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Finsler Mannigfaltigkeit In der Geometrie sind en eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten Sie sind nach P

Finsler-Mannigfaltigkeit

In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Definition Bearbeiten

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion so dass für alle gilt:

  • mit Gleichheit nur für
  • für alle
  • .

Hierbei bezeichnet den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit im Punkt und das Tangentialbündel von also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls für alle gilt.

Beispiele Bearbeiten

Länge und Volumen Bearbeiten

Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve ist definiert durch

Die Volumenform einer -dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei , eine Basis von , die duale Basis. Sei das euklidische Volumen von . Die Volumenform ist dann gegeben durch

wobei das euklidische Volumen der Einheitskugel im bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge ist definiert durch .

Literatur Bearbeiten

  • Hanno Rund: Differential Geometry of Finsler Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer 1959
  • Makoto Matsumoto: Foundations of Finsler Geometry and special Finsler Spaces, Kaiseisha Press, Japan 1986
  • D. Bao, S. S. Chern, Z. Shen: An introduction to Riemann-Finsler geometry. (= Graduate Texts in Mathematics. 200). Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98948-X.
  • Zhongmin Shen: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing, Singapore 2001, ISBN 981-02-4531-9.
  • Peter Antonelli (Hrsg.): Handbook of Finsler Geometry, 2 Bände, Kluwer 2003
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In der Geometrie sind Finsler Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten Sie sind nach Paul Finsler benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Lange und Volumen 4 LiteraturDefinition BearbeitenEine Finsler Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp mit einer ausserhalb des Nullschnitts glatten Funktion F T M R displaystyle F TM rightarrow mathbb R nbsp so dass fur alle v w T x M x M displaystyle v w in T x M x in M nbsp gilt F v 0 displaystyle F v geq 0 nbsp mit Gleichheit nur fur v 0 displaystyle v 0 nbsp F l v l F v displaystyle F lambda v lambda F v nbsp fur alle l 0 displaystyle lambda geq 0 nbsp F v w F v F w displaystyle F v w leq F v F w nbsp Hierbei bezeichnet T x M displaystyle T x M nbsp den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp im Punkt x M displaystyle x in M nbsp und T M displaystyle TM nbsp das Tangentialbundel von M displaystyle M nbsp also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialraume Die Finsler Mannigfaltigkeit heisst symmetrisch falls F v F v displaystyle F v F v nbsp fur alle v T x M x M displaystyle v in T x M x in M nbsp gilt Beispiele BearbeitenNormierte Vektorraume wenn die Norm ausserhalb des Nullvektors glatt ist Riemannsche Mannigfaltigkeiten M g displaystyle M g nbsp setze F v g v v displaystyle F v sqrt g v v nbsp Konvexe Mengen W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp mit der Hilbert Metrik d W displaystyle d Omega nbsp setze F v d d t t 0 d W x x t v displaystyle F v frac d dt mid t 0 d Omega x x tv nbsp fur v T x W x W displaystyle v in T x Omega x in Omega nbsp Lange und Volumen BearbeitenDie Lange einer stetig differenzierbaren Kurve g a b M displaystyle gamma left a b right rightarrow M nbsp ist definiert durch L g a b F g t d t displaystyle L gamma int a b F gamma prime t dt nbsp Die Volumenform einer n displaystyle n nbsp dimensionalen Finsler Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert Sei x M displaystyle x in M nbsp e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n nbsp eine Basis von T x M displaystyle T x M nbsp h 1 h n displaystyle eta 1 ldots eta n nbsp die duale Basis Sei V x displaystyle V x nbsp das euklidische Volumen von D x y R n F i 1 n y i e i 1 displaystyle D x left y in mathbb R n F sum i 1 n y i e i leq 1 right nbsp Die Volumenform ist dann gegeben durch B F x C n V x h 1 h n displaystyle B F x frac C n V x eta 1 wedge ldots wedge eta n nbsp wobei C n displaystyle C n nbsp das euklidische Volumen der Einheitskugel im R n displaystyle mathbb R n nbsp bezeichnet Das Busemann Volumen einer messbaren Menge A M displaystyle A subset M nbsp ist definiert durch vol A A B F x displaystyle operatorname vol A int A B F x nbsp Literatur BearbeitenHanno Rund Differential Geometry of Finsler Spaces Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Springer 1959 Makoto Matsumoto Foundations of Finsler Geometry and special Finsler Spaces Kaiseisha Press Japan 1986 D Bao S S Chern Z Shen An introduction to Riemann Finsler geometry Graduate Texts in Mathematics 200 Springer Verlag New York 2000 ISBN 0 387 98948 X Zhongmin Shen Lectures on Finsler geometry World Scientific Publishing Singapore 2001 ISBN 981 02 4531 9 Peter Antonelli Hrsg Handbook of Finsler Geometry 2 Bande Kluwer 2003 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Finsler Mannigfaltigkeit amp oldid 222761177