der Kegel hat in diesem Fall die Form einer ebenen Stossfront angenommen Fur v gt c s displaystyle v gt c mathrm s nbsp bilden die sich durchdringenden Kugelwellenfronten Kegel mit konstruktiver Interferenz Beschreibung von dynamischen Wellenbildern Bearbeiten c s displaystyle c mathrm s nbsp Schallgeschwindigkeit f s displaystyle f mathrm s nbsp Frequenz der Schallquelle w s displaystyle omega mathrm s nbsp Kreisfrequenz der Schallquelle l displaystyle lambda nbsp Wellenlange v x v y displaystyle v x v y nbsp Geschwindigkeit des Flugzeugs k displaystyle k nbsp Wellenpropagationskonstante f displaystyle varphi nbsp Azimutaler Winkel Polarkoordinaten nbsp Ein weiterer Jagdbomber F A 18F Super Hornet im Uberschallflug Mai 2006Beschreibung der Wellenfront als verschobene Kreisparametrisierung nbsp Graphische Darstellung des Wellenlangenvektorsl a l x a l y a c s f s cos a v x f s c s f s sin a v y f s a p p displaystyle overrightarrow lambda alpha begin pmatrix lambda x alpha lambda y alpha end pmatrix begin pmatrix frac c mathrm s f mathrm s cos alpha frac v x f mathrm s frac c mathrm s f mathrm s sin alpha frac v y f mathrm s end pmatrix quad quad alpha in pi pi nbsp Hierbei entspricht a displaystyle alpha nbsp einem freien Parameter welcher sich im Intervall p p displaystyle pi pi nbsp befindet ist jedoch nicht gleich dem typischen azimutalen Umlaufwinkel der Polarkoordinaten Die geometrische Herleitung ist in der Abbildung Graphische Darstellung des Wellenlangenvektors zu sehen Die winkelabhangige Wellenlange ist die Norm dieser Kreisparametrisierung l a l a l x 2 a l y 2 a displaystyle lambda alpha overrightarrow lambda alpha sqrt lambda x 2 alpha lambda y 2 alpha nbsp Die Wellenpropagationskonstante lasst sich damit wie folgt angeben k a 2 p l a displaystyle k alpha frac 2 pi lambda alpha nbsp Der azimutale Umlaufwinkel wird in Abhangigkeit von a displaystyle alpha nbsp aus den Komponenten des Wellenlangenvektors berechnet werden tan f a l y a l x a f a arctan2 l y a l x a p a p displaystyle tan varphi alpha frac lambda y alpha lambda x alpha quad rightarrow quad varphi alpha operatorname arctan2 lambda y alpha lambda x alpha quad pi leq alpha leq pi nbsp Eine effektive Umrechnung des azimutalen Winkels f displaystyle varphi nbsp in den Parameterwinkel a displaystyle alpha nbsp ist gegeben durch die folgende Formel in Determinanten Schreibweise a f f arcsin 1 c s v x cos f v y sin f lt f lt displaystyle alpha varphi varphi arcsin left frac 1 c mathrm s cdot begin vmatrix v x amp cos varphi v y amp sin varphi end vmatrix right quad quad infty lt varphi lt infty nbsp nbsp Einige Wellenbilder mit verschiedenen MachzahlenDie Wellengleichung lasst sich damit als parametrisierte Flache folgendermassen beschreiben u r f t x r f t y r f t z r f t r cos f r sin f A cos w s t k a f r displaystyle overrightarrow u r varphi t begin pmatrix x r varphi t y r varphi t z r varphi t end pmatrix begin pmatrix r cdot cos varphi r cdot sin varphi A cdot cos omega mathrm s t k alpha varphi cdot r end pmatrix nbsp Der Parameter r displaystyle r nbsp entspricht dem radialen Parameter der Polarkoordinaten Die weiter oben zu sehende Animation ist nach diesem Berechnungsprinzip erstellt Bei einer Mach Zahl von 2 ist der Offnungswinkel des Kegels exakt 30 Siehe auch BearbeitenDoppler Effekt Bugwelle Machwelle Tscherenkow StrahlungWeblinks BearbeitenSchallknall Astronomy Picture of the Day vom 19 August 2007 Die Ares 1 X Rakete hebt ab Astronomy Picture of the Day vom 2 November 2009 Shuttle durchbricht Schallmauer Memento vom 28 Januar 2018 im Internet Archive NASA Mach Angel Website mit Beschreibung des Machschen Kegels Einzelnachweise Bearbeiten Uberschallwindkanal mit Schlierenoptik Memento vom 1 Januar 2014 im Internet Archive PDF Datei 182 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Machscher Kegel amp oldid 239098305