In der Mathematik nennt man eine Zahl Cn displaystyle C n Kuchenzahl englisch Cake number wenn sie die maximale Anzahl von Regionen angibt in die ein dreidimensionaler Wurfel durch genau n displaystyle n Ebenen unterteilt werden kann Die Zahl heisst so weil man sich jede Teilung des Wurfels durch eine Ebene als einen mit einem Messer geschnittenen Schnitt durch einen wurfelformigen Kuchen vorstellen kann Es ist das 3D Analogon der Zahlenreihe des faulen Kellners auch zentralpolygonale Zahlen genannt Einen Kuchen kann man mit nur 4 Schnitten in 15 Stucke zerschneiden entsprechend der 5 Kuchenzahl C4 displaystyle C 4 Diese Animation zeigt die Schnittebenen Vierzehn der Stucke haben eine aussere Oberflache in der Mitte wird ein Tetraeder herausgeschnitten Inhaltsverzeichnis 1 Formel zur Berechnung von Kuchenzahlen 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseFormel zur Berechnung von Kuchenzahlen BearbeitenAngenommen es stehen n displaystyle n nbsp Ebenen zur Verfugung um den Wurfel zu teilen Dann ist die n displaystyle n nbsp te Kuchennummer 1 Cn n3 n2 n1 n0 16 n3 5n 6 16 n 1 n n 1 6 displaystyle C n binom n 3 binom n 2 binom n 1 binom n 0 frac 1 6 cdot n 3 5n 6 frac 1 6 cdot n 1 cdot n cdot n 1 6 nbsp Dabei ist n displaystyle n nbsp die Fakultat und nk n k n k displaystyle binom n k frac n k cdot n k nbsp der Binomialkoeffizient Beispiele BearbeitenDie kleinsten Kuchenzahlen Cn displaystyle C n nbsp mit n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 ldots nbsp lauten 1 2 4 8 15 26 42 64 93 130 176 232 299 378 470 576 697 834 988 Folge A000125 in OEIS dd Eigenschaften BearbeitenDie einzige prime Kuchenzahl ist C1 2 displaystyle C 1 2 nbsp Beweis Es ist Cn 16 n 1 n n 1 6 displaystyle C n frac 1 6 cdot n 1 cdot n cdot n 1 6 nbsp Damit Cn displaystyle C n nbsp ganzzahlig ist muss n 1 n n 1 6 displaystyle n 1 cdot n cdot n 1 6 nbsp durch 6 displaystyle 6 nbsp teilbar also ein Vielfaches von 6 2 3 displaystyle 6 2 cdot 3 nbsp sein Wenn Cn displaystyle C n nbsp zusatzlich prim sein soll muss n 1 n n 1 6 2 3 p displaystyle n 1 cdot n cdot n 1 6 2 cdot 3 cdot p nbsp sein wobei p displaystyle p nbsp eine Primzahl ist Es ist n n 1 displaystyle n cdot n 1 nbsp als Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl immer gerade Zahlt man 6 displaystyle 6 nbsp dazu bleibt die Zahl gerade Es ist also wenn Cn displaystyle C n nbsp prim sein soll n n 1 6 displaystyle n cdot n 1 6 nbsp immer eine gerade Zahl der Form 2 displaystyle 2 nbsp 2 3 displaystyle 2 cdot 3 nbsp 2 p displaystyle 2 cdot p nbsp oder 2 3 p displaystyle 2 cdot 3 cdot p nbsp Man betrachte alle moglichen vier Falle von n n 1 6 n2 n 6 displaystyle n cdot n 1 6 n 2 n 6 nbsp Fall 1 n n 1 6 2 displaystyle n cdot n 1 6 2 nbsp Es ist n n 1 6 n2 n 6 displaystyle n cdot n 1 6 n 2 n 6 nbsp Die quadratische Gleichung n2 n 6 2 displaystyle n 2 n 6 2 nbsp hat die Losungen n1 2 12 1 15 displaystyle n 1 2 frac 1 2 cdot 1 pm sqrt 15 nbsp und hat somit keine reellen Losungen Somit existiert dieser Fall nicht dd Fall 2 n n 1 6 2 3 displaystyle n cdot n 1 6 2 cdot 3 nbsp Es ist n n 1 6 n2 n 6 displaystyle n cdot n 1 6 n 2 n 6 nbsp Die quadratische Gleichung n2 n 6 6 displaystyle n 2 n 6 6 nbsp hat die Losungen n0 0 displaystyle n 0 0 nbsp und n1 1 displaystyle n 1 1 nbsp Es ist C0 1 P displaystyle C 0 1 not in mathbb P nbsp keine Primzahl und C1 2 P displaystyle C 1 2 in mathbb P nbsp die