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Jarque Bera Test Der ist ein statistischer Test der anhand der Schiefe und der Kurtosis in den Daten prüft ob eine Norma

Jarque-Bera-Test

Der Jarque-Bera-Test ist ein statistischer Test, der anhand der Schiefe und der Kurtosis in den Daten prüft, ob eine Normalverteilung vorliegt. Es handelt sich daher um einen speziellen Anpassungstest. Der Test wurde von Carlos M. Jarque und Anil K. Bera vorgeschlagen.

Definition Bearbeiten

Die Teststatistik JB des Jarque-Bera-Tests ist definiert als

Dabei ist Anzahl der Beobachtungen ; mit wird die Schiefe und mit die Kurtosis bezeichnet.

Die Schiefe in den Daten ist wie folgt definiert:

Bei symmetrischen Verteilungen wie der Normalverteilung ist der theoretische Wert der Schiefe null.

Die Kurtosis , ein Maß für die Wölbung einer Verteilung, hat bei Normalverteilung einen Wert von drei. Werte, die darüber liegen, zeigen an, dass die Verteilung fette Verteilungsenden (siehe Verteilung mit schweren Rändern) hat, d. h., dass die Dichte einer Verteilung an den Rändern, zum Beispiel außerhalb der üblichen ±2σ-Schranken, größer und dafür in den mittleren Bereichen geringer ist als bei der Normalverteilung. Dies gilt zum Beispiel für die t-Verteilung. Die Kurtosis ist wie folgt definiert:

wobei und das dritte und das vierte zentrale Moment darstellen, der Mittelwert der Stichprobe ist und das zweite Moment, also die Varianz, symbolisiert.

Es gilt , d. h., die Teststatistik ist asymptotisch Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden.

Das Hypothesenpaar lautet:

Bei einem Signifikanzniveau gilt: Für Werte der Teststatistik über 4,6 wird die Hypothese der Normalverteilung verworfen; für die Signifikanzniveaus , und ergeben sich die Schranken 6, 7,8 und 9,2.

Literatur Bearbeiten

  • Anil K. Bera, Carlos M. Jarque: Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals. In: Economics Letters. 6. Jahrgang, Nr. 3, 1980, S. 255–259, doi:10.1016/0165-1765(80)90024-5.
  • Anil K. Bera, Carlos M. Jarque: Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence. In: Economics Letters. 7. Jahrgang, Nr. 4, 1981, S. 313–318, doi:10.1016/0165-1765(81)90035-5.
  • George Judge, et al.: Introduction and the Theory and Practice of Econometrics. 3rd edn. Auflage. 1988, S. 890–892.

Siehe auch Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Jarque Bera Test ist ein statistischer Test der anhand der Schiefe und der Kurtosis in den Daten pruft ob eine Normalverteilung vorliegt Es handelt sich daher um einen speziellen Anpassungstest Der Test wurde von Carlos M Jarque und Anil K Bera vorgeschlagen Definition BearbeitenDie Teststatistik JB des Jarque Bera Tests ist definiert als J B n 6 S 2 K 3 2 4 displaystyle mathit JB frac n 6 left S 2 frac K 3 2 4 right nbsp Dabei ist n displaystyle n nbsp Anzahl der Beobachtungen x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp mit S displaystyle S nbsp wird die Schiefe und mit K displaystyle K nbsp die Kurtosis bezeichnet Die Schiefe S displaystyle S nbsp in den Daten ist wie folgt definiert S m 3 s 3 m 3 s 2 3 2 1 n i 1 n x i x 3 1 n i 1 n x i x 2 3 2 displaystyle S frac mu 3 sigma 3 frac mu 3 left sigma 2 right 3 2 frac frac 1 n sum i 1 n left x i bar x right 3 left frac 1 n sum i 1 n left x i bar x right 2 right 3 2 nbsp Bei symmetrischen Verteilungen wie der Normalverteilung ist der theoretische Wert der Schiefe null Die Kurtosis K displaystyle K nbsp ein Mass fur die Wolbung einer Verteilung hat bei Normalverteilung einen Wert von drei Werte die daruber liegen zeigen an dass die Verteilung fette Verteilungsenden siehe Verteilung mit schweren Randern hat d h dass die Dichte einer Verteilung an den Randern zum Beispiel ausserhalb der ublichen 2s Schranken grosser und dafur in den mittleren Bereichen geringer ist als bei der Normalverteilung Dies gilt zum Beispiel fur die t Verteilung Die Kurtosis ist wie folgt definiert K m 4 s 4 m 4 s 2 2 1 n i 1 n x i x 4 1 n i 1 n x i x 2 2 displaystyle K frac mu 4 sigma 4 frac mu 4 left sigma 2 right 2 frac frac 1 n sum i 1 n left x i bar x right 4 left frac 1 n sum i 1 n left x i bar x right 2 right 2 nbsp wobei m 3 displaystyle mu 3 nbsp und m 4 displaystyle mu 4 nbsp das dritte und das vierte zentrale Moment darstellen x displaystyle bar x nbsp der Mittelwert der Stichprobe ist und s 2 displaystyle sigma 2 nbsp das zweite Moment also die Varianz symbolisiert Es gilt J B x 2 2 displaystyle mathit JB sim chi 2 2 nbsp d h die Teststatistik J B displaystyle mathit JB nbsp ist asymptotisch Chi Quadrat verteilt mit zwei Freiheitsgraden Das Hypothesenpaar lautet H 0 displaystyle H 0 colon nbsp Die Stichprobe ist normalverteilt H 1 displaystyle H 1 colon nbsp Die Stichprobe ist nicht normalverteilt Bei einem Signifikanzniveau a 0 10 displaystyle alpha 0 10 nbsp gilt Fur Werte der Teststatistik uber 4 6 wird die Hypothese der Normalverteilung verworfen fur die Signifikanzniveaus a 0 05 displaystyle alpha 0 05 nbsp a 0 02 displaystyle alpha 0 02 nbsp und a 0 01 displaystyle alpha 0 01 nbsp ergeben sich die Schranken 6 7 8 und 9 2 Literatur BearbeitenAnil K Bera Carlos M Jarque Efficient tests for normality homoscedasticity and serial independence of regression residuals In Economics Letters 6 Jahrgang Nr 3 1980 S 255 259 doi 10 1016 0165 1765 80 90024 5 Anil K Bera Carlos M Jarque Efficient tests for normality homoscedasticity and serial independence of regression residuals Monte Carlo evidence In Economics Letters 7 Jahrgang Nr 4 1981 S 313 318 doi 10 1016 0165 1765 81 90035 5 George Judge et al Introduction and the Theory and Practice of Econometrics 3rd edn Auflage 1988 S 890 892 Siehe auch BearbeitenShapiro Wilk Test Kolmogorow Smirnow Test statistischer Test Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jarque Bera Test amp oldid 238443245