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Kruskal Wallis Test Der nach William Kruskal und Wilson Allen Wallis auch H Test ist ein parameterfreier statistischer T

Kruskal-Wallis-Test

Der Kruskal-Wallis-Test (nach William Kruskal und Wilson Allen Wallis; auch H-Test) ist ein parameterfreier statistischer Test, mit dem im Rahmen einer Varianzanalyse getestet wird, ob unabhängige Stichproben (Gruppen oder Messreihen) hinsichtlich einer ordinalskalierten Variable einer gemeinsamen Population entstammen. Er ähnelt einem Mann-Whitney-U-Test und basiert wie dieser auf Rangplatzsummen, mit dem Unterschied, dass er für den Vergleich von mehr als zwei Gruppen angewendet werden kann. Im Falle abhängiger Stichproben kann stattdessen der Friedman-Test verwendet werden.

Die Nullhypothese lautet: Zwischen den Gruppen besteht kein Unterschied. Als Prüfgröße des Kruskal-Wallis-Tests wird ein sogenannter H-Wert berechnet. Der H-Wert wird wie folgt gebildet: Der Rang für jede der Beobachtungen in der Vereinigung der Stichproben wird bestimmt. Daraus werden dann die Rangsummen für die einzelnen Gruppen und daraus die Teststatistik

bzw. beim Vorliegen von Bindungen:

(mit die Zahl der gebundenen Beobachtungen mit Rang ) errechnet. Die Prüfgröße ist bei Gültigkeit der Nullhypothese asymptotisch, d. h. für großen Stichprobenumfang in allen Gruppen, Chi-Quadrat-verteilt. Die Anzahl der Freiheitsgrade (Df) berechnet sich nach Df=k-1, wobei k die Anzahl der Klassen (Gruppen) ist. Die berechnete Prüfgröße H wird mit einer theoretischen Größe aus der Chi-Quadrat-Verteilung für eine a priori gewählte Irrtumswahrscheinlichkeit verglichen. Ist der errechnete H-Wert größer als der H-Wert aus der Chi-Quadrat-Tabelle, wird die Nullhypothese verworfen, es besteht also ein signifikanter Unterschied zwischen den Gruppen.

Ist und , so ist die Teststatistik nicht -verteilt und es muss auf tabellierte kritische Werte zurückgegriffen werden.

Ein ähnlicher Test wie der Kruskal-Wallis-Test ist der Jonckheere-Terpstra-Test oder dessen Verallgemeinerung, der Umbrella-Test nach Mack und Wolfe. Eine Erweiterung des Kruskal-Wallis-Tests auf den Anwendungsbereich der mehrfaktoriellen Varianzanalyse ist der Scheirer-Ray-Hare-Test.

