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EWMA Karte Eine von engl exponentially weighted moving average ist eine Prozessregelkarte zur Darstellung von exponentie

EWMA-Karte

Eine EWMA-Karte (von engl. exponentially weighted moving average) ist eine Prozessregelkarte zur Darstellung von exponentiell gewichteten gleitenden Mittelwerten.

Verwendung Bearbeiten

EWMA-Karten eignen sich zur Überwachung von Prozessen, hinsichtlich ihrer zeitlichen Qualitätskonstanz, durch die Auswertung von Prüfdaten. Sie dienen der Statistische Prozesslenkung zur Optimierung von Produktions- und Serviceprozessen. Mit ihnen lassen sich geringe Verschiebungen des Prozessmittels (Trends) erkennen, die sich durch das geringere Gewichten zeitlich älterer Stichproben hervortun. Dabei werden alle jemals angesammelten Daten des überwachten Geschäfts oder des industriellen Prozesses verwendet. Während andere Regelkarten rationale Untergruppen von Proben einzeln behandeln, verfolgt das EWMA-Diagramm den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt aller vorherigen Abtastmittel. Sie eignet sich besonders für kleine Stichprobenumfänge und den Stichprobenumfang n = 1, da sie auch kleine Veränderungen zu erkennen mag, da die exponentielle Gewichtung der Mittelwerte zu engeren Regelgrenzen führt als bei der gewöhnlichen Mittelwertkarte.

Diagramm Bearbeiten

Ein Diagrammpunkt kann entweder für Einzelbeobachtungen oder auf Teilgruppen stehen, wobei der Wert der Teilgruppe aus dem Mittelwert der zur Teilgruppe gehörenden Einzelwerte errechnet wird. Für die Errechnung der einzelnen Punkte werden Informationen der vorangegangenen Punkte hinzugezogen und anschließend von dem Benutzer gewichtet. Vorteilhaft ist dabei, dass das Ergebnis durch in die Berechnung eingehende hohe oder niedrige Werte nur geringfügig beeinflusst wird. Es können fast alle Trends durch Änderung der Gewichtung ermittelt werden, im Allgemeinen werden kleinere Gewichtungen angegeben, um kleinere Trends zu erkennen. Eine exponentiell gewichtete Bewegungsvarianz kann verwendet werden, um eine Signifikanzbewertung oder -grenzen zu erhalten, die sich automatisch an die beobachteten Daten anpassen.

Berechnung Bearbeiten

Bei der Berechnung geht man von einer Zeitreihe aus. Das Ziel ist es, im Zeitpunkt den Wert durch einen Wert zu prognostizieren. Für diese Prognose verwendet man den im Zeitpunkt beobachteten Wert und den im Zeitpunkt erstellten Prognosewert . Um zu prognostizieren, korrigiert man die Prognose um den Prognosefehler :

Man erkennt, dass durch herausfindbar ist. Vorangegangene Rechnungen zeigen, dass man bei der Korrektur nur einen Teil λ·(xt − ẍt) des Prognosefehlers berücksichtigen sollte. Dies führt zu folgender Prognose:

Verwendet man den Ausdruck in der vorherigen Gleichung zur Prognose, so spricht man von exponentieller Glättung 1. Ordnung. Man kann den Ausdruck auch noch folgendermaßen Umformen:

Wir errechnen also durch eine konvexe Linearkombination aus und . Dabei ist das Gewicht der aktuellen Beobachtung . Die EWMA-Karte basiert auf der exponentiellen Glättung erster Ordnung. Ausgehend von einem Startwert wird in jedem Zeitpunkt mit Hilfe der exponentiellen Glättung erster Ordnung ein Schätzwert von bestimmt. Diesen bezeichnet man mit . Wir ersetzen in Gleichung also durch und durch und erhalten folgende Gleichung

Dabei gilt . In der Regel setzt man .

