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Gaussian Type Orbitals Bei den Gaussian type Orbitals GTOs dt Gauß sche Orbitale handelt es sich um gaussförmige Näherun

Gaussian Type Orbitals

Bei den Gaussian-type Orbitals (GTOs, dt. „Gauß’sche-Orbitale“) handelt es sich um gaussförmige Näherungsfunktionen (kontrahierte Gauß-Funktionen) von Atomorbitalen an die korrekten Slater-Orbitale („Slater-type orbitals“, STOs). Wie bei den Slater-Orbitalen handelt es sich auch hier um Wellenfunktionen, die in die LCAO-Näherung als Atomorbitale eingesetzt werden.

Kugelkoordinaten Bearbeiten

Die Gauß’schen Basisfunktionen können in der üblichen Radialwinkelzerlegung in eine Radial- und eine Winkel-Komponente zerlegt werden:

stellt die Winkel-Komponente und die Radial-Komponente dar, und sind die entsprechenden Drehimpulse und ihre z-Komponenten. sind entsprechend die sphärischen Koordinaten.

Die Radial-Komponente für die Slater-Orbitale sieht wie folgt aus:

als Normierungskonstante, für primitive GTOs stellt sich die Radial-Komponente wie folgt dar:

ist hier die Normierungskonstante zum Gauß'sche-Orbital.

Kartesische Koordinaten Bearbeiten

Häufig werden die kartesische Gauß-Funktionen verwendet, da diese besonders einfach bei Ableitungen und Integrationen handhabbar sind:

Die Vorfaktoren x, y und z sowie deren Exponenten sollen dabei die Winkel-Komponente „simulieren“.

GTOs als STO-Annäherung Bearbeiten

In den STO-NG-Basissätzen werden GTOs zur Annäherung von STOs verwendet. Der STO-3G ist dabei der am häufigsten eingesetzte Basissatz, hier werden die GTOs durch Linearkombination von drei primitiven Gauß-Funktionen dargestellt.

Fehler der GTOs im Vergleich zu STOs Bearbeiten

Bei der Verwendung von GTOs anstelle von STOs werden zwei qualitative Fehler gemacht:

  1. GTOs besitzen keine Spitze (die Ableitung bei ist ).
  2. Der Funktionsverlauf der GTOs ist zu steil (im Exponenten der eulerischen Zahl gilt und nicht wie bei Slater-Orbitalen lediglich )

In der Regel können diese Fehler vernachlässigt werden, da sie sich zwar stark auf die Absolutenergien aber weniger stark auf die Relativenergien auswirken.

