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Lane Emden Gleichung Die astrophysikalische beschreibt die Struktur einer selbstgravitierenden Kugel deren Zustandsgleic

Lane-Emden-Gleichung

Die astrophysikalische Lane-Emden-Gleichung beschreibt die Struktur einer selbstgravitierenden Kugel, deren Zustandsgleichung die einer polytropen Flüssigkeit ist. Ihre Lösungen beschreiben die Abhängigkeit des Drucks und der Dichte vom Radius und erlauben somit Rückschlüsse auf die Stabilität und Ausdehnung der Kugel. Sie ist benannt nach den Astrophysikern Jonathan Homer Lane (1819–1880) und Robert Emden (1862–1940); Lane schlug sie 1870 als mathematisches Modell zur Untersuchung der inneren Struktur der Sterne vor. Lord Kelvin und August Ritter waren an der Entwicklung dieser Gleichung ebenfalls maßgeblich beteiligt.

Lösungen der Lane-Emden-Gleichung für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Physikalischer Kontext Bearbeiten

Eine polytrope Flüssigkeit genügt der Gleichung (: Druck, : Dichte). Man verwendet allerdings statt meist den Polytropenindex , der wie folgt definiert ist: . Sternmaterie kann in guter Näherung als polytropes Fluid angesehen werden, so etwa entartetes Gas, das in Abhängigkeit davon, ob es relativistisch oder nicht-relativistisch ist, einen Polytropenindex von besitzt (d. h. ).

Herleitung Bearbeiten

Die Gleichgewichtsbedingung lautet allgemein für isentrope Kugeln: . Dabei ist das gravitative Potential, die Enthalpie. Nach Anwendung des Laplace-Operators auf beiden Seiten ergibt sich .

Mit der Definition und entsprechend ist die Enthalpie .

Mit der Poisson-Gleichung wird aus der Gleichgewichtsbedingung: . Mit der Maßstabstransformation und einem günstig gewählten , so dass erhält man

Wenn man mit der Dichte im Zentrum identifiziert, ergibt sich und .

Lösungen Bearbeiten

Die Anfangsbedingungen sind und . Die Nullstelle von , notiert als , legt die Grenze der Kugel, in der Anwendung also die Grenze des Sterns, fest.

Die Lane-Emden-Gleichung lässt sich für n = 0, 1 und 5 analytisch lösen. Während die ersten beiden Fälle auf einfach zu lösende Gleichungen führen, sind alle übrigen deutlich komplizierter. Die Lösung für n = 5 wurde 1885 von Arthur Schuster, später auch unabhängig davon von Emden selbst gefunden. Die drei analytischen Lösungen sind in der Tabelle dargestellt:

n = 0 1 5
=
= ∞

Für n = 1 wird die Gleichung zu einer sphärischen Besselschen Differentialgleichung mit der sinc-Funktion als Lösung.

Radius Bearbeiten

Mit der Definition für gilt für den Radius des Sterns (im Gleichgewicht)

Für n = 1 ist wegen der Radius unabhängig von der Gesamtmasse bzw. der Dichte im Zentrum. Der Stern enthält im gleichen Volumen beliebig viel Masse, die die Gleichgewichtsbedingung erfüllt.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Ya.B. Zel’dovich, S.I. Blinnikov, N.I. Shakura: Physical Grounds of Structure and Evolution of Stars. Moscow University Press, 1981
  • Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie: An Introduction to Modern Astrophysics. 2nd Edition. Pearson, 2007
  • George Paul Horedt: Seven-digit tables of Lane-Emden functions. In: Astrophysics and Space Science. Band 126, Nr. 2, Oktober 1986, Seiten 357–408, bibcode:1986Ap&SS.126..357H

