In der algebraischen Zahlentheorie versteht man unter einem Klassenkorper K displaystyle K uber einem vorgegebenen algebraischen Zahlkorper k displaystyle k eine Galoissche Erweiterung K k displaystyle K k deren Automorphismengruppe Gal K k displaystyle operatorname Gal K k zu einer verallgemeinerten Idealklassengruppe C k displaystyle mathcal C k des Grundkorpers k displaystyle k isomorph ist Der Isomorphismus Gal K k C k displaystyle operatorname Gal K k simeq mathcal C k motiviert die Bezeichnung von K displaystyle K als Klassenkorper Da jede verallgemeinerte Idealklassengruppe C k displaystyle mathcal C k eine abelsche kommutative Gruppe ist sind alle Klassenkorper K displaystyle K von k displaystyle k abelsche Erweiterungen Diese Verallgemeinerungen der gewohnlichen Klassengruppe I k H k displaystyle mathcal I k mathcal H k also des Quotienten der Gruppe der gebrochenen Ideale von k displaystyle k nach der Untergruppe der Hauptideale mussen im nachfolgenden Abschnitt genau beschrieben werden um die Klassenkorper uber k displaystyle k prazise definieren zu konnen Inhaltsverzeichnis 1 Verallgemeinerte Idealklassengruppen 2 Frobenius Automorphismus und Artin Abbildung 3 Hauptsatze der Klassenkorpertheorie 3 1 Existenz und Eindeutigkeit 3 2 Fuhrer Satz 3 3 Zerlegungs Satz 3 4 Anordnungs Satz 4 Strahlklassenkorper 5 Unverzweigte Erweiterungen 6 Ringklassenkorper 7 Idele theoretische Neuformulierung 7 1 Existenz und Eindeutigkeit 7 2 Umkehr Satz 7 3 Anordnungs Satz 7 4 Hilbertscher Klassenkorper 8 Satz von Kronecker Weber und Hilbert 9 EinzelnachweiseVerallgemeinerte Idealklassengruppen BearbeitenEine verallgemeinerte Idealklassengruppe C k displaystyle mathcal C k nbsp eines algebraischen Zahlkorpers k displaystyle k nbsp mit Ganzheitsring O k displaystyle mathcal O k nbsp wird folgendermassen definiert Es sei m 0 displaystyle mathfrak m 0 nbsp ein ganzes Ideal von O k displaystyle mathcal O k nbsp also m 0 p 1 v 1 p t v t displaystyle mathfrak m 0 mathfrak p 1 v 1 cdots mathfrak p t v t nbsp mit t 0 displaystyle t geq 0 nbsp Primidealen p 1 p t displaystyle mathfrak p 1 ldots mathfrak p t nbsp von O k displaystyle mathcal O k nbsp und positiven ganzen Exponenten v i 1 displaystyle v i geq 1 nbsp v 1 v t displaystyle v 1 ldots v t nbsp konnen als Werte v 1 m 0 v t m 0 displaystyle v 1 mathfrak m 0 ldots v t mathfrak m 0 nbsp von nicht archimedischen Stellen von k displaystyle k nbsp aufgefasst werden Besitzt k displaystyle k nbsp die Signatur r 1 r 2 displaystyle r 1 r 2 nbsp mit r 1 displaystyle r 1 nbsp reellen Einbettungen und r 2 displaystyle r 2 nbsp Paaren von konjugiert komplexen Einbettungen und daher den Grad k Q r 1 2 r 2 displaystyle lbrack k mathbb Q rbrack r 1 2r 2 nbsp dann seien w 1 w s displaystyle w 1 ldots w s nbsp mit 0 s r 1 displaystyle 0 leq s leq r 1 nbsp reelle archimedische Stellen von k displaystyle k nbsp Diese Stellen werden zusammengefasst in einem formalen Kongruenzmodul der auch Erklarungsmodul oder Divisor genannt wird m m 0 m displaystyle mathfrak m mathfrak m 0 cdot mathfrak m infty nbsp mit dem quadratfreien formalen Produkt m w 1 w s displaystyle mathfrak m infty w 1 cdots w s nbsp also 1 m m 0 m p 1 v 1 p t v t w 1 w s displaystyle 1 qquad mathfrak m mathfrak m 0 cdot mathfrak m infty mathfrak p 1 v 1 cdots mathfrak p t v t cdot w 1 cdots w s nbsp Die Gruppe der zu m 0 displaystyle mathfrak m 0 nbsp teilerfremden gebrochenen Ideale von k displaystyle k nbsp wird mit I k m displaystyle mathcal I k mathfrak m nbsp bezeichnet Sie enthalt eine Untergruppe H k m displaystyle mathcal H k mathfrak m nbsp von Hauptidealen den sogenannten Strahl modulo m displaystyle mathfrak m nbsp von k displaystyle k nbsp dessen Elemente a displaystyle alpha nbsp den folgenden