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Ellipsograph des Archimedes Der Ellipsograph Ellipsenzirkel des Archimedes 1 oder Stuckateurzirkel 2 3 ist ein Mechanism

Ellipsograph des Archimedes

Der Ellipsograph, Ellipsenzirkel des Archimedes oder Stuckateurzirkel ist ein Mechanismus, der die Form einer Ellipse erzeugt.

Ellipsograph des Archimedes als 3D-Animation
Einstellbarer Ellipsograph, hergestellt circa 1900

Er besteht im Wesentlichen aus drei unterschiedlichen Bauteilen:

  1. einer Grundplatte mit zwei rechtwinklig zueinander liegenden Führungsnuten (andere Konfigurationen sind technisch möglich, aber unüblich),
  2. einem Zeichenarm mit der Halterung für den Zeichenstift bei Punkt sowie zwei Gelenkaugen und ,
  3. zwei Kulissensteine mit Lagerbolzen, eingeschoben in den Führungsnuten der Grundplatte, verbinden die Grundplatte im Punkt und mit dem damit beweglichen Zeichenarm.

Der Abstand zwischen Zeichenstift und dem ersten Gelenkauge sei , der Abstand zwischen den Gelenken . Durch Variieren von und können bezüglich Größe und Form unterschiedliche Ellipsen gezeichnet werden. So ist die Länge der großen Halbachse und die Länge der kleinen Halbachse .

Die Geschichte dieses Mechanismus ist nicht gesichert. Es wird angenommen, dass Proklos den Mechanismus kannte, aber eventuell war der Mechanismus bereits zu archimedischen Zeiten bekannt.

Es existiert ein britisches Patent für diesen Mechanismus von 1894.

Der Mechanismus ist auch bekannt als:

  • Archimedischer Ellipsograph
  • Der Ellipsograph des Proklos

Mathematische Grundlagen Bearbeiten

Skizze vom Ellipsograph mit den Kenngrößen und eingezeichnetem Viertel der Ellipse, Animation, Start nach 30 s Pause

Wie in der nebenstehenden Skizze zu sehen ist, hat die Strecke die gleiche Länge wie die Halbachse und die Strecke die gleiche Länge wie die Halbachse der Ellipsenlinie . Da die beiden rechtwinkligen Dreiecke und zueinander ähnlich sind, ist folgerichtig der Winkel der Z-Winkel von .

Für die allgemeine Bestimmung des Punktes im kartesischen Koordinatensystem gilt nach dem Satz des Pythagoras

Die mit dem Mechanismus vom Ellipsographen und dem Zeichenstift im Punkt erzeugbare Linie ist eine sogenannte Ellipse in der 1. Hauptlage, denn wird für die große Halbachse die Länge sowie für die kleine Halbachse die Länge eingesetzt, entspricht die gefundene Gleichung der für die Ellipse in der 1. Hauptlage:

Äquivalenz zu den Cardanischen Kreisen Bearbeiten

Cardanische Kreise (schwarz) und Ellipsograph (grau). Der Momentanpol ist mit einem pinkfarbenen Punkt markiert. Zwei beispielhafte Ellipsen erscheinen rot und hellblau.

Als Cardanische Kreise bezeichnet man eine geometrische Anordnung, bei der ein kleiner Kreis in einem doppelt so großen feststehenden Kreis abrollt. Die ausgeführte Bewegung ist dieselbe, die der Zeichenarm ausführt. Die Strecke liegt hierbei auf einem Durchmesser des kleinen Kreises. Somit kann mit einem Spirograph eine Ellipse erzeugt werden, wenn das innere Zahnrad halb so viele Zähne hat wie das Hohlrad, in dem es abrollt. Diese Analogie veranschaulicht auch, dass sich der Momentanpol des Zeichenarms auf dem Außenkreis mit dem Radius bewegt.

Anwendungen Bearbeiten

Der Mechanismus wurde als Physikspielzeug für Kinder verkauft.

Ein US-Patent benutzt das Prinzip des Ellipsographen für einen Ellipsenschneider.

Varianten Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Chris Sangwin: School of mathematics, University of Birmingham …, 25. Juli 2008, archiviert vom Original; abgerufen am 9. April 2017..

