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Hadamard Matrix Eine vom Grad n displaystyle n ist eine n n displaystyle n times n Matrix die ausschließlich die Zahlen

Hadamard-Matrix

Eine Hadamard-Matrix vom Grad ist eine -Matrix, die ausschließlich die Zahlen und als Koeffizienten enthält und bei der zudem alle Spalten orthogonal zueinander sind, ebenso alle Zeilen.

Hadamard-Matrizen sind nach dem französischen Mathematiker Jacques Hadamard benannt.

Eigenschaften Bearbeiten

Aus der Orthogonalität der Zeilen und Spalten folgt für eine Hadamard-Matrix die Beziehung:

Dabei bezeichnet die transponierte Matrix zu und die Einheitsmatrix. Diese Gleichung kann auch zur Definition von Hadamard-Matrizen benutzt werden, da unter allen Matrizen, deren Einträge ausschließlich aus den Zahlen und bestehen, nur Hadamard-Matrizen diese Gleichung erfüllen.

Das Produkt einer Hadamard-Matrix mit einer Permutationsmatrix oder einer vorzeichenbehafteten Permutationsmatrix ergibt wieder eine Hadamard-Matrix.

Es lässt sich zeigen, dass Hadamard-Matrizen nur für , oder mit existieren können.

Enthalten die erste Spalte und die erste Zeile von nur -Einträge, so heißt die Matrix normalisiert.

Konstruktion Bearbeiten

Es gibt verschiedene Methoden, Hadamard-Matrizen zu konstruieren. Zwei davon werden im Folgenden beschrieben:

Konstruktion nach Sylvester Bearbeiten

Diese Konstruktion geht auf den englischen Mathematiker James J. Sylvester zurück. Ist eine Hadamard-Matrix vom Grad , so lässt sich damit folgendermaßen eine Hadamard-Matrix vom Grad konstruieren:

Die Orthogonalitätseigenschaft lässt sich leicht überprüfen:

Hier bezeichnen und die entsprechend dimensionierten Einheitsmatrizen.

Walsh-Matrizen Bearbeiten

Damit ergibt sich zum Beispiel die nach dem Mathematiker Joseph L. Walsh benannte Folge von Matrizen (Walsh-Matrizen):

Die Walsh-Matrizen sind normalisierte Hadamard-Matrizen vom Grad , wobei jede Zeile eine Walsh-Funktion darstellt.

Konstruktion über das Legendre-Symbol Bearbeiten

Man definiert sich bei dieser Konstruktion zunächst die Jacobsthal-Matrix vom Grad (wobei eine ungerade Primzahl kongruent 3 modulo 4 ist) mit Hilfe des Legendre-Symbols :

Ist nun mit , so gilt

und

wobei die Einsmatrix bezeichnet, bei der alle Einträge 1 sind. Nun konstruiert man die Hadamard-Matrix vom Grad :

Auch hier kann man nachrechnen, dass dies eine Hadamard-Matrix ist (benutze und ):

So konstruierte Matrizen heißen Hadamard-Matrizen vom Paley-Typ, nach dem englischen Mathematiker Raymond Paley.

Die Hadamard-Vermutung Bearbeiten

Es wird vermutet (konnte aber noch nicht bewiesen werden), dass zu jeder Zahl wenigstens eine Hadamard-Matrix existiert. Diese Vermutung geht wahrscheinlich auf Paley zurück. Mit den beiden oben genannten Verfahren kann man Hadamard-Matrizen für alle Zahlen der Form oder für eine Primzahl erzeugen. Es gibt weitere Verfahren, allerdings lassen sich damit nicht alle Möglichkeiten abdecken. So wurde bis 2005 noch keine Hadamard-Matrix zu gefunden. 1977 war die Frage noch für ungeklärt.