Bedingungen genugen v i a 1 v i m 0 displaystyle v i alpha 1 geq v i mathfrak m 0 nbsp fur alle 1 i t displaystyle 1 leq i leq t nbsp und w j a gt 0 displaystyle w j alpha gt 0 nbsp fur alle 1 j s displaystyle 1 leq j leq s nbsp Diese Bedingungen werden als formale multiplikative Kongruenz a 1 m o d m displaystyle alpha equiv 1 mathrm mod times mathfrak m nbsp notiert Der Quotient 2 C k m I k m H k m displaystyle 2 qquad mathcal C k mathfrak m mathcal I k mathfrak m mathcal H k mathfrak m nbsp heisst Strahlklassengruppe modulo m displaystyle mathfrak m nbsp von k displaystyle k nbsp und fur jede Zwischengruppe H k m H I k m displaystyle mathcal H k mathfrak m leq H leq mathcal I k mathfrak m nbsp ist der Quotient 3 C k I k m H displaystyle 3 qquad mathcal C k mathcal I k mathfrak m H nbsp eine verallgemeinerte Idealklassengruppe von k displaystyle k nbsp im Sinne von H Weber 1 Fur den Beweis des Isomorphie Satzes Gal K k I k m H displaystyle operatorname Gal K k simeq mathcal I k mathfrak m H nbsp benotigt man noch die mittels der Frobenius Automorphismen definierte Artin Abbildung Frobenius Automorphismus und Artin Abbildung BearbeitenZunachst sei K k displaystyle K k nbsp eine beliebige endliche Galois Erweiterung algebraischer Zahlkorper mit Ganzheitsringen O K displaystyle mathcal O K nbsp und O k displaystyle mathcal O k nbsp Ist dann P displaystyle mathfrak P nbsp ein Primideal von O K displaystyle mathcal O K nbsp welches uber einem Primideal p displaystyle mathfrak p nbsp von O k displaystyle mathcal O k nbsp liegt also P O k p displaystyle mathfrak P cap mathcal O k mathfrak p nbsp dann wird die zyklische Galoisgruppe G Gal O K P O k p displaystyle G operatorname Gal mathcal O K mathfrak P mathcal O k mathfrak p nbsp der zugehorigen Erweiterung von endlichen Restklassenkorpern O K P O k p F N P F N p displaystyle mathcal O K mathfrak P mathcal O k mathfrak p simeq mathbb F N mathfrak P mathbb F N mathfrak p nbsp durch den lokalen Frobenius Automorphismus von p displaystyle mathfrak p nbsp mit der Abbildungsvorschrift f r p x x N p displaystyle fr mathfrak p x mapsto x N mathfrak p nbsp erzeugt also G f r p displaystyle G langle fr mathfrak p rangle nbsp Die Inklusion der Tragheitsuntergruppe inertia subgroup in die Zerlegungsuntergruppe decomposition subgroup von P p displaystyle mathfrak P mathfrak p nbsp bewirkt eine exakte Sequenz 1 I P p D P p G 1 displaystyle 1 to I mathfrak P mathfrak p to D mathfrak P mathfrak p to G to 1 nbsp und wenn jetzt P p displaystyle mathfrak P mathfrak p nbsp unverzweigt bleibt dann wird I P p 1 displaystyle I mathfrak P mathfrak p 1 nbsp und die Sequenz entartet zu einem Isomorphismus D P p G f r p displaystyle D mathfrak P mathfrak p simeq G langle fr mathfrak p rangle nbsp der sich als globaler Frobenius Automorphismus D P p s P Gal K k displaystyle D mathfrak P mathfrak p langle sigma mathfrak P rangle leq operatorname Gal K k nbsp mit der Kongruenzbedingung s P x x N P m o d P displaystyle sigma mathfrak P x equiv x N mathfrak P mathrm mod mathfrak P nbsp fortsetzt Die Frobenius Automorphismen der zu P displaystyle mathfrak P nbsp konjugierten Primideale t P t p p displaystyle tau mathfrak P tau mathfrak p mathfrak p nbsp mit t Gal K k displaystyle tau in operatorname Gal K k nbsp sind gegeben durch s t P t s P t 1 displaystyle sigma tau mathfrak P tau sigma mathfrak P tau 1 nbsp Wenn schliesslich K k displaystyle K k nbsp eine abelsche Erweiterung ist dann sind alle konjugierten Frobenius Automorphismen identisch und werden mit s p s P s t P displaystyle sigma mathfrak p sigma mathfrak P sigma tau mathfrak P nbsp bezeichnet Fur eine abelsche Erweiterung K k displaystyle K k nbsp mit Relativdiskriminante D displaystyle mathfrak D nbsp