Die Hartley-Transformation, abgekürzt HT, ist in der Funktionalanalysis – einem Teilgebiet der Mathematik – eine lineare Integraltransformation mit Bezug zur Fourier-Transformation und wie diese eine Frequenztransformation. Im Gegensatz zur komplexen Fourier-Transformation ist die Hartley-Transformation eine reelle Transformation. Sie ist nach Ralph Hartley benannt, welcher sie 1942 vorstellte.
Die Hartley-Transformation existiert auch in diskreter Form, der diskreten Hartley-Transformation, abgekürzt DHT, welche in der digitalen Signalverarbeitung und der Bildverarbeitung Anwendung findet. Diese Form wurde 1994 von R.N.Bracewell veröffentlicht.
Definition Bearbeiten
Die Hartley-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert als:
mit der Kreisfrequenz ω und der Abkürzung:
welche als „Hartley-Kern“ bezeichnet wird.
In der Literatur existieren auch betreffend den Faktor abweichende Definitionen, welche diesen Faktor auf 1 normieren und bei der inversen Hartley-Transformation der Faktor auftritt.
Inverse Transformation Bearbeiten
Die Hartley-Transformation ist nach obiger Definition zu sich selbst invers, womit sie eine involutive Transformation ist:
Bezug zur Fourier-Transformation Bearbeiten
weicht durch ihren komplexen Kern:
mit der imaginären Einheit von dem rein reellen Kern der Hartley-Transformation ab. Bei entsprechender Wahl der Normalisierungsfaktoren kann die Fourier-Transformation direkt aus der Hartley-Transformation berechnet werden:
Der rote Korrekturfaktor verschwindet hier bei Verwendung der oben genannten, alternativen Definition ohne
Der Real- bzw. Imaginärteil der Fourier-Transformation wird dabei durch die geraden und ungeraden Anteile der Hartley-Transformation gebildet.
Beziehungen des Hartley-Kerns Bearbeiten
Für den „Hartley-Kern“ lassen sich folgende Beziehungen aus den trigonometrischen Funktionen ableiten:
Das Additionstheorem:
und
Die Ableitung ist gegeben als:
Literatur Bearbeiten
- Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-24999-0.
- Ronald Newbold Bracewell: The Hartley Transform. 1. Auflage. Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-503969-6.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Ralph Hartley: A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems. In: Institute of Radio Engineers (Hrsg.): Proceedings of the IRE. Band 30, Nr. 3, März 1942, ISSN 0096-8390, S. 144–150 (englisch, IEEE Xplore Digital Library [abgerufen am 25. August 2010]).
- R.N. Bracewell: Aspects of the Hartley transform. In: Proceedings of the IRE. Nr. 82 (3), 1994, doi:10.1109/5.272142.