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Jonckheere Terpstra Test Der ist ein parameterfreier statistischer Test mit dem ähnlich wie beim Kruskal Wallis Test im

Jonckheere-Terpstra-Test

Der Jonckheere-Terpstra-Test ist ein parameterfreier statistischer Test, mit dem ähnlich wie beim Kruskal-Wallis-Test im Rahmen einer Varianzanalyse verglichen wird, ob sich verschiedene unabhängige Stichproben (Gruppen) hinsichtlich einer ordinalskalierten Variable unterscheiden. Der Unterschied zum Kruskal-Wallis-Test ist, dass hier auf das Vorliegen eines Trends zwischen den Gruppen getestet wird.

Die Nullhypothese H0 lautet, dass alle Stichprobenwerte aus Grundgesamtheiten mit identischer Verteilung gezogen wurden:

Als Alternativhypothese HA gilt: , wobei mindestens eine strikte Ungleichung gilt.

Berechnung Bearbeiten

Die Teststatistik lautet für eine Anzahl von Gruppen mit jeweils Messungen:

Dabei ist definiert als

mit

Die berechnete Prüfgröße wird größer, wenn ein Trend zwischen den Gruppen vorhanden ist.

Unter allgemeinen Bedingungen ist die Prüfgröße näherungsweise normalverteilt. Für den Erwartungswert und die Varianz gelten folgende Formeln:

und

Die daraus durch Standardisierung erhaltene Variable ist näherungsweise standardnormalverteilt, wenn die Gesamtzahl aller Stichprobenwerte größer als 12 ist:

Oder anders ausgedrückt: Bei einem einseitigen Test auf 5 % Niveau (Fehler 1. Art) ist der Test signifikant, wenn

Verallgemeinerung Bearbeiten

Es lassen sich neben einem monotonen Trend auch Modelle bearbeiten, bei denen ein anfänglicher Aufwärtstrend an einem bestimmten Punkt in einen Abwärtstrend übergeht. Dieses ist dann die Verallgemeinerung des Jonckheere-Terpsta-Tests, der Umbrella-Test nach Mack und Wolfe.