bisher erste und auch letzte gefundene prime Kuchenzahl dd Fall 3 n n 1 6 2 p displaystyle n cdot n 1 6 2 cdot p nbsp Unter dieser Voraussetzung muss weil n 1 n n 1 6 2 3 p displaystyle n 1 cdot n cdot n 1 6 2 cdot 3 cdot p nbsp ist n 1 3 displaystyle n 1 3 nbsp sein Somit ist n 4 displaystyle n 4 nbsp Es ist aber C4 8 P displaystyle C 4 8 not in mathbb P nbsp keine Primzahl dd Fall 4 n n 1 6 2 3 p displaystyle n cdot n 1 6 2 cdot 3 cdot p nbsp Unter dieser Voraussetzung muss weil n 1 n n 1 6 2 3 p displaystyle n 1 cdot n cdot n 1 6 2 cdot 3 cdot p nbsp ist n 1 1 displaystyle n 1 1 nbsp sein Somit ist n 0 displaystyle n 0 nbsp Es ist aber C0 1 P displaystyle C 0 1 not in mathbb P nbsp keine Primzahl dd dd Da es nicht mehr Moglichkeiten fur gerade n n 1 6 displaystyle n cdot n 1 6 nbsp gibt sodass n 1 n n 1 6 2 3 p displaystyle n 1 cdot n cdot n 1 6 2 cdot 3 cdot p nbsp und in weiterer Folge Cn displaystyle C n nbsp prim ist bleibt C1 2 displaystyle C 1 2 nbsp die einzige Primzahl displaystyle Box nbsp dd dd Die Kuchenzahlen sind das dreidimensionale Analogon der zweidimensionalen zentralpolygonalen Zahlen Die Differenz Cn Cn 1 displaystyle C n C n 1 nbsp zweier aufeinanderfolgender Kuchenzahlen ergibt eben diese zentralpolygonalen Zahlen 1 Beweis Der Beweis funktioniert mittels vollstandiger Induktion Induktionsanfang Es wird bewiesen dass die Aussage fur die kleinste Differenz den Startwert gilt C1 C0 16 13 5 1 6 16 03 5 0 6 126 66 66 1 displaystyle C 1 C 0 frac 1 6 cdot 1 3 5 cdot 1 6 frac 1 6 cdot 0 3 5 cdot 0 6 frac 12 6 frac 6 6 frac 6 6 1 nbsp die erste zentralpolygonale Zahl fur n 0 displaystyle n 0 nbsp C2 C1 16 23 5 2 6 16 13 5 1 6 246 126 126 2 displaystyle C 2 C 1 frac 1 6 cdot 2 3 5 cdot 2 6 frac 1 6 cdot 1 3 5 cdot 1 6 frac 24 6 frac 12 6 frac 12 6 2 nbsp die zweite zentralpolygonale Zahl fur n 1 displaystyle n 1 nbsp Die Aussage gilt somit auch fur die zweitkleinste Differenz dd Induktionsschritt Es wird angenommen dass die Aussage fur n displaystyle n nbsp gilt Es muss gezeigt werden dass sie auch fur n 1 displaystyle n 1 nbsp gilt Ist dies der Fall ist die Aussage bewiesen Cn 1 Cn 16 n 1 3 5 n 1 6 16 n3 5 n 6 n3 3n2 3n 1 5n 5 66 n3 5n 66 3n2 3n 66 n2 n 22 displaystyle C n 1 C n frac 1 6 cdot n 1 3 5 cdot n 1 6 frac 1 6 cdot n 3 5 cdot n 6 frac n 3 3n 2 3n 1 5n 5 6 6 frac n 3 5n 6 6 frac 3n 2 3n 6 6 frac n 2 n 2 2 nbsp die n displaystyle n nbsp te zentralpolygonale Zahl dd dd Somit ist die Aussage bewiesen displaystyle Box nbsp dd dd Die vierte Spalte des Bernoulli Dreiecks fur k 3 displaystyle k 3 nbsp gibt die Kuchenzahlen fur n Schnitte an Summiert man die ersten vier Terme jeder Reihe des Pascalschen Dreiecks so erhalt man die Kuchenzahlen 2 n displaystyle downarrow nbsp k displaystyle to nbsp 0 1 2 3 Summe1 1 12 1 1 23 1 2 1 44 1 3 3 1 85 1 4 6 4 156 1 5 10 10 267 1 6 15 20 428 1 7 21 35 649 1 8 28 56 9310 1 9 36 84 130 dd Siehe auch BearbeitenZentralpolygonale ZahlenWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Cake Number In MathWorld englisch Eric W Weisstein Space Division by Planes In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b Akiwa Jaglom Isaak Jaglom Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions Vol 1 PDF Dover Publications 1987 S 104 105 abgerufen am 20 November 2022 COMMENTS der Folge A000125 in OEIS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kuchenzahl amp oldid 229595897
