Als Komplementgraph, komplementären Graph oder Komplement bezeichnet man in der Graphentheorie einen speziellen Graphen, den man aus einem gegebenen Graphen erhält.
Dabei besitzt der komplementäre Graph die gleichen Knoten wie der Ursprungsgraph, unterscheidet sich aber in seinen Kanten: Der Komplementgraph besitzt genau die Kanten, die der Ursprungsgraph nicht hat.
Definition Bearbeiten
Sei ein ungerichteter bzw. gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten. Der ungerichtete bzw. gerichtete Graph ohne Mehrfachkanten heißt Komplementgraph von , wenn die Schnittmenge von und leer ist und die Vereinigungsmenge von und
- im ungerichteten Fall die Menge aller 2-elementigen Teilmengen von V bzw.
- im gerichteten Fall das kartesische Produkt
ergibt.
Der Komplementgraph eines gegebenen Graphen wird häufig auch mit bezeichnet. Als selbstkomplementär bezeichnet man Graphen, die isomorph zu ihrem komplementären Graphen sind.
Eigenschaften Bearbeiten
- Das Komplement des Komplementes von ist selbst.
- Ist , so gilt: Ist nicht zusammenhängend, dann ist zusammenhängend.
- Das Komplement eines bipartiten Graphen ist stets perfekt. Diese Aussage ist äquivalent zum Satz von König.
- Nach dem Satz von Loász ist ein Graph genau dann perfekt, wenn sein Komplementgraph perfekt ist.
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Reinhard Diestel: Graphentheorie. 3. Auflage. Springer, 2006, ISBN 978-3-662-53633-9, S. 138.