Es gilt:

Um die Qualitätsregelkarte aufstellen zu können, benötigen wir den Erwartungswert und die Varianz . Die Grenzen der EWMA-Karte berechnet man dann durch

obere Grenze =

untere Grenze =

Ist der Prozess unter Kontrolle, so gilt für alle . Hieraus folgt

Wenn man davon ausgeht, dass die unabhängig mit identischer Varianz sind, dann gilt

Die Grenzen der EWMA-Karte sind also

obere Grenze =

Mittellinie =

untere Grenze =

Man sieht, dass die Grenzen der EWMA-Karte mit wachsendem immer stabiler werden. Aus folgt

Also gilt:

Die approximativen Grenzen der EWMA-Karte sind also

LCL =

CL =

UCL =

Quellen Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Norbert Vetter: Sensitivitätsvergleich von Qualitätsregelkarten des CUSUM- und EWMA-Typs. diplom.de, 1999, ISBN 978-3-832-41744-4, (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  • Jens Hitzinger: Qualitätsregelkarten zur Überwachung der Fertigungslage mit Kurz- und Langzeitgedächtnis. diplom.de, 2001, ISBN 978-3-832-43350-5, S. 27 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  • Deutsche Gesellschaft für Qualität e. V. (DGQ): SPC 2 – Qualitätsregelkartentechnik, ausgearbeitet von der Arbeitsgruppe 162 „Qualitätsregelkarten“ der Deutschen Gesellschaft für Qualität. 4. Aufl., Beuth, Berlin, Köln 1992, ISBN 3-410-32827-0.
  • K. Bernecker. Dt. Ges. für Qualität e. V. (DGQ): SPC 3 – Anleitung zur statistischen Prozeßlenkung (SPC): Qualitätsregelkarten, Prozessfähigkeitsbeurteilungen (Cp, Cpk), Fehlersammelkarte. 1. Aufl., Beuth, Berlin 1990, ISBN 3-410-32821-1.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ In: support.minitab.com. Archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 30. Dezember 2016; abgerufen am 30. Dezember 2016.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/support.minitab.com
  2. Exponentiell gewichtete Mittelwertkarte (EWMA). Abgerufen am 23. Januar 2017.
  3. Peter Hackl: 7. Mai 2001, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 30. Dezember 2016; abgerufen am 23. Januar 2017.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/statmath.wu-wien.ac.at
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Veröffentlichungsdatum:
Eine EWMA Karte von engl exponentially weighted moving average ist eine Prozessregelkarte zur Darstellung von exponentiell gewichteten gleitenden Mittelwerten Inhaltsverzeichnis 1 Verwendung 2 Diagramm 3 Berechnung 4 Quellen 4 1 Weblinks 4 2 Literatur 4 3 EinzelnachweiseVerwendung BearbeitenEWMA Karten eignen sich zur Uberwachung von Prozessen hinsichtlich ihrer zeitlichen Qualitatskonstanz durch die Auswertung von Prufdaten 1 Sie dienen der Statistische Prozesslenkung zur Optimierung von Produktions und Serviceprozessen Mit ihnen lassen sich geringe Verschiebungen des Prozessmittels Trends erkennen die sich durch das geringere Gewichten zeitlich alterer Stichproben hervortun 2 Dabei werden alle jemals angesammelten Daten des uberwachten Geschafts oder des industriellen Prozesses verwendet Wahrend andere Regelkarten rationale Untergruppen von Proben einzeln behandeln verfolgt das EWMA Diagramm den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt aller vorherigen Abtastmittel Sie eignet sich besonders fur kleine Stichprobenumfange und den Stichprobenumfang n 1 da sie auch kleine Veranderungen zu erkennen mag da die exponentielle Gewichtung der Mittelwerte zu engeren Regelgrenzen fuhrt als bei der gewohnlichen