Anwendungen Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Eine Hadamard Matrix vom Grad n displaystyle n ist eine n n displaystyle n times n Matrix die ausschliesslich die Zahlen 1 displaystyle 1 und 1 displaystyle 1 als Koeffizienten enthalt und bei der zudem alle Spalten orthogonal zueinander sind ebenso alle Zeilen Hadamard Matrizen sind nach dem franzosischen Mathematiker Jacques Hadamard benannt Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Konstruktion 2 1 Konstruktion nach Sylvester 2 1 1 Walsh Matrizen 2 2 Konstruktion uber das Legendre Symbol 3 Die Hadamard Vermutung 4 Anwendungen 5 LiteraturEigenschaften BearbeitenAus der Orthogonalitat der Zeilen und Spalten folgt fur eine Hadamard Matrix H displaystyle H nbsp die Beziehung H H t H t H n E displaystyle H cdot H t H t cdot H n cdot E nbsp Dabei bezeichnet H t displaystyle H t nbsp die transponierte Matrix zu H displaystyle H nbsp und E displaystyle E nbsp die Einheitsmatrix Diese Gleichung kann auch zur Definition von Hadamard Matrizen benutzt werden da unter allen Matrizen deren Eintrage ausschliesslich aus den Zahlen 1 displaystyle 1 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp bestehen nur Hadamard Matrizen diese Gleichung erfullen Das Produkt einer Hadamard Matrix mit einer Permutationsmatrix oder einer vorzeichenbehafteten Permutationsmatrix ergibt wieder eine Hadamard Matrix Es lasst sich zeigen dass Hadamard Matrizen nur fur n 1 displaystyle n 1 nbsp n 2 displaystyle n 2 nbsp oder n 4 k displaystyle n 4k nbsp mit k N displaystyle k in mathbb N nbsp existieren konnen Enthalten die erste Spalte und die erste Zeile von H displaystyle H nbsp nur 1 displaystyle 1 nbsp Eintrage so heisst die Matrix normalisiert Konstruktion BearbeitenEs gibt verschiedene Methoden Hadamard Matrizen zu konstruieren Zwei davon werden im Folgenden beschrieben Konstruktion nach Sylvester Bearbeiten Diese Konstruktion geht auf den englischen Mathematiker James J Sylvester zuruck Ist H n displaystyle H n nbsp eine Hadamard Matrix vom Grad n displaystyle n nbsp so lasst sich damit folgendermassen eine Hadamard Matrix vom Grad 2 n displaystyle 2n nbsp konstruieren H 2 n H n H n H n H n displaystyle H 2n begin pmatrix H n amp H n H n amp H n end pmatrix nbsp Die Orthogonalitatseigenschaft lasst sich leicht uberprufen H 2 n H 2 n t H n H n H n H n H n t H n t H n t H n t H n H n t H n H n t H n H n t H n H n t H n H n t H n H n t H n H n t H n H n t 2 H n H n t 0 0 2 H n H n t 2 n E n 0 0 2 n E n 2 n E 2 n displaystyle begin aligned H 2n cdot H 2n t amp begin pmatrix H n amp H n H n amp H n end pmatrix cdot begin pmatrix H n t amp H n t H n t amp H n t end pmatrix amp begin pmatrix H n H n t H n H n t amp H n H n t H n H n t H n H n t H n H n t amp H n H n t H n H n t end pmatrix amp begin pmatrix 2 cdot H n H n t amp 0 0 amp 2 cdot H n H n t end pmatrix begin pmatrix 2n cdot E n amp 0 0 amp 2n cdot E n end pmatrix amp 2n cdot E 2n end aligned nbsp Hier bezeichnen E n displaystyle E n nbsp und E 2 n displaystyle E 2n nbsp die entsprechend dimensionierten Einheitsmatrizen Walsh Matrizen Bearbeiten Damit ergibt sich zum Beispiel die nach dem Mathematiker Joseph L Walsh benannte Folge von Matrizen Walsh Matrizen H 1 1 H 2 1 1 1 1 H 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 displaystyle H 1 begin pmatrix 1 end pmatrix H 2 begin pmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end pmatrix H 4 begin pmatrix 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 end pmatrix ldots nbsp Die Walsh Matrizen sind normalisierte Hadamard Matrizen vom Grad 2 k displaystyle 2 k nbsp wobei jede Zeile eine Walsh Funktion darstellt Konstruktion uber das Legendre Symbol Bearbeiten Man definiert sich bei dieser Konstruktion zunachst die Jacobsthal Matrix Q q i j displaystyle Q q ij nbsp vom Grad p displaystyle p nbsp wobei p displaystyle p nbsp eine ungerade Primzahl kongruent 3 modulo 4 ist mit Hilfe des Legendre Symbols a p displaystyle a p nbsp q i j j i p displaystyle q ij left frac j i p right nbsp Ist nun p 4 k 1 displaystyle p 4k 1 nbsp mit k N displaystyle k in mathbb N nbsp so gilt Q t Q displaystyle Q t Q nbsp und Q Q t p E J displaystyle Q cdot Q t p cdot E J nbsp wobei J displaystyle J nbsp die Einsmatrix bezeichnet bei der alle Eintrage 1 sind Nun konstruiert man die Hadamard Matrix vom Grad p 1 displaystyle p 1 nbsp H p 1 1 1 1 t Q E displaystyle H p 1 begin pmatrix 1 amp mathbf 1 mathbf 1 t amp Q E end pmatrix nbsp Auch hier kann man nachrechnen dass dies eine Hadamard Matrix ist benutze Q t Q displaystyle Q t Q nbsp und Q Q t p E J displaystyle Q cdot Q t p cdot E J nbsp H p 1 H p 1 t 1 p 0 0 J Q E Q t E p 1 E displaystyle H p 1 cdot H p 1 t begin pmatrix 1 p amp mathbf 0 mathbf 0 amp J Q E Q t E end pmatrix p 1 cdot E nbsp So konstruierte Matrizen heissen Hadamard Matrizen vom Paley Typ nach dem englischen Mathematiker Raymond Paley Die Hadamard Vermutung BearbeitenEs wird vermutet konnte aber noch nicht bewiesen werden dass zu jeder Zahl n 4 k displaystyle n 4k nbsp wenigstens eine Hadamard Matrix existiert Diese Vermutung geht wahrscheinlich auf Paley zuruck Mit den beiden oben genannten Verfahren kann man Hadamard Matrizen fur alle Zahlen n displaystyle n nbsp der Form n 2 k displaystyle n 2 k nbsp oder n p 1 displaystyle n p 1 nbsp fur eine Primzahl p displaystyle p nbsp erzeugen Es gibt weitere Verfahren allerdings lassen sich damit nicht alle Moglichkeiten abdecken So wurde bis 2005 noch keine Hadamard Matrix zu n 668 displaystyle n 668 nbsp gefunden 1977 war die Frage noch fur n 268 displaystyle n 268 nbsp ungeklart Anwendungen BearbeitenDie Hadamard Transformation eine diskrete Transformation aus dem Bereich der Fourier Analysis verwendet Hadamard Matrizen Hadamard Matrizen finden Anwendung im Bereich der fehlerkorrigierenden Codes wo sie zum Erzeugen von Hadamard Codes oder Reed Muller Codes benutzt werden In der Statistik werden sie benutzt um Varianzen von Variablen zu berechnen In der diskreten Mathematik werden bestimmte Blockplane die Hadamard Blockplane aus Hadamard Matrizen konstruiert Literatur BearbeitenS A Rukova Hadamard matrix In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hadamard Matrix amp oldid 235027590