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Gorensteinring Ein ist ein Ring der in der kommutativen Algebra einem Teilgebiet der Mathematik untersucht wird Ein ist

Gorensteinring

Ein Gorensteinring ist ein Ring, der in der kommutativen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht wird. Ein Gorensteinring ist ein Cohen-Macaulay-Ring mit bestimmten zusätzlichen Eigenschaften. Eine Gorensteinsingularität ist eine Singularität, deren lokaler Ring ein Gorensteinring ist.

Benannt wurden die Ringe nach Daniel Gorenstein, obwohl dieser immer behauptete, nicht einmal die Definition zu verstehen.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition Bearbeiten

Ist ein noetherscher lokaler -dimensionaler Ring mit maximalem Ideal , so nennt man eine Menge ein Parametersystem von , wenn diese Menge ein - primäres Ideal erzeugt. (Man kann zeigen, dass ein noetherscher lokaler Ring immer ein Parametersystem besitzt.)

Ist

so ist die Zahl

unabhängig vom gewählten Parametersystem.

Diese Zahl wird der Typ von genannt.

Ein lokaler Gorensteinring ist ein Cohen-Macaulay-Ring vom Typ 1.

Einen noetherschen Ring nennt man Gorensteinring, wenn alle seine Lokalisierungen von maximalen Idealen lokale Gorensteinringe sind.

(Diese Definition folgt Kunz 1980. Häufig wird ein Gorensteinring über die injektive Dimension definiert, siehe unten.)

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ist ein lokaler Cohen-Macaulay-Ring so ist genau dann ein Gorensteinring, wenn das von einem Parametersystem erzeugte Ideal irreduzibel ist.
  • Ein lokaler noetherscher Ring ist genau dann ein Gorensteinring, wenn seine injektive Dimension endlich ist.
  • Jeder lokale Ring, der vollständiger Durchschnitt ist, ist ein Gorensteinring. Insbesondere ist jeder reguläre lokale Ring ein Gorensteinring.

Beispiele Bearbeiten

  • Ist ein Körper, so wird die Varietät, die aus der X-Achse und der Y-Achse besteht, durch den Koordinatenring beschrieben.
beschrieben. Er ist eine Singularität, denn ist eindimensional, aber das maximale Ideal von kann nur durch zwei Elemente erzeugt werden. Andererseits ist ein Gorensteinring, da jedes im maximalen Ideal enthaltene reguläre Element eine irrduzible Untervarietät erzeugt.
  • Der Ring ist ein -dimensionaler lokaler Ring. Er ist daher Cohen-Macaulay. Er ist aber nicht Gorenstein, da das Nullideal zwar -primär, aber nicht irreduzibel ist, da es der Schnitt der Ideale und ist.