Mittelwertkarte Diagramm BearbeitenEin Diagrammpunkt kann entweder fur Einzelbeobachtungen oder auf Teilgruppen stehen wobei der Wert der Teilgruppe aus dem Mittelwert der zur Teilgruppe gehorenden Einzelwerte errechnet wird 1 Fur die Errechnung der einzelnen Punkte werden Informationen der vorangegangenen Punkte hinzugezogen und anschliessend von dem Benutzer gewichtet Vorteilhaft ist dabei dass das Ergebnis durch in die Berechnung eingehende hohe oder niedrige Werte nur geringfugig beeinflusst wird Es konnen fast alle Trends durch Anderung der Gewichtung ermittelt werden im Allgemeinen werden kleinere Gewichtungen angegeben um kleinere Trends zu erkennen 1 Eine exponentiell gewichtete Bewegungsvarianz kann verwendet werden um eine Signifikanzbewertung oder grenzen zu erhalten die sich automatisch an die beobachteten Daten anpassen Berechnung BearbeitenBei der Berechnung geht man von einer Zeitreihe x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 ldots nbsp aus Das Ziel ist es im Zeitpunkt t displaystyle t nbsp den Wert x t 1 displaystyle x t 1 nbsp durch einen Wert x t 1 displaystyle ddot x t 1 nbsp zu prognostizieren Fur diese Prognose verwendet man den im Zeitpunkt t displaystyle t nbsp beobachteten Wert x t displaystyle x t nbsp und den im Zeitpunkt t 1 displaystyle t 1 nbsp erstellten Prognosewert x t displaystyle ddot x t nbsp Um x t 1 displaystyle x t 1 nbsp zu prognostizieren korrigiert man die Prognose x t displaystyle ddot x t nbsp um den Prognosefehler x t x t displaystyle x t ddot x t nbsp x t 1 x t x t x t displaystyle ddot x t 1 ddot x t x t ddot x t nbsp Man erkennt dass x t 1 textstyle x t 1 nbsp durch x t displaystyle x t nbsp herausfindbar ist Vorangegangene Rechnungen zeigen dass man bei der Korrektur nur einen Teil l xt ẍt des Prognosefehlers berucksichtigen sollte Dies fuhrt zu folgender Prognose x t 1 x t l x t x t displaystyle ddot x t 1 ddot x t lambda x t ddot x t nbsp Verwendet man den Ausdruck in der vorherigen Gleichung zur Prognose so spricht man von exponentieller Glattung 1 Ordnung Man kann den Ausdruck auch noch folgendermassen Umformen x t 1 x t l x t x t x t l x t l x t l x t 1 l x t displaystyle begin aligned ddot x t 1 amp ddot x t lambda x t ddot x t amp ddot x t lambda x t lambda ddot x t amp lambda x t 1 lambda ddot x t end aligned nbsp Wir errechnen x t 1 displaystyle ddot x t 1 nbsp also durch eine konvexe Linearkombination aus x t displaystyle x t nbsp und x t displaystyle ddot x t nbsp Dabei ist l displaystyle lambda nbsp das Gewicht der aktuellen Beobachtung x t displaystyle x t nbsp Die EWMA Karte basiert auf der exponentiellen Glattung erster Ordnung Ausgehend von einem Startwert z 0 displaystyle z 0 nbsp wird in jedem Zeitpunkt t displaystyle t nbsp mit Hilfe der exponentiellen Glattung erster Ordnung ein Schatzwert von x t 1 displaystyle x t 1 nbsp bestimmt Diesen bezeichnet man mit z t displaystyle z t nbsp Wir ersetzen in Gleichung x t 1 l x t 1 l x t displaystyle ddot x t 1 lambda x t 1 lambda ddot x t nbsp also x t 1 displaystyle ddot x t 1 nbsp durch z t displaystyle z t nbsp und x t displaystyle ddot x t nbsp durch z t 1 displaystyle z t 1 nbsp und erhalten folgende Gleichung z t l x t 1 l z t 1 displaystyle z t lambda x t 1 lambda z t 1 nbsp Dabei gilt 0 l 1 displaystyle 0 leq lambda leq 1 nbsp In der Regel setzt man z 0 m 0 displaystyle z 0 mu 0 nbsp Es gilt z t l x t 1 l l x t 1 1 