Der Bogenschnitt (Bogenschlag) ist eine Methode zur Punktbestimmung in der Geodäsie.
Bei dieser Methode wird ein Neupunkt P von zwei koordinativ gegebenen Punkten A und B aus bestimmt, indem die Distanzen von A und B zum Neupunkt gemessen werden.
Die Berechnung erfolgt durch Auflösung des Dreiecks ABP oder durch Berechnung des Schnittpunkts der beiden Kreise, deren Mittelpunkte durch A und B gegeben sind und deren Radien mit den Streckenmessungen a und b identisch sind.
Die Aufgabe des Bogenschnittes hat keine Lösung, wenn die Summe der Streckenmessungen (a + b) kleiner ist als der Abstand zwischen A und B oder wenn die Differenz der gemessenen Strecken größer ist als der Abstand AB. Sie hat eine Lösung, wenn die Summe der Streckenmessungen gleich dem Abstand zwischen A und B ist, und hat ansonsten zwei Lösungen (im Bild P, P').
Mit zwei Messungen gibt es zwei Lösungen, aus denen diejenige zu wählen ist, die mit der örtlichen Lage von A, B und P übereinstimmt. Es ist zu klären, ob P rechts oder links der Linie A, B liegt. Ohne Entscheidungsinstanz sind drei Messungen zu drei bekannten Punkten erforderlich, um eine eindeutige Bestimmung zu erreichen. Überbestimmung verbessert die numerische Genauigkeit.
Anmerkungen:
Der Bogenschnitt kann prinzipiell in beliebig liegenden Ebenen erfolgen. Doch üblicherweise beziehen sich Punktkoordinaten auf Meeresniveau (Geoid). Wenn daher
- die drei Punkte nicht auf gleicher Höhe liegen, sind die Distanzen a und b vor dem Bogenschnitt auf die Horizontale zu reduzieren (mit Kosinus des Höhenwinkels).
- Liegen sie in großer Höhe, sind die Distanzen zusätzlich auf Meeresniveau zu reduzieren.
- Im dreidimensionalen Raum entspricht dem Bogenschnitt die sog. Trisphäration (Schnitt dreier Kugeln). Sie wird
- bei GPS sogar auf den Schnitt von 4 Kugeln erweitert, weil zusätzlich zu den Strecken zu den Satelliten ein Zeitsynchronisationsfehler zu berücksichtigen ist (sog. Pseudostrecken).
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Franz Ackerl: Geodäsie und Photogrammetrie, Kapitel 20. Verlag Georg Fromme, Wien 1959
- Heribert Kahmen: Vermessungskunde. De Gruyter-Lehrbuch, Berlin 1997