Baric Algebra Als bezeichnet man eine lineare Algebra mit einer nichttrivialen Gewichtsfunktion englisch baric von griec

Baric-Algebra

Als Baric-Algebra bezeichnet man eine lineare Algebra mit einer nichttrivialen Gewichtsfunktion (englisch baric, von griechisch βάρος báros, deutsch ‚schwer, gewichtig‘). Baric-Algebren sind eine Verallgemeinerung der in der theoretischen Biologie betrachteten genetischen Algebren.

Definition Bearbeiten

Eine (nicht notwendigerweise assoziative) Algebra über einem Körper heißt Baric-Algebra, wenn es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus gibt. wird Gewichtsfunktion genannt, heißt Gewicht von .

Der Begriff der Baric-Algebra wurde 1939 von I.M.H. Etherington bei der Untersuchung genetischer Algebren eingeführt. Aus darstellungstheoretischer Sicht ist eine Baric-Algebra eine Algebra mit einer nichttrivialen Darstellung über ihrem Skalarkörper. Nicht-assoziative Algebren haben im Allgemeinen gar keine Matrix-Darstellung, deren einfachste Form eine Darstellung über dem Skalarkörper ist.

Charakterisierungen Bearbeiten

Eine nicht-assoziative -Algebra ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es so ein Ideal gibt, so dass
Eine nicht-assoziative -dimensionale -Algebra ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn sie eine genetische Basis besitzt, das heißt, zwischen den Basiselementen besteht eine Beziehung mit Koeffizienten , für welche gilt: .
Eine nicht-assoziative -dimensionale -Algebra ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es ein -dimensionales Ideal gibt, für das gilt: .

Beispiele Bearbeiten

mit dem Vektorprodukt als Multiplikation bildet eine nicht-assoziative -Algebra. Dies ist keine Baric-Algebra, denn es gibt darin kein Ideal der Dimension 2, das aber benötigt würde, damit der Quotient zu isomorph wäre. Allgemeiner lässt sich zeigen, dass halbeinfache Lie-Algebren keine Baric-Algebren sind.
mit zwei Basisvektoren , auf denen eine Multiplikation folgendermaßen erklärt ist:

Damit ist eine genetische Basis gegeben und eine Baric-Algebra definiert; die Multiplikation ist nicht assoziativ:

Eine nicht-triviale Gewichtsfunktion ist

Gametische Algebra G der einfachen mendelschen Vererbung:

.

Literatur Bearbeiten

Rudolf Lidl, Johann Wiesenbauer: Ringtheorie und Anwendungen: Grundlagen und Anwendungsbeispiele in der Kodierungstheorie und in der Genetik. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1980, ISBN 3-400-00371-9
Angelika Wörz-Busekros: Algebras in Genetics. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-09978-6.
I.M.H. Etherington: Genetic Algebras. In: Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 59, 1939, S. 242–258