ausserhalb derer ja alle Primideale unverzweigt sind braucht daher die zugehorige Artin Abbildung s s K k I k D Gal K k displaystyle sigma sigma K k mathcal I k mathfrak D to operatorname Gal K k nbsp aufgrund multiplikativer Fortsetzung nur auf den Primidealen erklart zu werden durch p s p displaystyle mathfrak p mapsto sigma mathfrak p nbsp in Termen der globalen Frobenius Automorphismen Sie ist ein Epimorphismus mit Kern H H k D N K k I k D displaystyle H mathcal H k mathfrak D cdot N K k mathcal I k mathfrak D nbsp also I k D H Gal K k displaystyle mathcal I k mathfrak D H simeq operatorname Gal K k nbsp Hauptsatze der Klassenkorpertheorie BearbeitenDie Hauptsatze in der klassischen ideal theoretischen Sprechweise wurden 1920 von T Takagi publiziert und konnen folgendermassen formuliert werden 2 3 Existenz und Eindeutigkeit Bearbeiten Zu einem formalen Kongruenzmodul m m 0 m displaystyle mathfrak m mathfrak m 0 cdot mathfrak m infty nbsp von k displaystyle k nbsp und einer vorgegebenen Zwischengruppe H k m H I k m displaystyle mathcal H k mathfrak m leq H leq mathcal I k mathfrak m nbsp gibt es genau eine abelsche Erweiterung K k displaystyle K k nbsp in der hochstens Primideale p m 0 displaystyle mathfrak p mid mathfrak m 0 nbsp verzweigt sind und hochstens reelle archimedische Stellen w m displaystyle w mid mathfrak m infty nbsp komplex werden die also ausserhalb von m displaystyle mathfrak m nbsp unverzweigt ist sodass die Idealnormengruppe H k m N K k I k m displaystyle mathcal H k mathfrak m cdot N K k mathcal I k mathfrak m nbsp der Erweiterung K displaystyle K nbsp mit H displaystyle H nbsp ubereinstimmt und die Galoisgruppe Gal K k displaystyle operatorname Gal K k nbsp zur verallgemeinerten Idealklassengruppe I k m H displaystyle mathcal I k mathfrak m H nbsp isomorph ist Fuhrer Satz Bearbeiten Zu einer endlichen abelschen Erweiterung K k displaystyle K k nbsp gibt es genau einen minimalen Divisor f m 0 m displaystyle mathfrak f mathfrak m 0 cdot mathfrak m infty nbsp von k displaystyle k nbsp den sogenannten Relativ Fuhrer von K k displaystyle K k nbsp sodass die folgenden drei Bedingungen erfullt sind Ein Primideal p displaystyle mathfrak p nbsp von O k displaystyle mathcal O k nbsp ist genau dann verzweigt in K displaystyle K nbsp wenn p m 0 displaystyle mathfrak p mid mathfrak m 0 nbsp Eine reelle archimedische Stelle w displaystyle w nbsp von k displaystyle k nbsp wird genau dann komplex in K displaystyle K nbsp wenn w m displaystyle w mid mathfrak m infty nbsp Fur jedes Vielfache m displaystyle mathfrak m nbsp des Fuhrers f displaystyle mathfrak f nbsp also fur jeden Divisor m displaystyle mathfrak m nbsp von k displaystyle k nbsp mit f m displaystyle mathfrak f mid mathfrak m nbsp gibt es eine Zwischengruppe H k m H I k m displaystyle mathcal H k mathfrak m leq H leq mathcal I k mathfrak m nbsp sodass Gal K k I k m H displaystyle operatorname Gal K k simeq mathcal I k mathfrak m H nbsp Zerlegungs Satz Bearbeiten Es sei K k displaystyle K k nbsp eine endliche abelsche Erweiterung mit zugehoriger Idealgruppe H displaystyle H nbsp wobei H k m H I k m displaystyle mathcal H k mathfrak m leq H leq mathcal I k mathfrak m nbsp und p displaystyle mathfrak p nbsp sei ein Primideal des Grundkorpers k displaystyle k nbsp Ist dann H p displaystyle H mathfrak p nbsp die kleinste H displaystyle H nbsp enthaltende Idealgruppe von k displaystyle k nbsp deren Fuhrer zu p displaystyle mathfrak p nbsp teilerfremd ist besitzt sie den Index I k m H p e displaystyle mathcal I k mathfrak m H mathfrak p e nbsp und ist p f displaystyle mathfrak p f nbsp die kleinste Potenz von p displaystyle mathfrak p nbsp die in H p displaystyle H mathfrak p nbsp enthalten ist dann zerfallt p displaystyle mathfrak