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die astrophysikalische Lane Emden Gleichung beschreibt die Struktur einer selbstgravitierenden Kugel deren Zustandsgleichung die einer polytropen Flussigkeit ist Ihre Losungen beschreiben die Abhangigkeit des Drucks und der Dichte vom Radius r displaystyle r und erlauben somit Ruckschlusse auf die Stabilitat und Ausdehnung der Kugel Sie ist benannt nach den Astrophysikern Jonathan Homer Lane 1819 1880 und Robert Emden 1862 1940 Lane schlug sie 1870 als mathematisches Modell zur Untersuchung der inneren Struktur der Sterne vor Lord Kelvin und August Ritter waren an der Entwicklung dieser Gleichung ebenfalls massgeblich beteiligt Losungen der Lane Emden Gleichung fur n 0 1 2 3 4 5 6 Inhaltsverzeichnis 1 Physikalischer Kontext 2 Herleitung 3 Losungen 4 Radius 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksPhysikalischer Kontext BearbeitenEine polytrope Flussigkeit genugt der Gleichung P K r g displaystyle textstyle P K rho gamma nbsp P displaystyle P nbsp Druck r displaystyle textstyle rho nbsp Dichte Man verwendet allerdings statt g displaystyle textstyle gamma nbsp meist den Polytropenindex n displaystyle textstyle n nbsp der wie folgt definiert ist g 1 1 n displaystyle textstyle gamma 1 frac 1 n nbsp Sternmaterie kann in guter Naherung als polytropes Fluid angesehen werden so etwa entartetes Gas das in Abhangigkeit davon ob es relativistisch oder nicht relativistisch ist einen Polytropenindex von n 3 b z w 1 5 displaystyle textstyle n 3 mathrm bzw 1 5 nbsp besitzt d h g 4 3 b z w 5 3 displaystyle textstyle gamma frac 4 3 mathrm bzw frac 5 3 nbsp Herleitung BearbeitenDie Gleichgewichtsbedingung lautet allgemein fur isentrope Kugeln f H c o n s t displaystyle textstyle varphi H const nbsp Dabei ist f displaystyle textstyle varphi nbsp das gravitative Potential H n 1 P r displaystyle textstyle H n 1 frac P rho nbsp die Enthalpie Nach Anwendung des Laplace Operators auf beiden Seiten ergibt sich D f H 0 displaystyle textstyle Delta varphi H 0 nbsp Mit der Definition r l 8 n displaystyle textstyle rho lambda theta n nbsp und entsprechend P K l 1 1 n 8 n 1 displaystyle textstyle P K lambda 1 frac 1 n theta n 1 nbsp ist die Enthalpie H n 1 K l 1 n 8 displaystyle textstyle H n 1 K lambda 1 n theta nbsp Mit der Poisson Gleichung D f 4 p G l 8 n displaystyle textstyle Delta varphi 4 pi G lambda theta n nbsp wird aus der Gleichgewichtsbedingung 4 p G l 8 n n 1 K l 1 n D 8 0 displaystyle textstyle 4 pi G lambda theta n n 1 K lambda 1 n Delta theta 0 nbsp Mit der Massstabstransformation r a 3 displaystyle textstyle r alpha xi nbsp und einem gunstig gewahlten a displaystyle textstyle alpha nbsp so dass 4 p G l n 1 K l 1 n a 2 displaystyle textstyle 4 pi G lambda frac n 1 K lambda 1 n alpha 2 nbsp erhalt man 1 3 2 d d 3 3 2 d 8 d 3 8 n 0 displaystyle frac 1 xi 2 frac d d xi left xi 2 frac d theta d xi right theta n 0 nbsp Wenn man l displaystyle textstyle lambda nbsp mit der Dichte im Zentrum r c displaystyle textstyle rho c nbsp identifiziert ergibt sich 3 r 4 p G r c 2 n 1 P c 1 2 displaystyle textstyle xi r left frac 4 pi G rho c 2 n 1 P c right frac 1 2 nbsp und r r c 8 n displaystyle textstyle rho rho c theta n nbsp Losungen BearbeitenDie Anfangsbedingungen sind 8 0 1 displaystyle textstyle theta 0 1 nbsp und d 8 d 3 3 0 0 displaystyle textstyle left frac rm d theta rm d xi right xi 0 0 nbsp Die Nullstelle von 3 displaystyle textstyle xi nbsp notiert als 3 1 displaystyle textstyle xi 1 nbsp legt die Grenze der Kugel in der Anwendung also die Grenze des Sterns fest Die Lane Emden Gleichung lasst sich fur n 0 1 und 5 analytisch losen Wahrend die ersten beiden Falle auf einfach zu losende Gleichungen fuhren sind alle ubrigen deutlich komplizierter Die Losung fur n 5 wurde 1885 von Arthur Schuster spater auch unabhangig davon von Emden selbst gefunden Die drei analytischen Losungen sind in der Tabelle dargestellt n 0 1 58 displaystyle theta nbsp 1 3 2 6 displaystyle 1 frac xi 2 6 nbsp sin 3 3 displaystyle frac sin xi xi nbsp 1 3 2 3 1 2 displaystyle left 1 frac xi 2 3 right frac 1 2 nbsp 3 1 displaystyle xi 1 nbsp 6 displaystyle sqrt 6 nbsp p displaystyle pi nbsp Fur n 1 wird die Gleichung zu einer spharischen Besselschen Differentialgleichung mit der sinc Funktion als Losung Radius BearbeitenMit der Definition fur 3 displaystyle textstyle xi nbsp gilt fur den Radius des Sterns im Gleichgewicht R n 1 P c 4 p G r c 2 3 1 displaystyle R sqrt frac n 1 P rm c 4 pi G rho rm c 2 xi 1 nbsp Fur n 1 ist wegen P c K r c 2 displaystyle textstyle P rm c K rho rm c 2 nbsp der Radius unabhangig von der Gesamtmasse bzw der Dichte im Zentrum Der Stern enthalt im gleichen Volumen beliebig viel Masse die die Gleichgewichtsbedingung erfullt Siehe auch BearbeitenWeisser ZwergLiteratur BearbeitenYa B Zel dovich S I Blinnikov N I Shakura Physical Grounds of Structure and Evolution of Stars Moscow University Press 1981 Bradley W Carroll Dale A Ostlie An Introduction to Modern Astrophysics 2nd Edition Pearson 2007 George Paul Horedt Seven digit tables of Lane Emden functions In Astrophysics and Space Science Band 126 Nr 2 Oktober 1986 Seiten 357 408 bibcode 1986Ap amp SS 126 357HWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Lane Emden Differential Equation In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lane Emden Gleichung amp oldid 222479807