Delta Methode Die ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion ei

Delta-Methode

Die Delta-Methode ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen.

Univariater Fall Bearbeiten

Aussage Bearbeiten

Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen mit zwei endlichen Konstanten und

gilt, wobei die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion mit :

Beispiel Bearbeiten

Es sei eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert und Varianz . Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik

Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von interessiert, dann ist , , und . Die Delta-Methode ergibt dann

Verallgemeinerung Bearbeiten

Für den Fall und gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die Delta-Methode zweiter Ordnung, die besagt, dass

wobei eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.

Multivariater Fall Bearbeiten

Für eine Folge -dimensionaler Zufallsvektoren gelte

mit und einer positiv semidefiniten Matrix . Für eine differenzierbare Funktion bezeichne den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion an der Stelle , der komponentenweise von Null verschieden ist. Dann gilt

Funktionale Delta-Methode Bearbeiten

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen einer unendlich-dimensionalen Zufallsvariable (eines stochastischen Prozesses) durch die funktionale Delta-Methode. Die funktionale Delta-Methode wird manchmal auch als Von-Mises-Methode bezeichnet.

Literatur Bearbeiten

Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, doi:10.1007/s13571-023-00305-9.
Gary W. Oehlert: A Note on the Delta Method. In: The American Statistician. Band 46, Nr. 1, 1992, S. 27–29, doi:10.1080/00031305.1992.10475842, JSTOR:2684406.
Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 3 Delta Method, S. 25–34.

Einzelnachweise Bearbeiten

Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.13 Theorem (The Delta Method), S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.14 Example, S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, S. 4, doi:10.1007/s13571-023-00305-9.
Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.15 Theorem (The Multivariate Delta Method), S. 79–80, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 20 Functional Delta Method, S. 291–303.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 11:17 am