p nbsp in K displaystyle K nbsp in e displaystyle e nbsp te Potenzen verschiedener Primideale P displaystyle mathfrak P nbsp vom Relativgrad f displaystyle f nbsp Anordnungs Satz Bearbeiten Sind K 1 k displaystyle K 1 k nbsp und K 2 k displaystyle K 2 k nbsp abelsche Erweiterungen mit Fuhrern f 1 displaystyle mathfrak f 1 nbsp und f 2 displaystyle mathfrak f 2 nbsp und ist m displaystyle mathfrak m nbsp ein gemeinsames Vielfaches von f 1 displaystyle mathfrak f 1 nbsp und f 2 displaystyle mathfrak f 2 nbsp zum Beispiel aber nicht zwingend das kleinste gemeinsame Vielfache mit entsprechenden Zwischengruppen H k m H 1 H 2 I k m displaystyle mathcal H k mathfrak m leq H 1 H 2 leq mathcal I k mathfrak m nbsp dann gilt das Antitonie Prinzip 4 K 1 K 2 displaystyle 4 qquad K 1 geq K 2 nbsp genau dann wenn H 1 H 2 displaystyle H 1 leq H 2 nbsp Die logische Struktur dieser Satze ist fur Unterrichtszwecke von H Hasse und A Scholz in besonders vorbildlicher didaktischer und propadeutischer Weise noch weiter aufgegliedert worden 4 Strahlklassenkorper BearbeitenDie maximale ausserhalb von m displaystyle mathfrak m nbsp unverzweigte abelsche Erweiterung F m k displaystyle F mathfrak m k nbsp von k displaystyle k nbsp entspricht nach dem Anordnungssatz der minimalen Zwischengruppe H k m H lt I k m displaystyle mathcal H k mathfrak m H lt mathcal I k mathfrak m nbsp also dem Strahl modulo m displaystyle mathfrak m nbsp von k displaystyle k nbsp und heisst der Strahlklassenkorper modulo m displaystyle mathfrak m nbsp von k displaystyle k nbsp mit Galoisgruppe Gal F m k k I k m H k m displaystyle operatorname Gal F mathfrak m k k simeq mathcal I k mathfrak m mathcal H k mathfrak m nbsp isomorph zur Strahlklassengruppe modulo m displaystyle mathfrak m nbsp von k displaystyle k nbsp Jede andere ausserhalb von einem Teiler f m displaystyle mathfrak f mid mathfrak m nbsp unverzweigte abelsche Erweiterung K displaystyle K nbsp von k displaystyle k nbsp ist notwendigerweise in F m k displaystyle F mathfrak m k nbsp enthalten und heisst der zur Idealnormengruppe H H k f N K k I k f displaystyle H mathcal H k mathfrak f cdot N K k mathcal I k mathfrak f nbsp gehorige Klassenkorper von k displaystyle k nbsp Es sei ausdrucklich hervorgehoben dass somit der Strahlklassenkorper F m k displaystyle F mathfrak m k nbsp ein ganzes im Allgemeinen nur partiell aber nicht total geordnetes Netzwerk von kleineren Strahlklassenkorpern F f k displaystyle F mathfrak f k nbsp umfasst entsprechend dem kompletten Teilerverband f m displaystyle mathfrak f mid mathfrak m nbsp des Kongruenzmoduls m displaystyle mathfrak m nbsp Unverzweigte Erweiterungen BearbeitenIm Sonderfall des Eins Ideals m 1 O k displaystyle mathfrak m 1 mathcal O k nbsp als Kongruenzmodul entartet der Strahl modulo m displaystyle mathfrak m nbsp zur Hauptidealgruppe H k m H k displaystyle mathcal H k mathfrak m mathcal H k nbsp und der Existenz und Eindeutigkeitssatz liefert das folgende spezielle Ergebnis Es existiert genau eine maximale uberall unverzweigte abelsche Erweiterung F 1 k k displaystyle F 1 k k nbsp deren Galoisgruppe Gal F 1 k k I k H k displaystyle operatorname Gal F 1 k k simeq mathcal I k mathcal H k nbsp isomorph zur gewohnlichen Idealklassengruppe von k displaystyle k nbsp ist Sie heisst Hilbertscher Klassenkorper von k displaystyle k nbsp und fur sie gilt der spezielle Zerlegungssatz Ein Primideal p displaystyle mathfrak p nbsp von O k displaystyle mathcal O k nbsp ist in F 1 k displaystyle F 1 k nbsp genau dann voll zerlegt wenn es ein Hauptideal ist Bei voller Zerlegung ist namlich die Gruppe D P p 1 displaystyle D mathfrak P mathfrak p 1 nbsp trivial also auch der Frobenius Automorphismus s p 1 displaystyle sigma mathfrak p 1 nbsp und p