Eine Kettenwurzel ist ein Ausdruck der Form p 1 a p 2 a p 3 a p 4 a displaystyle left left left p 1 a p 2 right a p 3 right a p 4 right a dotsb wobei 0 lt a lt 1 displaystyle 0 lt a lt 1 und p n n N displaystyle left p n right n in mathbb N eine Folge positiver reeller Zahlen ist Aus einer so definierten Kettenwurzel lasst sich die Kettenwurzel Folge P n n N displaystyle left P n right n in mathbb N mit P 1 p 1 a displaystyle P 1 p 1 a P 2 p 1 a p 2 a displaystyle P 2 left p 1 a p 2 right a P 3 p 1 a p 2 a p 3 a displaystyle P 3 left left p 1 a p 2 right a p 3 right a P 4 p 1 a p 2 a p 3 a p 4 a displaystyle P 4 left left left p 1 a p 2 right a p 3 right a p 4 right a bilden Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele quadratischer Kettenwurzeln 2 Konvergenzkriterium 3 Konvergenz bei konstanten zugrundeliegenden Folgen 3 1 Grenzwerte bei speziellen konstanten Folgen 3 2 Grenzwerte bei allgemeinen konstanten Folgen 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBeispiele quadratischer Kettenwurzeln BearbeitenIst a 1 2 displaystyle a frac 1 2 nbsp so sind p n a displaystyle p n a nbsp Quadratwurzeln n N displaystyle n in mathbb N nbsp Fur p n 1 displaystyle p n 1 nbsp ist1 1 1 1 1 5 2 F displaystyle sqrt 1 sqrt 1 sqrt 1 sqrt 1 dotsb frac 1 sqrt 5 2 Phi nbsp der Goldene Schnitt dd Fur p n 2 displaystyle p n 2 nbsp gilt2 2 2 2 2 displaystyle sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 dotsb 2 nbsp dd Naherungsweise gilt Mit p n n displaystyle p n n nbsp 1 2 3 4 1 757932757 displaystyle sqrt 1 sqrt 2 sqrt 3 sqrt 4 dotsb approx 1 757932757 nbsp dd Mit p n n n displaystyle p n n n nbsp 1 4 27 256 2 066176687 displaystyle sqrt 1 sqrt 4 sqrt 27 sqrt 256 dotsb approx 2 066176687 nbsp dd Mit p n n n displaystyle p n n n nbsp 1 4 216 331776 2 618086580 displaystyle sqrt 1 sqrt 4 sqrt 216 sqrt 331776 dotsb approx 2 618086580 nbsp Dieses letzte Beispiel verdeutlicht in besonderer Weise dass trotz einer rapide anwachsenden Folge p n n N displaystyle left p n right n in mathbb N nbsp die zugehorige Kettenwurzel einen endlichen Wert annehmen kann dd Konvergenzkriterium BearbeitenGegeben sei eine Kettenwurzel Folge P n n N displaystyle left P n right n in mathbb N nbsp mit der zugrunde liegenden Kettenwurzel p 1 a p 2 a p 3 a p 4 a displaystyle left left left p 1 a p 2 right a p 3 right a p 4 right a dotsb nbsp und der Folge p n n N displaystyle left p n right n in mathbb N nbsp positiver reeller Zahlen n N displaystyle n in mathbb N nbsp Dann konvergiert P n n N displaystyle left P n right n in mathbb N nbsp genau dann wenn es eine reelle Zahl C displaystyle C nbsp gibt mit a n log p n C displaystyle a n log p n leq C nbsp 1 Alle Kettenwurzel Folgen in den obigen Beispielen sind nach diesem Kriterium konvergent Konvergenz bei konstanten zugrundeliegenden Folgen BearbeitenGrenzwerte bei speziellen konstanten Folgen Bearbeiten nbsp Konvergenzvergleich der Kettenwurzel Folgen nach dem Konvergenzkriterium fur verschiedene Folgen p n n N displaystyle left p n right n in mathbb N nbsp Da in den ersten beiden Beispielen die Folge p n n N displaystyle left p n right n in mathbb N nbsp jeweils konstante Glieder p n p displaystyle p n p nbsp hat tritt fur beliebiges n N displaystyle n in mathbb N nbsp jeder Rest Abschnitt der betreffenden Kettenwurzel als Grenzwert x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp von P n n N displaystyle left P n right n in mathbb N nbsp auf Somit lasst sich x displaystyle x nbsp jeweils folgendermassen bestimmen wobei stets nur die positive Losung infrage kommt Im ersten Beispiel x 1 x x 2 1 x x 2 x 1 0 x 1 5 2 F displaystyle x sqrt 1 x Leftrightarrow x 2 1 x Leftrightarrow x 2 x 1 0 Leftrightarrow x frac 1 sqrt 5 2 Phi nbsp dd Im zweiten Beispiel x 2 x x 2 2 x x 2 x 2 0 x 2 displaystyle x sqrt 2 x Leftrightarrow x 2 2 x Leftrightarrow x 2 x 2 0 Leftrightarrow x 2 nbsp 2 dd Grenzwerte bei allgemeinen konstanten Folgen Bearbeiten Ersetzt man in den ersten beiden Beispielen allgemein die Zahlen 1 displaystyle 1 nbsp bzw 2 displaystyle 2 nbsp durch p N displaystyle p in mathbb N nbsp so ergibt sich analog x p x x 2 p x x 2 x p 0 x 1 4 p 1 2 displaystyle x sqrt p x Leftrightarrow x 2 p x Leftrightarrow x 2 x p 0 Leftrightarrow x frac 1 sqrt 4p 1 2 nbsp dd Fur p 6 displaystyle p 6 nbsp ist beispielsweise x 3 displaystyle x 3 nbsp der nachste ganzzahlige Grenzwert Literatur BearbeitenPierre Collet Jean Pierre Eckmann Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems Birkhauser Verlag Basel 1986 Oskar Perron Die Lehre von den Kettenbruchen Band 2 dritte Auflage Stuttgart 1957 Seite 46 Walter S Sizer Continued roots Mathematics Magazine 59 23 27 1986 https doi org 10 1080 0025570X 1986 11977215Weblinks BearbeitenPeter Kubach Kettenwurzel und Kettenbruch aus kubach mathe de abgerufen am 3 Mai 2023 Hans Walser Kettenwurzeln aus walser h m ch abgerufen am 3 Mai 2023Einzelnachweise Bearbeiten Detlef Laugwitz Kettenwurzeln und Kettenoperationen In Elemente der Mathematik Vol 45 Nr 4 Seiten 89 98 Basel Juli 1990 http doi org 10 5169 seals 42415 Unendliche Kettenbruche und Kettenwurzeln aus hs fulda de abgerufen am 3 Mai 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kettenwurzel amp oldid 233403422