Weblinks Bearbeiten

Commons: Ellipsenzirkel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ellipsenzirkel. Zeno.org MEINE BIBLIOTHEK; aus Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 5. Leipzig 1906, S. 720–721, abgerufen am 6. April 2017.
  2. Franz Reuleaux: Theoretische Kinematik: Grundzüge einer Theorie des Maschinenwesens. 1875, S. 318 (Volltext in der Google-Buchsuche).
  3. Franz Reuleaux, Alexander Kennedy: Kinematics of Machinery: Outlines of a Theory of Machines. 1876, S. 318, Fig. 248 (siehe Fußnote) (englisch, Volltext in der Google-Buchsuche).
  4. Lueger, Otto: Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. Zeno.org MEINE BIBLIOTHEK; aus Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 3. Stuttgart, Leipzig 1906, S. 436–437, Fig. 2, abgerufen am 8. April 2017.
  5. ↑ Lueger, Otto: Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. Zeno.org MEINE BIBLIOTHEK; aus Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 3. Stuttgart, Leipzig 1906, S. 436–437, abgerufen am 6. April 2017.
  6. Patent GB189402496: Ellipsograph. Angemeldet am 5. Mai 1894, Erfinder: Heinel Gustav, Barth Carl.‌Text, Zeichnung (S. 3)
  7. Archimedischer Ellipsograph. Do-it-yourSciences, Die Plattform für wissenschaftliche und pädagogische Werkarbeiten, 16. März 2010, abgerufen am 6. April 2017.
  8. Der Ellipsograph des Proklos. Kotsanas Museum of Ancient Greek Technology aus Die kinematischen geometrischen Mechanismen der Griechen der Antike, abgerufen am 6. April 2017.
  9. Lueger, Otto: Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. Zeno.org MEINE BIBLIOTHEK; aus Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 3. Stuttgart, Leipzig 1906, S. 436–437, Fig. 1, abgerufen am 8. April 2017.
  10. Lueger, Otto: Cardanische Kreise. Zeno.org MEINE BIBLIOTHEK; aus Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 2. Stuttgart, Leipzig 1905, → Von De la Hire wurde nachgewiesen … S. 423–424, Fig. 1, abgerufen am 13. April 2017.
  11. Entertainment Center: Kentucky Do-Nothing. Scott Kraft, 22. März 2009, abgerufen am 6. April 2017.
  12. Patent US4306598: Ellipse cutting machine, siehe Fig. 1 und Fig. 2. Angemeldet am 26. Juni 1980, veröffentlicht am 22. Dezember 1981, Erfinder: David G. Peot.‌
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Veröffentlichungsdatum:
Der Ellipsograph Ellipsenzirkel des Archimedes 1 oder Stuckateurzirkel 2 3 ist ein Mechanismus der die Form einer Ellipse erzeugt Ellipsograph des Archimedes als 3D AnimationEinstellbarer Ellipsograph hergestellt circa 1900Er besteht im Wesentlichen aus drei unterschiedlichen Bauteilen einer Grundplatte mit zwei rechtwinklig zueinander liegenden Fuhrungsnuten andere Konfigurationen sind technisch moglich aber unublich einem Zeichenarm mit der Halterung fur den Zeichenstift bei Punkt E displaystyle E sowie zwei Gelenkaugen A displaystyle A und B displaystyle B zwei Kulissensteine mit Lagerbolzen eingeschoben in den Fuhrungsnuten der Grundplatte verbinden die Grundplatte im Punkt A displaystyle A und B displaystyle B mit dem damit beweglichen Zeichenarm Der Abstand zwischen Zeichenstift und dem ersten Gelenkauge A displaystyle A sei q displaystyle q der Abstand zwischen den Gelenken p displaystyle p Durch Variieren von q displaystyle q und p displaystyle p konnen bezuglich Grosse und Form unterschiedliche Ellipsen gezeichnet werden So ist die Lange der grossen Halbachse p q displaystyle p q und die Lange der kleinen Halbachse q displaystyle q 4 Die Geschichte dieses Mechanismus ist nicht gesichert Es wird angenommen dass Proklos den Mechanismus kannte 5 aber eventuell war der Mechanismus bereits zu archimedischen Zeiten bekannt Es existiert ein britisches Patent