ker s H k displaystyle mathfrak p in ker sigma mathcal H k nbsp liegt im Kern der Artin Abbildung Nimmt man weiterhin den trivialen Erklarungsmodul m 1 displaystyle mathfrak m 1 nbsp vergrossert aber die Zwischengruppe H k H I k displaystyle mathcal H k leq H leq mathcal I k nbsp derart dass H H k displaystyle H mathcal H k nbsp fur eine vorgegebene Primzahl p displaystyle p nbsp genau der Nicht p displaystyle p nbsp Anteil von I k H k displaystyle mathcal I k mathcal H k nbsp ist dann folgt die Existenz genau einer maximalen uberall unverzweigten abelschen p displaystyle p nbsp Erweiterung F p 1 k k displaystyle F p 1 k k nbsp deren Galoisgruppe Gal F p 1 k k C p k S y l p C k displaystyle operatorname Gal F p 1 k k simeq mathcal C p k Syl p mathcal C k nbsp isomorph zur Sylow p displaystyle p nbsp Untergruppe der Idealklassengruppe von k displaystyle k nbsp ist Sie heisst Hilbertscher p displaystyle p nbsp Klassenkorper von k displaystyle k nbsp Nach dem Anordnungssatz ist k F p 1 k F 1 k displaystyle k leq F p 1 k leq F 1 k nbsp Durch die iterierte Konstruktion der Folge von hoheren p displaystyle p nbsp Klassenkorpern entsteht der p displaystyle p nbsp Klassenkorperturm Im Gegensatz zu den in diesem Artikel behandelten durchwegs abelschen Klassenkorpern uber dem Grundkorper ist der Turm jedoch ein nicht abelsches Phanomen Schliesslich sei noch die Situation betrachtet dass zwar samtliche Primideale p displaystyle mathfrak p nbsp von O k displaystyle mathcal O k nbsp also anders ausgedruckt die nicht archimedischen Stellen von k displaystyle k nbsp in der abelschen Erweiterung K k displaystyle K k nbsp unverzweigt bleiben mussen dass jedoch die reellen archimedischen Stellen w 1 w r 1 displaystyle w 1 ldots w r 1 nbsp in Paare von konjugiert komplexen archimedischen Stellen zerfallen oder wie man auch sagt verzweigen durfen Unter Zugrundelegung des formalen Divisors m w 1 w r 1 displaystyle mathfrak m infty w 1 cdots w r 1 nbsp bleibt zwar I k m I k displaystyle mathcal I k mathfrak m infty mathcal I k nbsp wie oben aber die Untergruppe der Hauptideale H k H k m H k displaystyle mathcal H k mathcal H k mathfrak m infty leq mathcal H k nbsp sowie deren Nebenklassen werden durch die Positivitats Bedingungen in der formalen multiplikativen Kongruenz im Allgemeinen eingeengt und es gibt eine eindeutig bestimmte maximale an allen nicht archimedischen Stellen von k displaystyle k nbsp unverzweigte abelsche Erweiterung K k displaystyle K k nbsp sodass die Galoisgruppe Gal K k C k I k H k displaystyle operatorname Gal K k simeq mathcal C k mathcal I k mathcal H k nbsp isomorph zur Gruppe der engeren Idealklassen von k displaystyle k nbsp ist Diese wird in der Literatur auch etwas irrefuhrend als engere Klassengruppe bezeichnet aber die engere Klassenzahl h k displaystyle h k nbsp kann bis zu 2 r 1 displaystyle 2 r 1 nbsp mal grosser als die gewohnliche Klassenzahl h k displaystyle h k nbsp sein K displaystyle K nbsp heisst der engere Hilbertsche Klassenkorper von k displaystyle k nbsp Nach dem Anordnungssatz ist k F 1 k K displaystyle k leq F 1 k leq K nbsp Ringklassenkorper BearbeitenNimmt man fur eine positive ganze Zahl f 1 displaystyle f geq 1 nbsp das Hauptideal f O k displaystyle f mathcal O k nbsp als Kongruenzmodul m f displaystyle mathfrak m f nbsp und den sogenannten Ring modulo f displaystyle f nbsp von k displaystyle k nbsp H R k f Q f H k f displaystyle H mathcal R k f mathbb Q times f cdot mathcal H k f nbsp als Zwischengruppe H k f H I k f displaystyle mathcal H k f leq H leq mathcal I k f nbsp zwischen dem Strahl modulo f displaystyle f nbsp und der zu f displaystyle f nbsp teilerfremden Idealgruppe von k displaystyle k nbsp dann erhalt man als zugehorigen Klassenkorper K f