Vorteile der GTOs im Vergleich zu STOs Bearbeiten

Im Vergleich zu Slater-Orbitalen sind Berechnungen mit Gauß-Orbitalen 4–5 Größenordnungen schneller, dies führt dazu, dass sie von fast allen Quantenchemieprogrammen benutzt werden, auch wenn dadurch ein größerer Basisatz gebraucht wird.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Peter M.W. Gill: Molecular integrals Over Gaussian Basis Functions. In: Advances in Quantum Chemistry. Elsevier, 1994, ISBN 978-0-12-034825-1, S. 141–205, doi:10.1016/s0065-3276(08)60019-2 (elsevier.com [abgerufen am 10. Juli 2018]).
  2. ↑ H. Bernhard Schlegel, Michael J. Frisch: Transformation between Cartesian and pure spherical harmonic Gaussians. In: International Journal of Quantum Chemistry. Band 54, Nr. 2, 15. April 1995, ISSN 0020-7608, S. 83–87, doi:10.1002/qua.560540202 (wiley.com [abgerufen am 10. Juli 2018]).
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Bei den Gaussian type Orbitals GTOs dt Gauss sche Orbitale handelt es sich um gaussformige Naherungsfunktionen kontrahierte Gauss Funktionen von Atomorbitalen an die korrekten Slater Orbitale Slater type orbitals STOs Wie bei den Slater Orbitalen handelt es sich auch hier um Wellenfunktionen die in die LCAO Naherung als Atomorbitale eingesetzt werden 1 Inhaltsverzeichnis 1 Kugelkoordinaten 2 Kartesische Koordinaten 3 GTOs als STO Annaherung 4 Fehler der GTOs im Vergleich zu STOs 5 Vorteile der GTOs im Vergleich zu STOs 6 EinzelnachweiseKugelkoordinaten BearbeitenDie Gauss schen Basisfunktionen konnen in der ublichen Radialwinkelzerlegung in eine Radial und eine Winkel Komponente zerlegt werden F r R l r Y l m 8 ϕ displaystyle Phi mathbf r R l r Y lm theta phi nbsp Y l m 8 ϕ displaystyle Y lm theta phi nbsp stellt die Winkel Komponente und R l r displaystyle R l r nbsp die Radial Komponente dar l displaystyle l nbsp und m displaystyle m nbsp sind die entsprechenden Drehimpulse und ihre z Komponenten r 8 ϕ displaystyle r theta phi nbsp sind entsprechend die spharischen Koordinaten Die Radial Komponente fur die Slater Orbitale sieht wie folgt aus R l r A l a r l e a r displaystyle R l r A l alpha r l e alpha r nbsp A l a displaystyle A l alpha nbsp als Normierungskonstante fur primitive GTOs stellt sich die Radial Komponente wie folgt dar R l r B l a r l e a r 2 displaystyle R l r B l alpha r l e alpha r 2 nbsp B l a displaystyle B l alpha nbsp ist hier die Normierungskonstante zum Gauss sche Orbital Kartesische Koordinaten BearbeitenHaufig werden die kartesische Gauss Funktionen verwendet da diese besonders einfach bei Ableitungen und Integrationen handhabbar sind 2 F G T O r x i y j z k Y l m e a r 2 R l displaystyle Phi GTO mathbf r underbrace x i y j z k Y l m cdot underbrace e alpha r 2 R l nbsp Die Vorfaktoren x y und z sowie deren Exponenten sollen dabei die Winkel Komponente Y l m 8 ϕ displaystyle Y lm theta phi nbsp simulieren GTOs als STO Annaherung BearbeitenIn den STO NG Basissatzen werden GTOs zur Annaherung von STOs verwendet Der STO 3G ist dabei der am haufigsten eingesetzte Basissatz hier werden die GTOs durch Linearkombination von drei primitiven Gauss Funktionen dargestellt Fehler der GTOs im Vergleich zu STOs BearbeitenBei der Verwendung von GTOs anstelle von STOs werden zwei qualitative Fehler gemacht GTOs besitzen keine Spitze die Ableitung bei r 0 displaystyle r 0 nbsp ist 0 displaystyle 0 nbsp Der Funktionsverlauf der GTOs ist zu steil im Exponenten der eulerischen Zahl gilt r 2 displaystyle r 2 nbsp und nicht wie bei Slater Orbitalen lediglich r displaystyle r nbsp In der Regel konnen diese Fehler vernachlassigt werden da sie sich zwar stark auf die Absolutenergien aber weniger stark auf die Relativenergien auswirken Vorteile der GTOs im Vergleich zu STOs BearbeitenIm Vergleich zu Slater Orbitalen sind Berechnungen mit Gauss Orbitalen 4 5 Grossenordnungen schneller dies fuhrt dazu dass sie von fast allen Quantenchemieprogrammen benutzt werden auch wenn dadurch ein grosserer Basisatz gebraucht wird 2 Einzelnachweise Bearbeiten Peter M W Gill Molecular integrals Over Gaussian Basis Functions In Advances in Quantum Chemistry Elsevier 1994 ISBN 978 0 12 034825 1 S 141 205 doi 10 1016 s0065 3276 08 60019 2 elsevier com abgerufen am 10 Juli 2018 a b H Bernhard Schlegel Michael J Frisch Transformation between Cartesian and pure spherical harmonic Gaussians In International Journal of Quantum Chemistry Band 54 Nr 2 15 April 1995 ISSN 0020 7608 S 83 87 doi 10 1002 qua 560540202 wiley com abgerufen am 10 Juli 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gaussian Type Orbitals amp oldid 199824292