Literatur Bearbeiten

  • Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6.
  • Michael Francis Atiyah, Ian Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-201-00361-9.
  • Rainer Brüske, Friedrich Ischebeck, Ferdinand Vogel: Kommutative Algebra. Bibliographisches Institut, 1989, ISBN 3-411-14041-0.
  • Hideyuki Matsumura: Commutative algebra. Cummings, 1980, ISBN 0-8053-7026-9.
  • Winfried Bruns, Jürgen Herzog: Cohen-Macaulay rings (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 39). Cambridge University Press, 1993 (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. D. Eisenbud: Commutative Algebra. Springer, 2004, ISBN 0-387-94269-6, S. 525.
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Ein Gorensteinring ist ein Ring der in der kommutativen Algebra einem Teilgebiet der Mathematik untersucht wird Ein Gorensteinring ist ein Cohen Macaulay Ring mit bestimmten zusatzlichen Eigenschaften Eine Gorensteinsingularitat ist eine Singularitat deren lokaler Ring ein Gorensteinring ist Benannt wurden die Ringe nach Daniel Gorenstein obwohl dieser immer behauptete nicht einmal die Definition zu verstehen 1 Dieser Artikel beschaftigt sich mit kommutativer Algebra Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab Fur weitere Details siehe Kommutative Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIst R displaystyle R nbsp ein noetherscher lokaler d displaystyle d nbsp dimensionaler Ring mit maximalem Ideal m displaystyle m nbsp so nennt man eine Menge a 1 a d displaystyle a 1 dots a d nbsp ein Parametersystem von R displaystyle R nbsp wenn diese Menge ein m displaystyle m nbsp primares Ideal erzeugt Man kann zeigen dass ein noetherscher lokaler Ring immer ein Parametersystem besitzt Ist R displaystyle R nbsp ein lokaler Cohen Macaulay Ring mit maximalem Ideal m displaystyle m nbsp a 1 a n displaystyle a 1 dots a n nbsp ein Parametersystem und q a 1 a n displaystyle q a 1 dots a n nbsp das entsprechende m displaystyle m nbsp primare Ideal so ist die Zahl r d i m R m r R q m r 0 displaystyle r mathrm dim R m bar r in R q m cdot r 0 nbsp unabhangig vom gewahlten Parametersystem Diese Zahl r displaystyle r nbsp wird der Typ von R displaystyle R nbsp genannt Ein lokaler Gorensteinring ist ein Cohen Macaulay Ring vom Typ 1 Einen noetherschen Ring R displaystyle R nbsp nennt man Gorensteinring wenn alle seine Lokalisierungen von maximalen Idealen lokale Gorensteinringe sind Diese Definition folgt Kunz 1980 Haufig wird ein Gorensteinring uber die injektive Dimension definiert siehe unten Eigenschaften BearbeitenIst R displaystyle R nbsp ein lokaler Cohen Macaulay Ring so ist R displaystyle R nbsp genau dann ein Gorensteinring wenn das von einem Parametersystem erzeugte Ideal irreduzibel ist Ein lokaler noetherscher Ring ist genau dann ein Gorensteinring wenn seine injektive Dimension endlich ist Jeder lokale Ring der vollstandiger Durchschnitt ist ist ein Gorensteinring Insbesondere ist jeder regulare lokale Ring ein Gorensteinring Beispiele BearbeitenIst K displaystyle K nbsp ein Korper so wird die Varietat die aus der X Achse und der Y Achse besteht durch den Koordinatenring K X Z X Y displaystyle K X Z XY nbsp beschrieben Der Schnittpunkt wird durch den RingR K X Y X Y X Y displaystyle R K X Y XY X Y nbsp dd beschrieben Er ist eine Singularitat denn R displaystyle R nbsp ist eindimensional aber das maximale Ideal von R displaystyle R nbsp kann nur durch zwei Elemente erzeugt werden Andererseits ist R displaystyle R nbsp ein Gorensteinring da jedes im maximalen Ideal enthaltene regulare Element eine irrduzible Untervarietat erzeugt Der Ring K X Y X 2 Y 2 X Y displaystyle K X Y X 2 Y 2 X cdot Y nbsp ist ein 0 displaystyle 0 nbsp dimensionaler lokaler Ring Er ist daher Cohen Macaulay Er ist aber nicht Gorenstein da das Nullideal zwar m displaystyle m nbsp primar aber nicht irreduzibel ist da es der Schnitt der Ideale X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp ist Literatur BearbeitenErnst Kunz Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Vieweg 1980 ISBN 3 528 07246 6 Michael Francis Atiyah Ian Macdonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley 1969 ISBN 0 201 00361 9 Rainer Bruske Friedrich Ischebeck Ferdinand Vogel Kommutative Algebra Bibliographisches Institut 1989 ISBN 3 411 14041 0 Hideyuki Matsumura Commutative algebra Cummings 1980 ISBN 0 8053 7026 9 Winfried Bruns Jurgen Herzog Cohen Macaulay rings Cambridge studies in advanced mathematics Band 39 Cambridge University Press 1993 englisch Einzelnachweise Bearbeiten D Eisenbud Commutative Algebra Springer 2004 ISBN 0 387 94269 6 S 525 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gorensteinring amp oldid 231533650