Literatur Bearbeiten

  • A. R. Jonckheere: A distribution-free k-sample test against ordered alternatives. In: Biometrica. Band 41, 1954, S. 133–145, doi:10.1093/biomet/41.1-2.133, JSTOR:2333011.
  • A. R. Jonckheere: A test of significance for the relation between m rankings and k ranked categories. In: British Journal of Statistical Psychology. Band 7, 1954, S. 93–100, doi:10.1111/j.2044-8317.1954.tb00148.x.
  • T. J. Terpstra: The asymptotic normality and consistency of Kendall’s test against trend, when ties are present in one ranking. In: Indagationes Mathematicae. Band 14, 1952, S. 327–333.
  • W. J. Conover: Practical Nonparametric Statistics. 3. Auflage. John Wiley & Sons, New York 1999, ISBN 0-471-16068-7, S. 5.4.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. D. A. Wolfe, H. B. Mack: K-sample rank tests for umbrella alternatives. In: J. Amer. Statist. Ass. Band 76, 1981, S. 175–181, doi:10.1080/01621459.1981.10477625, JSTOR:2287064.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Jonckheere Terpstra Test ist ein parameterfreier statistischer Test mit dem ahnlich wie beim Kruskal Wallis Test im Rahmen einer Varianzanalyse verglichen wird ob sich verschiedene unabhangige Stichproben Gruppen hinsichtlich einer ordinalskalierten Variable unterscheiden Der Unterschied zum Kruskal Wallis Test ist dass hier auf das Vorliegen eines Trends zwischen den Gruppen getestet wird Die Nullhypothese H0 lautet dass alle Stichprobenwerte aus Grundgesamtheiten G i displaystyle G i mit identischer Verteilung gezogen wurden G 1 G 2 G c displaystyle G 1 G 2 dots G c Als Alternativhypothese HA gilt G 1 G 2 G c displaystyle G 1 leq G 2 leq dots leq G c wobei mindestens eine strikte Ungleichung gilt Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung 2 Verallgemeinerung 3 Literatur 4 EinzelnachweiseBerechnung BearbeitenDie Teststatistik J displaystyle J nbsp lautet fur eine Anzahl c displaystyle c nbsp von Gruppen G i displaystyle G i nbsp mit jeweils n i displaystyle n i nbsp Messungen J i lt j c U i j i 1 c 1 j i 1 c U i j displaystyle J sum i lt j c U ij sum i 1 c 1 sum j i 1 c U ij nbsp Dabei ist U i j displaystyle U ij nbsp definiert als U i j s 1 n i t 1 n j PS X j t X i s displaystyle U ij sum s 1 n i sum t 1 n j Psi X jt X is nbsp mit PS u 1 wenn u gt 0 0 wenn u 0 displaystyle Psi u begin cases 1 amp text wenn u gt 0 0 amp text wenn u leq 0 end cases nbsp oder im Falle von Bindungen gleichen Messwerten PS u 1 wenn u gt 0 1 2 wenn u 0 0 wenn u lt 0 displaystyle Psi u begin cases 1 amp text wenn u gt 0 1 2 amp text wenn u 0 0 amp text wenn u lt 0 end cases nbsp Die berechnete Prufgrosse J displaystyle J nbsp wird grosser wenn ein Trend zwischen den Gruppen vorhanden ist Unter allgemeinen Bedingungen ist die Prufgrosse J displaystyle J nbsp naherungsweise normalverteilt Fur den Erwartungswert m J displaystyle mu J nbsp und die Varianz s J displaystyle sigma J nbsp gelten folgende Formeln m J N 2 i 1 c n i 2 4 displaystyle mu J frac N 2 sum i 1 c n i 2 4 nbsp und s J N 2 2 N 3 i 1 c n i 2 2 n i 3 72 displaystyle sigma J sqrt frac N 2 2N 3 sum i 1 c n i 2 2n i 3 72 nbsp Die daraus durch Standardisierung erhaltene Variable Z displaystyle Z nbsp ist naherungsweise standardnormalverteilt wenn die Gesamtzahl N displaystyle N nbsp aller Stichprobenwerte grosser als 12 ist Z J m J s J displaystyle Z frac J mu J sigma J nbsp Oder anders ausgedruckt Bei einem einseitigen Test auf 5 Niveau Fehler 1 Art ist der Test signifikant wenn J gt m J 1 645 s J displaystyle J gt mu J 1 645 sigma J nbsp Verallgemeinerung BearbeitenEs lassen sich neben einem monotonen Trend auch Modelle bearbeiten bei denen ein anfanglicher Aufwartstrend an einem bestimmten Punkt in einen Abwartstrend ubergeht Dieses ist dann die Verallgemeinerung des Jonckheere Terpsta Tests der Umbrella Test nach Mack und Wolfe 1 Literatur BearbeitenA R Jonckheere A distribution free k sample test against ordered alternatives In Biometrica Band 41 1954 S 133 145 doi 10 1093 biomet 41 1 2 133 JSTOR 2333011 A R Jonckheere A test of significance for the relation between m rankings and k ranked categories In British Journal of Statistical Psychology Band 7 1954 S 93 100 doi 10 1111 j 2044 8317 1954 tb00148 x T J Terpstra The asymptotic normality and consistency of Kendall s test against trend when ties are present in one ranking In Indagationes Mathematicae Band 14 1952 S 327 333 W J Conover Practical Nonparametric Statistics 3 Auflage John Wiley amp Sons New York 1999 ISBN 0 471 16068 7 S 5 4 Einzelnachweise Bearbeiten D A Wolfe H B Mack K sample rank tests for umbrella alternatives In J Amer Statist Ass Band 76 1981 S 175 181 doi 10 1080 01621459 1981 10477625 JSTOR 2287064 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jonckheere Terpstra Test amp oldid 227529404