Das Proximum ist ein vor allem in der numerischen Mathematik verwendeter Begriff aus der Theorie der metrischen Raume Das Proximum zu einem Punkt x displaystyle x innerhalb einer x displaystyle x nicht enthaltenden Menge Y displaystyle Y ist derjenige Punkt aus Y displaystyle Y der zu x displaystyle x den geringsten Abstand hat Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Zur Existenz eines Proximums 3 Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow Systemen 4 Alternanten Kriterium in Tschebyschow Systemen 5 Proximum im Hilbertraum 6 Siehe auch 7 LiteraturDefinition BearbeitenSei X d displaystyle X d nbsp ein metrischer Raum Y X displaystyle Y subset X nbsp eine Teilmenge und x X displaystyle x in X nbsp beliebig Der Abstand des Elements x displaystyle x nbsp zur Teilmenge Y displaystyle Y nbsp wird mittels der Distanzfunktion dist displaystyle operatorname dist nbsp definiert durch dist x Y inf y Y d x y displaystyle operatorname dist x Y inf y in Y d x y nbsp Existiert nun ein p Y displaystyle p in Y nbsp mit d x p dist x Y displaystyle d x p operatorname dist x Y nbsp so nennt man p displaystyle p nbsp Proximum oder Bestapproximation zu x displaystyle x nbsp in Y displaystyle Y nbsp Wenn ein Proximum existiert so muss es nicht eindeutig sein Ublicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum X displaystyle X lVert cdot rVert nbsp zu tun Ein Proximum p displaystyle p nbsp zu x X displaystyle x in X nbsp in Y X displaystyle Y subset X nbsp ist dann falls existent charakterisiert durch die Gleichung x p inf y Y x y displaystyle lVert x p rVert inf y in Y lVert x y rVert nbsp Zur Existenz eines Proximums BearbeitenSei X d displaystyle X d nbsp ein metrischer Raum A X displaystyle A subset X nbsp sei eine kompakte Teilmenge Dann hat jedes x X displaystyle x in X nbsp ein Proximum in A displaystyle A nbsp Sei X displaystyle X lVert cdot rVert nbsp ein normierter Raum V X displaystyle V subset X nbsp sei ein endlichdimensionaler Teilraum und Y V displaystyle Y subset V nbsp eine abgeschlossene Teilmenge Dann hat jedes x X displaystyle x in X nbsp ein Proximum in Y displaystyle Y nbsp Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow Systemen BearbeitenSei f C a b U C a b displaystyle f in C a b U subset C a b nbsp ein Tschebyschow System Dann ist das Proximum fur f displaystyle f nbsp aus U displaystyle U nbsp eindeutig bestimmt Sei U displaystyle U nbsp ein endlichdimensionaler Unterraum von C a b displaystyle C a b nbsp Ist fur jedes f C a b displaystyle f in C a b nbsp das Proximum aus U displaystyle U nbsp eindeutig bestimmt dann ist U displaystyle U nbsp ein Tschebyschow System Alternanten Kriterium in Tschebyschow Systemen BearbeitenSei f C a b U C a b displaystyle f in C a b U subset C a b nbsp ein n displaystyle n nbsp dimensionales Tschebyschow System u 0 U displaystyle u 0 in U nbsp ist genau dann ein Proximum fur f displaystyle f nbsp aus U displaystyle U nbsp wenn es n 1 displaystyle n 1 nbsp Stellen x i displaystyle x i nbsp mit a x 0 lt x 1 lt lt x n b displaystyle a leq x 0 lt x 1 lt cdots lt x n leq b nbsp gibt so dass f x i u 0 x i max x a b f x u 0 x displaystyle f x i u 0 x i max x in a b f x u 0 x nbsp i 0 n displaystyle i 0 ldots n nbsp Extremalpunkt sign f x i 1 u 0 x i 1 sign f x i u 0 x i displaystyle operatorname sign left f x i 1 u 0 x i 1 right operatorname sign f x i u 0 x i nbsp i 1 n displaystyle i 1 ldots n nbsp alternierend Dies folgt aus dem Kolmogorow Kriterium aus der Approximationstheorie Auf diesem Kriterium basiert der Remez Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow Systemen Proximum im Hilbertraum BearbeitenIst X displaystyle X nbsp ein Hilbertraum und Y X displaystyle Y subset X nbsp eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge dann ist das Proximum eindeutig das heisst es existiert zu jedem x X displaystyle x in X nbsp genau ein p Y displaystyle p in Y nbsp mit x p x y y Y displaystyle lVert x p rVert leq lVert x y rVert forall y in Y nbsp Ist Y displaystyle Y nbsp ein abgeschlossener Untervektorraum so erhalt man das Proximum p displaystyle p nbsp als Orthogonalprojektion von x displaystyle x nbsp auf Y displaystyle Y nbsp Siehe auch BearbeitenAlternantensatz MinimallosungLiteratur BearbeitenArnold Schonhage Approximationstheorie de Gruyter Berlin 1971 ISBN 3 11 001982 5 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Proximum amp oldid 207479020