displaystyle K f nbsp den Ringklassenkorper modulo f displaystyle f nbsp von k displaystyle k nbsp mit Galoisgruppe Gal K f k I k f R k f displaystyle operatorname Gal K f k simeq mathcal I k f mathcal R k f nbsp isomorph zur Ringklassengruppe modulo f displaystyle f nbsp von k displaystyle k nbsp Diese Begriffsbildung erweist sich besonders fur imaginare und reelle quadratische Grundkorper k Q d displaystyle k mathbb Q sqrt d nbsp als hilfreich weil fur eine ungerade Primzahl p displaystyle p nbsp der p displaystyle p nbsp Ringklassenkorper K p f displaystyle K p f nbsp modulo f displaystyle f nbsp von k displaystyle k nbsp nur Normalkorper k N K p f displaystyle k leq N leq K p f nbsp mit Diedergruppe der Ordnung 2 p displaystyle 2p nbsp als absoluter Galoisgruppe Gal N Q displaystyle operatorname Gal N mathbb Q nbsp enthalt aber keine Komposita von k displaystyle k nbsp mit zyklischen Zahlkorpern vom Grad p displaystyle p nbsp und keine nicht Galoisschen Zwischenkorper Der p displaystyle p nbsp Ringklassenkorper ist im p displaystyle p nbsp Strahlklassenkorper modulo f displaystyle f nbsp enthalten k K p f F p f k displaystyle k leq K p f leq F p f k nbsp aber nur letzterer umfasst die genannten Komposita und nicht Galoisschen Zwischenkorper Idele theoretische Neuformulierung BearbeitenDie Notwendigkeit fur den Vergleich zweier verschiedener abelscher Erweiterungen K 1 k displaystyle K 1 k nbsp und K 2 k displaystyle K 2 k nbsp mit Fuhrern f 1 displaystyle mathfrak f 1 nbsp und f 2 displaystyle mathfrak f 2 nbsp ein gemeinsames Vielfaches m displaystyle mathfrak m nbsp von f 1 displaystyle mathfrak f 1 nbsp und f 2 displaystyle mathfrak f 2 nbsp als Erklarungsmodul finden zu mussen wird in der modernen Mathematik als veraltet betrachtet vor allem von franzosischen Mathematikern Sie kann namlich mit Hilfe der durch den franzosischen Mathematiker C Chevalley eingefuhrten eleganteren Begriffe der Idelgruppe I k displaystyle I k nbsp und Idelklassengruppe C k displaystyle C k nbsp anstelle der Idealgruppe I k displaystyle mathcal I k nbsp und Idealklassengruppe C k displaystyle mathcal C k nbsp eines Zahlkorpers k displaystyle k nbsp vermieden werden Ausserdem erlauben diese allgemeineren Begriffe auch die zwanglose Behandlung unendlicher Erweiterungen K k displaystyle K k nbsp allerdings unter Berucksichtigung der zusatzlichen topologischen Struktur Die Hauptsatze der Klassenkorpertheorie in der modernen idele theoretischen Sprechweise lauten dann folgendermassen Existenz und Eindeutigkeit Bearbeiten Zu jeder offenen und zugleich abgeschlossenen Zwischengruppe k H I k displaystyle k times leq H leq I k nbsp mit endlichem Index I k H displaystyle I k H nbsp zwischen der Hauptidelgruppe k displaystyle k times nbsp und der Idelgruppe I k displaystyle I k nbsp existiert genau eine abelsche Erweiterung K k displaystyle K k nbsp sodass die Idelnormengruppe k N K k I K displaystyle k times cdot N K k I K nbsp der Erweiterung K displaystyle K nbsp mit H displaystyle H nbsp ubereinstimmt Oder aquivalent mit der Idelklassengruppe statt mit der Idelgruppe ausgedruckt Zu jeder offenen und zugleich abgeschlossenen Untergruppe H C k displaystyle H leq C k nbsp mit endlichem Index C k H displaystyle C k H nbsp gibt es genau eine abelsche Erweiterung K k displaystyle K k nbsp sodass die Idelklassennormengruppe N K k C K displaystyle N K k C K nbsp der Erweiterung K displaystyle K nbsp mit H displaystyle H nbsp ubereinstimmt Fur die Miteinbeziehung unendlicher Erweiterungen benotigt man die Zusammenhangskomponente D k displaystyle D k nbsp der Hauptklasse k displaystyle k times nbsp in der Idelklassengruppe C k I k k displaystyle C k I k k times nbsp Zu jeder abgeschlossenen Zwischengruppe D k H C k displaystyle