Die Delta Methode ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen Inhaltsverzeichnis 1 Univariater Fall 1 1 Aussage 1 2 Beispiel 1 3 Verallgemeinerung 2 Multivariater Fall 3 Funktionale Delta Methode 4 Literatur 5 EinzelnachweiseUnivariater Fall BearbeitenAussage Bearbeiten Wenn fur eine Folge von Zufallsvariablen X 1 X n displaystyle X 1 dots X n nbsp mit zwei endlichen Konstanten m displaystyle mu nbsp und s 2 0 displaystyle sigma 2 geq 0 nbsp n X n m V N 0 s 2 displaystyle sqrt n X n mu stackrel text V to mathcal N 0 sigma 2 nbsp gilt wobei V displaystyle stackrel text V to nbsp die Konvergenz in Verteilung bezeichnet dann gilt fur eine differenzierbare Funktion g displaystyle g nbsp mit g m 0 displaystyle g mu neq 0 nbsp n g X n g m V N 0 s 2 g m 2 displaystyle sqrt n g X n g mu stackrel text V to mathcal N 0 sigma 2 g mu 2 nbsp 1 Beispiel Bearbeiten Es sei X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp eine Folge stochastisch unabhangiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert m displaystyle mu nbsp und Varianz 0 lt s 2 lt displaystyle 0 lt sigma 2 lt infty nbsp Fur die Folge der zufalligen arithmetischen Mittel X n 1 n i 1 n X i displaystyle bar X n frac 1 n sum i 1 n X i nbsp folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik n X n m V N 0 s 2 displaystyle sqrt n bar X n mu stackrel text V to mathcal N 0 sigma 2 nbsp Wenn man sich fur die asymptotische Verteilung von Y n e X n displaystyle Y n mathrm e bar X n nbsp interessiert dann ist g x e x displaystyle g x mathrm e x nbsp g x e x displaystyle g x mathrm e x nbsp g m e m displaystyle g mu mathrm e mu nbsp und g m 2 e 2 m displaystyle g mu 2 mathrm e 2 mu nbsp Die Delta Methode ergibt dann n Y n e m V N 0 s 2 e 2 m displaystyle sqrt n Y n mathrm e mu stackrel text V to mathcal N 0 sigma 2 mathrm e 2 mu nbsp 2 Verallgemeinerung Bearbeiten Fur den Fall g m 0 displaystyle g mu 0 nbsp und g m 0 displaystyle g mu neq 0 nbsp gibt es eine Verallgemeinerung der Delta Methode die Delta Methode zweiter Ordnung die besagt dass n g X n g m V s 2 g m 2 Z 2 displaystyle n g X n g mu stackrel text V to sigma 2 frac g mu 2 Z 2 nbsp wobei Z displaystyle Z nbsp eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist 3 Multivariater Fall BearbeitenFur eine Folge p displaystyle p nbsp dimensionaler Zufallsvektoren X 1 X n displaystyle mathbf X 1 dots mathbf X n nbsp gelte n X n m V N p 0 S displaystyle sqrt n mathbf X n boldsymbol mu stackrel text V to mathcal N p mathbf 0 boldsymbol Sigma nbsp mit m R p displaystyle boldsymbol mu in mathbb R p nbsp und einer positiv semidefiniten Matrix S R p p displaystyle boldsymbol Sigma in mathbb R p times p nbsp Fur eine differenzierbare Funktion g R p R displaystyle g mathbb R p to mathbb R nbsp bezeichne m displaystyle nabla boldsymbol mu nbsp den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion g displaystyle g nbsp an der Stelle m displaystyle boldsymbol mu nbsp der komponentenweise von Null verschieden ist Dann gilt n g X n g m V N 0 m T S m displaystyle sqrt n g mathbf X n g boldsymbol mu stackrel text V to mathcal N left 0 nabla boldsymbol mu T boldsymbol Sigma nabla boldsymbol mu right nbsp 4 Funktionale Delta Methode BearbeitenEs gibt eine Verallgemeinerung fur Funktionen einer unendlich dimensionalen Zufallsvariable eines stochastischen Prozesses durch die funktionale Delta Methode 5 Die funktionale Delta Methode wird manchmal auch als Von Mises Methode bezeichnet Literatur BearbeitenAnil K Bera Malabika Koley A History of the Delta Method and Some New Results In Sankhya B The Indian Journal of Statistics Band 85 2023 doi 10 1007 s13571 023 00305 9 Gary W Oehlert A Note on the Delta Method In The American Statistician Band 46 Nr 1 1992 S 27 29 doi 10 1080 00031305 1992 10475842 JSTOR 2684406 Aad W van der Vaart Asymptotic Statistics Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics Cambridge University Press Cambridge 1998 ISBN 978 0 521 78450 4 Kap 3 Delta Method S 25 34 Einzelnachweise Bearbeiten Larry Wasserman All of Statistics A Concise Course in Statistical Inference Springer New York 2004 ISBN 978 1 4419 2322 6 5 13 Theorem The Delta Method S 79 doi 10 1007 978 0 387 21736 9 Larry Wasserman All of Statistics A Concise Course in Statistical Inference Springer New York 2004 ISBN 978 1 4419 2322 6 5 14 Example S 79 doi 10 1007 978 0 387 21736 9 Anil K Bera Malabika Koley A History of the Delta Method and Some New Results In Sankhya B The Indian Journal of Statistics Band 85 2023 S 4 doi 10 1007 s13571 023 00305 9 Larry Wasserman All of Statistics A Concise Course in Statistical Inference Springer New York 2004 ISBN 978 1 4419 2322 6 5 15 Theorem The Multivariate Delta Method S 79 80 doi 10 1007 978 0 387 21736 9 Aad W van der Vaart Asymptotic Statistics Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics Cambridge University Press Cambridge 1998 ISBN 978 0 521 78450 4 Kap 20 Functional Delta Method S 291 303 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Delta Methode amp oldid 238491626