Die Linealgeometrie bezeichnet die Einschränkung von Konstruktionsaufgaben der euklidischen Geometrie, bei der der Zirkel nicht verwendet werden darf (und somit auch keine Winkel oder anderen Zeichengeräte). Lediglich das Lineal (ohne Skaleneinteilung) darf verwendet werden. Manchmal wird auch zum Beispiel die Verwendung eines einzelnen Kreises zusätzlich erlaubt, die weitere Konstruktion darf dann aber nur noch mit dem Lineal erfolgen. Die Bezeichnung stammt von Johann Heinrich Lambert (in seinem Buch Freye Perspective, Zürich 1759, 1774). Die Linealgeometrie wurde außer von August Ferdinand Möbius vor allem von Jakob Steiner und Karl Georg Christian von Staudt ausgebaut. Von Steiner und Jean Victor Poncelet stammt der Satz, dass Konstruktionen mit Zirkel und Lineal auch mit Lineal und einem vorgegebenen Kreis ausgeführt werden können.
Beispiele Bearbeiten
Tangenten an Kreis Bearbeiten
Gegeben sei ein Punkt und ein Kreis (Mittelpunkt nicht bekannt). Gesucht sind die beiden Tangenten von an den Kreis (siehe Bild 1). In der Linealgeometrie erhält man die Lösung folgendermaßen: Man zieht von aus zwei Sekanten durch den Kreis und erhält die Punkte bis Es folgen die Verbindungen der Punkte mit und mit sowie die Halbgeraden ab durch und ab durch dabei ergeben sich die Schnittpunkte bzw. Zieht man jetzt eine Linie von durch bis zum Kreis, erhält man die beiden Tangentenpunkte und
Parallele zu einer Geraden Bearbeiten
Es ist nicht möglich, mit dem Lineal allein eine Parallele zu einer gegebenen Geraden zu zeichnen. Ist jedoch auf der Geraden eine Strecke und deren Halbierungspunkt – wie im Bild 2 dargestellt – gegeben, kann man eine Parallele zur Geraden konstruieren.
Es sei eine Strecke auf einer Geraden, der Halbierungspunkt von sowie ein Punkt, durch den die gesuchte Parallele zu verlaufen soll.
Man beginnt mit einer Halbgeraden ab durch und einem darauf beliebig festgelegten Punkt Es folgen die Verbindungen der Punkte mit mit sowie mit ; dabei ergibt sich der Schnittpunkt Nun zieht man eine gerade Linie ab durch bis sie die Strecke in schneidet. Die abschließende Gerade durch und ist die gesuchte Parallele.
Halbierungspunkt einer Strecke Bearbeiten
Es ist nicht möglich, mit dem Lineal allein eine Strecke zu halbieren. Ist jedoch zu einer Strecke eine Parallele – wie im Bild 3 dargestellt – vorgegeben, kann man den Halbierungspunkt der Strecke konstruieren.
Gegeben sei eine Strecke und eine Parallele zu Gesucht ist der Halbierungspunkt der Strecke .
Man beginnt damit, einen beliebig festgelegten Punkt mit den Punkten und zu verbinden; dabei entstehen die Schnittpunkte bzw. Es folgen die Verbindungen der Punkte mit sowie mit ; dabei ergibt sich der Schnittpunkt Abschließend zieht man eine gerade Linie ab durch bis zur Strecke und erhält damit den gesuchten Halbierungspunkt der Strecke
Siehe auch Bearbeiten
Quelle Bearbeiten
- Linealgeometrie. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 12. Leipzig 1908, S. 572.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Möbius Von den metrischen Relationen in dem Gebiete der Lineal-Geometrie, Journal für reine und angewandte Mathematik, Band 4, 1829.
- Jakob Steiner: Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und Eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung. Hrsg.: Ferdinand Dümmler. Berlin 1833 (Titelansicht [abgerufen am 26. Januar 2020]).
- ↑ J. Sommer: Elementare Geometrie vom Standpunkt der neueren Analysis aus, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Band III, 1,2, S. 790 ff., 7. Konstruktionen mit dem Lineal. SUB Göttinger Digitalisierungszentrum, abgerufen am 26. Januar 2020.
- ↑ Jakob Steiner: Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und Eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung. Hrsg.: Ferdinand Dümmler. Berlin 1833 (ETH-Bibliothek, II Konstructionen mittels Lineal unter gewissen Voraussetzungen [Seite 14 §. 6.] S. 15, Aufgabe I. siehe auch Tafel I, Fig.3 [abgerufen am 26. Januar 2020]).