fur diesen Mechanismus von 1894 6 Der Mechanismus ist auch bekannt als Archimedischer Ellipsograph 7 Der Ellipsograph des Proklos 8 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen 1 1 Aquivalenz zu den Cardanischen Kreisen 2 Anwendungen 3 Varianten 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseMathematische Grundlagen Bearbeiten nbsp Skizze vom Ellipsograph mit den Kenngrossen und eingezeichnetem Viertel der Ellipse 9 Animation Start nach 30 s PauseWie in der nebenstehenden Skizze zu sehen ist hat die Strecke B E p q displaystyle overline BE p q nbsp die gleiche Lange wie die Halbachse M A 0 displaystyle overline MA 0 nbsp und die Strecke A E q displaystyle overline AE q nbsp die gleiche Lange wie die Halbachse M B 0 displaystyle overline MB 0 nbsp der Ellipsenlinie E L displaystyle E L nbsp 5 Da die beiden rechtwinkligen Dreiecke B E Y displaystyle BEY nbsp und E A X displaystyle EAX nbsp zueinander ahnlich sind ist folgerichtig der Winkel 8 displaystyle theta nbsp der Z Winkel von 8 displaystyle theta nbsp Fur die allgemeine Bestimmung des Punktes E displaystyle E nbsp im kartesischen Koordinatensystem gilt nach dem Satz des Pythagoras x p q cos 8 displaystyle frac x p q cos theta nbsp daraus folgtx p q cos 8 displaystyle x p q cdot cos theta nbsp y q sin 8 displaystyle frac y q sin theta nbsp somit isty q sin 8 displaystyle y q cdot sin theta nbsp Die mit dem Mechanismus vom Ellipsographen und dem Zeichenstift im Punkt E displaystyle E nbsp erzeugbare Linie ist eine sogenannte Ellipse in der 1 Hauptlage denn wird fur die grosse Halbachse a displaystyle a nbsp die Lange p q displaystyle p q nbsp sowie fur die kleine Halbachse b displaystyle b nbsp die Lange q displaystyle q nbsp eingesetzt entspricht die gefundene Gleichung der fur die Ellipse in der 1 Hauptlage x 2 p q 2 y 2 q 2 1 x 2 a 2 y 2 b 2 displaystyle frac x 2 p q 2 frac y 2 q 2 1 frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 nbsp Aquivalenz zu den Cardanischen Kreisen Bearbeiten nbsp Cardanische Kreise schwarz und Ellipsograph grau Der Momentanpol ist mit einem pinkfarbenen Punkt markiert Zwei beispielhafte Ellipsen erscheinen rot und hellblau Als Cardanische Kreise bezeichnet man eine geometrische Anordnung bei der ein kleiner Kreis in einem doppelt so grossen feststehenden Kreis abrollt Die ausgefuhrte Bewegung ist dieselbe die der Zeichenarm ausfuhrt Die Strecke A B displaystyle overline AB nbsp liegt hierbei auf einem Durchmesser des kleinen Kreises Somit kann mit einem Spirograph eine Ellipse 10 erzeugt werden wenn das innere Zahnrad halb so viele Zahne hat wie das Hohlrad in dem es abrollt Diese Analogie veranschaulicht auch dass sich der Momentanpol des Zeichenarms auf dem Aussenkreis mit dem Radius p displaystyle p nbsp bewegt Anwendungen BearbeitenDer Mechanismus wurde als Physikspielzeug fur Kinder verkauft 11 Ein US Patent benutzt das Prinzip des Ellipsographen fur einen Ellipsenschneider 12 Varianten Bearbeiten nbsp Eine ahnliche Mechanik mit nur einem Gleiter und einer Kurbel nbsp Ellipsenzirkel mit drei GleiternLiteratur BearbeitenChris Sangwin The wonky trammel of Archimedes This article provides brief notes on an ancient problem the ellipsograph of Archimedes School of mathematics University of Birmingham 25 Juli 2008 archiviert vom Original abgerufen am 9 April 2017 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Ellipsenzirkel Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten Ellipsenzirkel Zeno org MEINE BIBLIOTHEK aus Meyers Grosses Konversations Lexikon Band 5 Leipzig 1906 S 720 721 abgerufen am 6 April 2017 Franz Reuleaux Theoretische Kinematik Grundzuge einer Theorie des 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