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Hadamard Transformation Die auch bezeichnet als Walsh Hadamard Rademacher Walsh Transformation Walsh Transformation und

Hadamard-Transformation

Die Hadamard-Transformation, auch bezeichnet als Walsh-Hadamard-Transformation, Hadamard-Rademacher-Walsh-Transformation, Walsh-Transformation und als Walsh-Fourier-Transformation, ist eine diskrete Transformation aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Sie ist eine orthogonal-symmetrische, selbstinverse und lineare Transformation und von der Struktur her verwandt mit der diskreten Fourier-Transformation (DFT). Die Hadamard-Transformation bildet einen Satz von reellen oder komplexen Eingangswerten in einen Bildbereich aus überlagerten Walsh-Funktionen, dem Walsh-Spektrum, ab. Die Transformation ist benannt nach den Mathematikern Jacques Hadamard, Joseph L. Walsh und Hans Rademacher.

Die Anwendungen der Hadamard-Transformation liegen im Bereich der digitalen Signalverarbeitung und Datenkompression wie beispielsweise bei JPEG XR und H.264/MPEG-4 AVC.

Definition Bearbeiten

Das Produkt einer binären Eingangsfolge und einer -Hadamard-Matrix ergibt das Walsh-Spektrum:
(1,0,1,0,0,1,1,0) * H(8) = (4,2,0,−2,0,2,0,2)

Die Hadamard-Transformation wird aus einer -Hadamard-Matrix, skaliert mit einem Normalisierungsfaktor, gebildet, welche eine Eingangsfolge der Länge mittels einer Matrix-Vektor-Multiplikation in eine Ausgangsfolge transformiert.

Die Hadamard-Transformation kann verschiedenartig definiert werden, unter anderem rekursiv, wobei von einer -Hadamard-Transformation mit der Identität ausgegangen wird und für festgelegt wird zu:

mit dem Normalisierungsfaktor , der mitunter auch weggelassen wird.

Analog wie bei der diskreten Fourier-Transformation (DFT) und der optimierten schnellen Fourier-Transformation (FFT) existiert auch eine schnelle Hadamard-Transformation, welche die Anzahl der Operationen auf mit reduziert.

Zusammenhang zur diskreten Fouriertransformation Bearbeiten

Wie auch die Hadamard-Transformation lässt sich die diskrete Fourier-Transformation als Produkt einer Transformationsmatrix und eines Eingangsvektors formulieren. Sollen per DFT Elemente im Zeitbereich in den Spektralbereich transformiert werden, so lautet die DFT-Matrix

Die Hadamard-Matrix ohne Skalierungsfaktor ist dann als Kronecker-Produkt aus einzelnen DFT-Matrizen konstruierbar:

Literatur Bearbeiten

  • Kathy J. Horadam: Hadamard Matrices and their Applications. Princeton University Press, Princeton NJ u. a. 2007, ISBN 978-0-691-11921-2.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Henry O. Kunz: On the Equivalence Between One-Dimensional Discrete Walsh-Hadamard and Multidimensional Discrete Fourier Transforms. In: IEEE Transactions on Computers. Bd. 28, Nr. 3, 1979, ISSN 0018-9340, S. 267–268, doi:10.1109/TC.1979.1675334.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Hadamard Transformation auch bezeichnet als Walsh Hadamard Transformation Hadamard Rademacher Walsh Transformation Walsh Transformation und als Walsh Fourier Transformation ist eine diskrete Transformation aus dem Bereich der Fourier Analysis Sie ist eine orthogonal symmetrische selbstinverse und lineare Transformation und von der Struktur her verwandt mit der diskreten Fourier Transformation DFT Die Hadamard Transformation bildet einen Satz von 2 m displaystyle 2 m reellen oder komplexen Eingangswerten in einen Bildbereich aus uberlagerten Walsh Funktionen dem Walsh Spektrum ab 1 Die Transformation ist benannt nach den Mathematikern Jacques Hadamard Joseph L Walsh und Hans Rademacher Die Anwendungen der Hadamard Transformation liegen im Bereich der digitalen Signalverarbeitung und Datenkompression wie beispielsweise bei JPEG XR und H 264 MPEG 4 AVC Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Zusammenhang zur diskreten Fouriertransformation 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Das Produkt einer binaren Eingangsfolge und einer 2 m 2 m displaystyle 2 m times 2 m nbsp Hadamard Matrix ergibt das Walsh Spektrum 1 0 1 0 0 1 1 0 H 8 4 2 0 2 0 2 0 2 Die Hadamard Transformation H m displaystyle operatorname H m nbsp wird aus einer 2 m 2 m displaystyle 2 m times 2 m nbsp Hadamard Matrix skaliert mit einem Normalisierungsfaktor gebildet welche eine Eingangsfolge x n displaystyle x n nbsp der Lange 2 m displaystyle 2 m nbsp mittels einer Matrix Vektor Multiplikation in eine Ausgangsfolge X k displaystyle X k nbsp transformiert Die Hadamard Transformation kann verschiedenartig definiert werden unter anderem rekursiv wobei von einer 1 1 displaystyle 1 times 1 nbsp Hadamard Transformation H 0 displaystyle operatorname H 0 nbsp mit der Identitat H 0 1 displaystyle operatorname H 0 1 nbsp ausgegangen wird und H m displaystyle operatorname H m nbsp fur m gt 0 displaystyle m gt 0 nbsp festgelegt wird zu H m 1 2 H m 1 H m 1 H m 1 H m 1 displaystyle operatorname H m frac 1 sqrt 2 begin pmatrix operatorname H m 1 amp operatorname H m 1 operatorname H m 1 amp operatorname H m 1 end pmatrix nbsp mit dem Normalisierungsfaktor 1 2 displaystyle tfrac 1 sqrt 2 nbsp der mitunter auch weggelassen wird Analog wie bei der diskreten Fourier Transformation DFT und der optimierten schnellen Fourier Transformation FFT existiert auch eine schnelle Hadamard Transformation welche die Anzahl n displaystyle n nbsp der Operationen auf n log n displaystyle n cdot operatorname log n nbsp mit n 2 m displaystyle n 2 m nbsp reduziert Zusammenhang zur diskreten Fouriertransformation BearbeitenWie auch die Hadamard Transformation lasst sich die diskrete Fourier Transformation als Produkt einer Transformationsmatrix und eines Eingangsvektors formulieren Sollen per DFT N 2 displaystyle N 2 nbsp Elemente im Zeitbereich in den Spektralbereich transformiert werden so lautet die DFT Matrix F 2 1 1 1 1 displaystyle F 2 begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix nbsp Die Hadamard Matrix ohne Skalierungsfaktor ist dann als Kronecker Produkt aus einzelnen 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp DFT Matrizen konstruierbar H 2 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k mal displaystyle H 2 k underset k text mal underbrace begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix otimes begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix otimes begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix otimes ldots otimes begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix nbsp Literatur BearbeitenKathy J Horadam Hadamard Matrices and their Applications Princeton University Press Princeton NJ u a 2007 ISBN 978 0 691 11921 2 Einzelnachweise Bearbeiten Henry O Kunz On the Equivalence Between One Dimensional Discrete Walsh Hadamard and Multidimensional Discrete Fourier Transforms In IEEE Transactions on Computers Bd 28 Nr 3 1979 ISSN 0018 9340 S 267 268 doi 10 1109 TC 1979 1675334 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hadamard Transformation amp oldid 234398997