D k leq H leq C k nbsp also mit total unzusammenhangendem Quotienten C k H displaystyle C k H nbsp existiert genau eine abelsche Erweiterung K k displaystyle K k nbsp sodass Gal K k C k H displaystyle operatorname Gal K k simeq C k H nbsp Umkehr Satz Bearbeiten Zu jeder endlichen abelschen Erweiterung K k displaystyle K k nbsp gibt es einen Isomorphismus der Galoisgruppe Gal K k displaystyle operatorname Gal K k nbsp zur Normklassengruppe I k k N K k I K C k N K k C K displaystyle I k k times cdot N K k I K simeq C k N K k C K nbsp der Idelgruppe I K displaystyle I K nbsp beziehungsweise der Idelklassengruppe C K displaystyle C K nbsp der Erweiterung K displaystyle K nbsp Eine nicht archimedische Stelle also ein Primideal p displaystyle mathfrak p nbsp des Grundkorpers k displaystyle k nbsp ist genau dann unverzweigt in der Erweiterung K displaystyle K nbsp wenn die lokalen p displaystyle mathfrak p nbsp adischen Einheiten U p k N K k I K displaystyle U mathfrak p leq k times cdot N K k I K nbsp in der Idelnormengruppe von K displaystyle K nbsp enthalten sind Eine reelle archimedische Stelle w displaystyle w nbsp des Grundkorpers k displaystyle k nbsp bleibt genau dann reell in der Erweiterung K displaystyle K nbsp wenn die lokalen w displaystyle w nbsp Einheiten R w k N K k I K displaystyle mathbb R times w leq k times cdot N K k I K nbsp in der Idelnormengruppe enthalten sind Unter Miteinbeziehung unendlicher Erweiterungen kann man den Satz neu formulieren Zu jeder beliebigen abelschen Erweiterung K k displaystyle K k nbsp gibt es eine abgeschlossene Zwischengruppe D k H C k displaystyle D k leq H leq C k nbsp sodass Gal K k C k H displaystyle operatorname Gal K k simeq C k H nbsp Eine nicht archimedische oder reelle archimedische Stelle w displaystyle w nbsp des Grundkorpers k displaystyle k nbsp bleibt genau dann unverzweigt in der Erweiterung K displaystyle K nbsp wenn k U w k H displaystyle k times cdot U w k times leq H nbsp Anordnungs Satz Bearbeiten Sind K 1 k displaystyle K 1 k nbsp und K 2 k displaystyle K 2 k nbsp endliche abelsche Erweiterungen dann gilt das Antitonie Prinzip 5 K 1 K 2 displaystyle 5 qquad K 1 geq K 2 nbsp genau dann wenn k N K 1 k I K 1 k N K 2 k I K 2 displaystyle k times cdot N K 1 k I K 1 leq k times cdot N K 2 k I K 2 nbsp Hilbertscher Klassenkorper Bearbeiten Gemass Umkehrsatz ist eine abelsche Erweiterung K k displaystyle K k nbsp uberall unverzweigt wenn das Produkt aller lokalen Einheiten U w U w displaystyle U prod w U w nbsp in der Idelnormengruppe k N K k I K displaystyle k times cdot N K k I K nbsp von K displaystyle K nbsp enthalten ist Insbesondere muss fur die maximale uberall unverzweigte abelsche Erweiterung F k k displaystyle F k k nbsp laut Anordnungssatz die zugehorige Zwischengruppe von Idelen minimal sein also H k N K k I K k U displaystyle H k times cdot N K k I K k times cdot U nbsp woraus sich eine ganz fundamentale Isomorphie der Galoisgruppe von F k k displaystyle F k k nbsp 6 Gal F k k I k k N K k I K I k k U I k H k C k displaystyle 6 qquad operatorname Gal F k k simeq I k k times cdot N K k I K I k k times cdot U simeq mathcal I k mathcal H k mathcal C k nbsp zur gewohnlichen Idealklassengruppe des Grundkorpers k displaystyle k nbsp ergibt weil die kanonische Projektion I k I k displaystyle I k to mathcal I k nbsp den Kern U displaystyle U nbsp besitzt und k displaystyle k times nbsp in H k displaystyle mathcal H k nbsp abbildet Diese maximale uberall unverzweigte abelsche Erweiterung von k displaystyle k nbsp wird der Hilbertsche Klassenkorper von k genannt Satz von Kronecker Weber und Hilbert BearbeitenL Kronecker hat 1853 festgestellt dass jeder absolut abelsche Zahlkorper K displaystyle K nbsp also mit kommutativer