l t 1 l x 1 1 l t z 0 l j 0 t 1 1 l j x t j 1 l t z 0 displaystyle begin aligned z t amp lambda x t 1 lambda lambda x t 1 ldots 1 lambda t 1 lambda x 1 1 lambda t z 0 amp lambda sum j 0 t 1 1 lambda j x t j 1 lambda t z 0 end aligned nbsp Um die Qualitatsregelkarte aufstellen zu konnen benotigen wir den Erwartungswert E Z t displaystyle operatorname E Z t nbsp und die Varianz Var Z t displaystyle operatorname Var Z t nbsp Die Grenzen der EWMA Karte berechnet man dann durchobere Grenze E Z t L Var Z t displaystyle operatorname E Z t L sqrt operatorname Var Z t nbsp untere Grenze E Z t L Var Z t displaystyle operatorname E Z t L sqrt operatorname Var Z t nbsp Ist der Prozess unter Kontrolle so gilt E X t m 0 displaystyle operatorname E X t mu 0 nbsp fur alle t displaystyle t nbsp Hieraus folgt E Z t m 0 displaystyle operatorname E Z t mu 0 nbsp Wenn man davon ausgeht dass die X t displaystyle X t nbsp unabhangig mit identischer Varianz s 2 displaystyle sigma 2 nbsp sind dann gilt Var Z t s 2 l 1 1 l 2 t 2 l displaystyle operatorname Var Z t sigma 2 frac lambda left 1 1 lambda 2t right 2 lambda nbsp Die Grenzen der EWMA Karte sind alsoobere Grenze m 0 L s l 2 l 1 1 l 2 t displaystyle mu 0 L sigma sqrt frac lambda 2 lambda left 1 1 lambda 2t right nbsp Mittellinie m 0 displaystyle mu 0 nbsp untere Grenze m 0 L s l 1 1 l 2 t 2 l displaystyle mu 0 L sigma sqrt frac lambda left 1 1 lambda 2t right 2 lambda nbsp Man sieht dass die Grenzen der EWMA Karte mit wachsendem t displaystyle t nbsp immer stabiler werden Aus 0 l 1 displaystyle 0 leq lambda leq 1 nbsp folgt lim t 1 l 2 t 0 displaystyle lim t to infty 1 lambda 2t 0 nbsp Also gilt lim t Var Z t lim t s 2 l 1 1 l 2 t 2 l s 2 l 2 l displaystyle lim t to infty operatorname Var Z t lim t to infty sigma 2 frac lambda left 1 1 lambda 2t right 2 lambda sigma 2 frac lambda 2 lambda nbsp Die approximativen Grenzen der EWMA Karte sind alsoLCL m 0 L s l 2 l displaystyle mu 0 L sigma sqrt frac lambda 2 lambda nbsp CL m 0 displaystyle mu 0 nbsp UCL m 0 L s l 2 l displaystyle mu 0 L sigma sqrt frac lambda 2 lambda nbsp 3 Quellen BearbeitenWeblinks Bearbeiten http support minitab com de de minitab 17 topic library quality tools control charts understanding time weighted control charts what is an ewma chart 24 Dezember 2016 https www statsoft de glossary E ExponentiallyWeightedMovingAverageEWMAChart 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Qualitat 4 Aufl Beuth Berlin Koln 1992 ISBN 3 410 32827 0 K Bernecker Dt Ges fur Qualitat e V DGQ SPC 3 Anleitung zur statistischen Prozesslenkung SPC Qualitatsregelkarten Prozessfahigkeitsbeurteilungen Cp Cpk Fehlersammelkarte 1 Aufl Beuth Berlin 1990 ISBN 3 410 32821 1 Einzelnachweise Bearbeiten a b c Was ist eine EWMA Karte In support minitab com Archiviert vom Original nicht mehr online verfugbar am 30 Dezember 2016 abgerufen am 30 Dezember 2016 nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe Original und Archivlink gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis 1 2 Vorlage Webachiv IABot support minitab com Exponentiell gewichtete Mittelwertkarte EWMA Abgerufen am 23 Januar 2017 Peter Hackl Prozesskontrolle Weitere Verfahren EWMA Karte 7 Mai 2001 archiviert vom Original nicht mehr online verfugbar am 30 Dezember 2016 abgerufen am 23 Januar 2017 nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe 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