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Janssen Gleichung Mit der nach H A Janssen 1895 1 können die Spannungen in einem Silo beschrieben werden Sie beschreibt

Janssen-Gleichung

Mit der Janssen-Gleichung (nach H. A. Janssen, 1895) können die Spannungen in einem Silo beschrieben werden. Sie beschreibt das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung und ist ein Spezialfall der allgemeinen Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts unter Berücksichtigung der Silowand.

Für ein scheibenförmiges Volumelement (Radius r) der Höhe dz, das den gesamten Querschnitt  des Silos mit Umfang  überspannt, gilt

wobei

Die Gewichtskraft des Schüttgutes in der Scheibe wirkt

  • dem Unterschied der Spannungen (Druckgradient) auf der Ober- und Unterseite der Scheibe (die ersten Terme auf beiden Seiten) sowie
  • der durch die Silowand ausgeübte Schubkraft entgegen.

Die Janssen-Gleichung kann in eine gewöhnliche Differentialgleichung umgeformt werden:

Die Lösung der Dgl. kann durch Wahl geeigneter Rand- und Anfangsbedingungen gefunden werden.

Literatur Bearbeiten

  1. Janssen, H. A.: Versuche über Getreidedruck in Silozellen. In: Z. Ver. Dt. Ing. Band 39, 1895, S. 1045–1049 (duke.edu [PDF] Scan des Artikels (Memento im Webarchive vom 30. Oktober 2011)). (Memento vom 3. März 2011 im Internet Archive)

Weblinks Bearbeiten

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Mit der Janssen Gleichung nach H A Janssen 1895 1 konnen die Spannungen in einem Silo beschrieben werden Sie beschreibt das Kraftegleichgewicht in vertikaler Richtung und ist ein Spezialfall der allgemeinen Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts unter Berucksichtigung der Silowand Fur ein scheibenformiges Volumelement Radius r der Hohe dz das den gesamten Querschnitt A p r 2 displaystyle A pi cdot r 2 des Silos mit Umfang U 2 p r displaystyle U 2 cdot pi cdot r uberspannt gilt A s v r b g A d z A s v d s v t w U d z displaystyle A cdot sigma v rho b cdot g cdot A cdot dz A left sigma v d sigma v right tau w cdot U cdot dz wobei s v displaystyle sigma v die vertikale Spannung r b displaystyle rho rm b die mittlere Dichte des Schuttgutes g die Fallbeschleunigung t w displaystyle tau rm w die Wandschubspannung z die Tiefe ab Oberkante des Schuttgutes bezeichnen Die Gewichtskraft r b g A d z displaystyle rho b cdot g cdot A cdot dz des Schuttgutes in der Scheibe wirkt dem Unterschied der Spannungen Druckgradient auf der Ober und Unterseite der Scheibe die ersten Terme auf beiden Seiten sowie der durch die Silowand ausgeubte Schubkraft t w U d z displaystyle tau w cdot U cdot dz entgegen Die Janssen Gleichung kann in eine gewohnliche Differentialgleichung umgeformt werden r b g A d z A d s v t w U d z r b g d z d s v t w U A d z d s v r b g t w U A d z d s v d z r b g t w 2 r displaystyle begin alignedat 2 Leftrightarrow rho b cdot g cdot A cdot dz amp A cdot d sigma v amp amp tau w cdot U cdot dz Leftrightarrow rho b cdot g cdot dz amp d sigma v amp amp tau w cdot frac U A cdot dz Leftrightarrow d sigma v amp rho b cdot g amp amp tau w cdot frac U A cdot dz Leftrightarrow frac d sigma v dz amp rho b cdot g amp amp tau w cdot frac 2 r end alignedat Die Losung s v z displaystyle sigma v z der Dgl kann durch Wahl geeigneter Rand und Anfangsbedingungen gefunden werden Literatur Bearbeiten Janssen H A Versuche uber Getreidedruck in Silozellen In Z Ver Dt Ing Band 39 1895 S 1045 1049 duke edu PDF Scan des Artikels Memento im Webarchive vom 30 Oktober 2011 Versuche uber Getreidedruck in Silozellen Memento vom 3 Marz 2011 im Internet Archive Weblinks BearbeitenBerechnung von Spannungen in Silos Janssen Gleichung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Janssen Gleichung amp oldid 238592658