Galoisgruppe Gal K Q displaystyle operatorname Gal K mathbb Q nbsp uber dem rationalen Zahlkorper in einem Kreisteilungskorper zyklotomischen Korper enthalten ist aber sein Beweis war unvollstandig H Weber schlug 1886 einen neuen Beweis vor der aber ebenfalls noch eine Lucke hatte Erst D Hilbert gelang 1896 der vollstandige Beweis dieses Kronecker Weber Theorems Im Rahmen der Theorie der Kreiskorper aufgefasst als Strahlklassenkorper uber Q displaystyle mathbb Q nbsp kann der Satz relativ leicht bewiesen werden Es sei also n 1 displaystyle n geq 1 nbsp eine positive ganze Zahl und z n displaystyle zeta n nbsp eine primitive n displaystyle n nbsp te Einheitswurzel etwa e x p 2 p 1 n displaystyle mathrm exp 2 pi sqrt 1 n nbsp also K n Q z n displaystyle K n mathbb Q zeta n nbsp der n displaystyle n nbsp te Kreisteilungskorper Dann ist die Artin Abbildung s s Q z n Q I Q n Gal Q z n Q displaystyle sigma sigma mathbb Q zeta n mathbb Q mathcal I mathbb Q n to operatorname Gal mathbb Q zeta n mathbb Q nbsp p s p displaystyle p mapsto sigma p nbsp mit s p z n z n p displaystyle sigma p zeta n zeta n p nbsp fur Primzahlen p n displaystyle p nmid n nbsp ein Epimorphismus mit Kern ker s H Q m displaystyle ker sigma mathcal H mathbb Q mathfrak m nbsp wobei der Kongruenzmodul m n w displaystyle mathfrak m n cdot w nbsp die einzige reelle archimedische Stelle w displaystyle w nbsp von Q displaystyle mathbb Q nbsp enthalt weil diese ja fur n 3 displaystyle n geq 3 nbsp im total komplexen zyklotomischen Korper Q z n displaystyle mathbb Q zeta n nbsp in Paare von konjugiert komplexen archimedischen Stellen zerfallen oder wie man auch sagt verzweigen muss Also induziert s displaystyle sigma nbsp einen Isomorphismus I Q n w H Q n w Gal Q z n Q U Z n Z displaystyle mathcal I mathbb Q n cdot w mathcal H mathbb Q n cdot w simeq operatorname Gal mathbb Q zeta n mathbb Q simeq U mathbb Z n mathbb Z nbsp zur primen Restklassengruppe modulo n displaystyle n nbsp Ohne die Stelle w displaystyle w nbsp landet man notgedrungen bei einer total reellen Erweiterung namlich beim maximalen reellen Teilkorper K n Q z n z n 1 displaystyle K n mathbb Q zeta n zeta n 1 nbsp des n displaystyle n nbsp ten Kreisteilungskorpers K n Q z n displaystyle K n mathbb Q zeta n nbsp und I Q n H Q n Gal Q z n z n 1 Q U Z n Z 1 displaystyle mathcal I mathbb Q n mathcal H mathbb Q n simeq operatorname Gal mathbb Q zeta n zeta n 1 mathbb Q simeq U mathbb Z n mathbb Z langle 1 rangle nbsp Das Kronecker Weber Theorem in Termen der Klassenkorpertheorie lautet also folgendermassen Zu jedem absolut abelschen Zahlkorper K Q displaystyle K mathbb Q nbsp gibt es eine positive ganze Zahl n 1 displaystyle n geq 1 nbsp und eine Idealgruppe H Q n w H I Q n w displaystyle mathcal H mathbb Q n cdot w leq H leq mathcal I mathbb Q n cdot w nbsp namlich die Idealnormengruppe H H Q n w N K Q I K n w displaystyle H mathcal H mathbb Q n cdot w cdot N K mathbb Q mathcal I K n cdot w nbsp sodass Gal K Q I Q n w H displaystyle operatorname Gal K mathbb Q simeq mathcal I mathbb Q n cdot w H nbsp und nach dem Anordnungssatz muss K Q z n displaystyle K leq mathbb Q zeta n nbsp sein Einzelnachweise Bearbeiten Weber H Uber Zahlengruppen in algebraischen Korpern In Math Ann 48 49 50 Jahrgang 1896 S 433 83 1 Takagi T Uber eine Theorie des relativ Abel schen Zahlkorpers In Journ Coll Science Tokyo Imp Univ 41 Jahrgang Nr 9 1920 S 1 133 Takagi T Uber das Reziprozitatsgesetz in einem beliebigen algebraischen Zahlkorpers In Journ Coll Science Tokyo Imp Univ 44 Jahrgang Nr 5 1920 S 1 50 Hasse H Scholz A Zur Klassenkorpertheorie auf Takagischer Grundlage In Math Zeitschr 29 Jahrgang 1929 S 60 69 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Klassenkorper amp oldid 226248451