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 04, 2023, 19:31 pm

Als Baric Algebra bezeichnet man eine lineare Algebra mit einer nichttrivialen Gewichtsfunktion englisch baric von griechisch baros baros deutsch schwer gewichtig Baric Algebren sind eine Verallgemeinerung der in der theoretischen Biologie betrachteten genetischen Algebren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Charakterisierungen 3 Beispiele 4 LiteraturDefinition BearbeitenEine nicht notwendigerweise assoziative Algebra A displaystyle A nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp heisst Baric Algebra wenn es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus w A K displaystyle w colon A longrightarrow K nbsp gibt w displaystyle w nbsp wird Gewichtsfunktion genannt w x displaystyle w x nbsp heisst Gewicht von x A displaystyle x in A nbsp Der Begriff der Baric Algebra wurde 1939 von I M H Etherington bei der Untersuchung genetischer Algebren eingefuhrt Aus darstellungstheoretischer Sicht ist eine Baric Algebra eine Algebra mit einer nichttrivialen Darstellung uber ihrem Skalarkorper Nicht assoziative Algebren haben im Allgemeinen gar keine Matrix Darstellung deren einfachste Form eine Darstellung uber dem Skalarkorper ist Charakterisierungen BearbeitenEine nicht assoziative k displaystyle k nbsp Algebra A displaystyle A nbsp ist genau dann eine Baric Algebra wenn es so ein Ideal I A displaystyle I subset A nbsp gibt so dass A I k displaystyle A I cong k nbsp Eine nicht assoziative n displaystyle n nbsp dimensionale R displaystyle mathbb R nbsp Algebra A displaystyle A nbsp ist genau dann eine Baric Algebra wenn sie eine genetische Basis besitzt das heisst zwischen den Basiselementen u 1 u 2 u k displaystyle u 1 u 2 dots u k nbsp besteht eine Beziehung u i u j k 1 n g i j k u k displaystyle u i cdot u j sum k 1 n gamma ijk u k nbsp mit Koeffizienten g i j k R displaystyle gamma ijk in mathbb R nbsp fur welche gilt k 1 n g i j k 1 g i j k 0 displaystyle sum k 1 n gamma ijk 1 gamma ijk geq 0 nbsp Eine nicht assoziative n displaystyle n nbsp dimensionale R displaystyle mathbb R nbsp Algebra A displaystyle A nbsp ist genau dann eine Baric Algebra wenn es ein n 1 displaystyle n 1 nbsp dimensionales Ideal N A displaystyle N subset A nbsp gibt fur das gilt A 2 N displaystyle A rm 2 nsubseteq N nbsp Beispiele BearbeitenR 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp mit dem Vektorprodukt als Multiplikation bildet eine nicht assoziative R displaystyle mathbb R nbsp Algebra Dies ist keine Baric Algebra denn es gibt darin kein Ideal der Dimension 2 das aber benotigt wurde damit der Quotient zu R displaystyle mathbb R nbsp isomorph ware Allgemeiner lasst sich zeigen dass halbeinfache Lie Algebren keine Baric Algebren sind R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp mit zwei Basisvektoren e 1 e 2 displaystyle e 1 e 2 nbsp auf denen eine Multiplikation folgendermassen erklart ist e 1 e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 e 2 e 2 e 1 displaystyle e 1 cdot e 1 e 2 e 1 cdot e 2 e 1 e 2 cdot e 1 e 2 e 2 cdot e 2 e 1 nbsp dd Damit ist eine genetische Basis gegeben und eine Baric Algebra definiert die Multiplikation ist nicht assoziativ e 1 e 2 e 2 e 1 e 2 e 2 displaystyle e 1 cdot e 2 cdot e 2 neq e 1 cdot e 2 cdot e 2 nbsp dd Eine nicht triviale Gewichtsfunktion ist w a 1 e 1 a 2 e 2 a 1 a 2 displaystyle w alpha 1 e 1 alpha 2 e 2 alpha 1 alpha 2 nbsp Gametische Algebra G der einfachen mendelschen Vererbung R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp mit zwei Basisvektoren a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 nbsp und folgender Multiplikationstafel a 1 displaystyle a 1 nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp a 1 displaystyle a 1 nbsp a 1 displaystyle a 1 nbsp 1 2 a 1 1 2 a 2 displaystyle 1 over 2 a 1 1 over 2 a 2 nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp 1 2 a 1 1 2 a 2 displaystyle 1 over 2 a 1 1 over 2 a 2 nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp ist eine Baric Algebra mit Gewichtsfunktion w a 1 a 1 a 2 a 2 a 1 a 2 displaystyle w alpha 1 a 1 alpha 2 a 2 alpha 1 alpha 2 nbsp Literatur BearbeitenRudolf Lidl Johann Wiesenbauer Ringtheorie und Anwendungen Grundlagen und Anwendungsbeispiele in der Kodierungstheorie und in der Genetik Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1980 ISBN 3 400 00371 9 Angelika Worz Busekros Algebras in Genetics Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1980 ISBN 3 540 09978 6 I M H Etherington Genetic Algebras In Proc Roy Soc Edinburgh 59 1939 S 242 258 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Baric Algebra amp oldid 198005851