Da der H-Test lediglich eine Aussage zur Unterschiedlichkeit aller betrachteten Stichproben macht, ist es sinnvoll, einen Post-hoc-Test durchzuführen, der die einzelnen Stichproben paarweise vergleicht. Hier bietet sich zum Beispiel die Bonferroni-Methode an.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. W. H. Kruskal, W. A. Wallis: Use of ranks in one-criterion variance analysis. In: Journal of the American Statistical Association. Band 47, Nr. 160, 1952, S. 583–621, doi:10.1080/01621459.1952.10483441, JSTOR:2280779.
  2. Douglas C. Montgomery: Design and Analysis of Experiments. John Wiley & Sons, Danvers 2005, ISBN 0-471-48735-X, S. 110–111.
  3. H. B. Mack, D. A. Wolfe: K-sample rank tests for umbrella alternatives. In: Journal of the American Statistical Association. Band 76, Nr. 373, 1981, S. 175–181, doi:10.1080/01621459.1981.10477625, JSTOR:2287064
  4. James Scheirer, William S. Ray, Nathan Hare: The Analysis of Ranked Data Derived from Completely Randomized Factorial Designs. In: Biometrics. 32(2), 1976, S. 429–434, JSTOR:2529511
  5. H. Abdi: Encyclopedia of Measurement and Statistics. Hrsg.: N. J. Salkind. Sage, Thousand Oaks CA 2007, Bonferroni and Sidak corrections for multiple comparisons (utdallas.edu [PDF]).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Kruskal Wallis Test nach William Kruskal und Wilson Allen Wallis auch H Test ist ein parameterfreier statistischer Test mit dem im Rahmen einer Varianzanalyse getestet wird ob unabhangige Stichproben Gruppen oder Messreihen hinsichtlich einer ordinalskalierten Variable einer gemeinsamen Population entstammen 1 Er ahnelt einem Mann Whitney U Test und basiert wie dieser auf Rangplatzsummen mit dem Unterschied dass er fur den Vergleich von mehr als zwei Gruppen angewendet werden kann Im Falle abhangiger Stichproben kann stattdessen der Friedman Test verwendet werden Die Nullhypothese lautet Zwischen den Gruppen besteht kein Unterschied Als Prufgrosse des Kruskal Wallis Tests wird ein sogenannter H Wert berechnet Der H Wert wird wie folgt gebildet 2 Der Rang R i displaystyle R i fur jede der n displaystyle n Beobachtungen in der Vereinigung der Stichproben wird bestimmt Daraus werden dann die Rangsummen S h displaystyle S h fur die einzelnen Gruppen und daraus die Teststatistik H 12 n n 1 h S h 2 n h 3 n 1 displaystyle H tfrac 12 n n 1 sum h tfrac S h 2 n h 3 n 1 bzw beim Vorliegen von Bindungen H 12 n n 1 h S h 2 n h 3 n 1 1 1 n 3 n t r i 3 t r i displaystyle H frac tfrac 12 n n 1 sum h tfrac S h 2 n h 3 n 1 1 tfrac 1 n 3 n sum t r i 3 t r i mit t r i displaystyle t r i die Zahl der gebundenen Beobachtungen mit Rang i displaystyle i errechnet Die Prufgrosse H displaystyle H ist bei Gultigkeit der Nullhypothese asymptotisch d h fur grossen Stichprobenumfang in allen Gruppen Chi Quadrat verteilt Die Anzahl der Freiheitsgrade Df berechnet sich nach Df k 1 wobei k die Anzahl der Klassen Gruppen ist Die berechnete Prufgrosse H wird mit einer theoretischen Grosse aus der Chi Quadrat Verteilung fur eine a priori gewahlte Irrtumswahrscheinlichkeit verglichen Ist der errechnete H Wert grosser als der H Wert aus der Chi Quadrat Tabelle wird die Nullhypothese verworfen es besteht also ein signifikanter Unterschied zwischen den Gruppen Ist h 3 displaystyle h 3 und n h lt 6 displaystyle n h lt 6 so ist die Teststatistik H displaystyle H nicht x 2 displaystyle chi 2 verteilt und es muss auf tabellierte kritische Werte zuruckgegriffen werden Ein ahnlicher Test wie der Kruskal Wallis Test ist der Jonckheere Terpstra Test oder dessen Verallgemeinerung der Umbrella Test nach Mack und Wolfe 3 Eine Erweiterung des Kruskal Wallis Tests auf den Anwendungsbereich der mehrfaktoriellen Varianzanalyse ist der Scheirer Ray Hare Test 4 Da der H Test lediglich eine Aussage zur Unterschiedlichkeit aller betrachteten Stichproben macht ist es sinnvoll einen Post hoc Test durchzufuhren der die einzelnen Stichproben paarweise vergleicht Hier bietet sich zum Beispiel die Bonferroni Methode an 5 Einzelnachweise Bearbeiten W H Kruskal W A Wallis Use of ranks in one criterion variance analysis In Journal of the American Statistical Association Band 47 Nr 160 1952 S 583 621 doi 10 1080 01621459 1952 10483441 JSTOR 2280779 Douglas C Montgomery Design and Analysis of Experiments John Wiley amp Sons Danvers 2005 ISBN 0 471 48735 X S 110 111 H B Mack D A Wolfe K sample rank tests for umbrella alternatives In Journal of the American Statistical Association Band 76 Nr 373 1981 S 175 181 doi 10 1080 01621459 1981 10477625 JSTOR 2287064 James Scheirer William S Ray Nathan Hare The Analysis of Ranked Data Derived from Completely Randomized Factorial Designs In Biometrics 32 2 1976 S 429 434 JSTOR 2529511 H Abdi Encyclopedia of Measurement and Statistics Hrsg N J Salkind Sage Thousand Oaks CA 2007 Bonferroni and Sidak corrections for multiple comparisons utdallas edu PDF Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kruskal Wallis Test amp oldid 232131896